[uredi] Zgodovina pojmovanja
Podatke o raziskovanju gibanja Zemlje in nebesnih teles je moč izslediti do Kaldejcev in Egipčanov, ki so verjeli, da je Zemlja nepremično telo; o enakem so bili prepričani tudi stari Grki, ki so si vzhajanje, kulminacijo in zahajanje Sonca ter drugih teles razlagali kot kroženje slednjih okoli Zemlje. O njihovem poznavanju in pojmovanju je mnogo zapisal Klavdij Ptolemej v svojem delu Velika sintaksa (Megale Syntaxis); tu je moč prebrati, da je Zemlja nepremično telo v sredini Vesolja, po krožnih poteh pa okoli nje krožijo Sonce, Mesec in planeti. Slednji naj bi potovali po majhnih krogih, središča katerih bi bila umeščena na velike kroge okoli Zemlje. V tistem času je bil Saturn zadnji poznan planet; za njim naj bi se nahajalo nebo, na njem nepremične zvezde, vse skupaj pa bi se vrtelo okoli našega planeta. Ta pogled, ki je obveljal vse do 16. stoletja kljub posameznim poprejšnjim neuveljavljenim zamislim, se imenuje geocentrični svetovni sistem.
Prelom v znanje o gibanju Zemlje je prinesel poljski astronom Nikolaj Kopernik, ki je 1543. leta spisal delo O gibanju nebesnih teles. V njem je dokazoval, da se Zemlja vkup z ostalimi planeti vrti okoli Sonca in da je premikanje nebesnih teles okoli Zemlje le navidezno, pa tudi to, da so tiri Zemlje in drugih planetov krogi, napeljani okoli Sonca, za Saturnom pa je najti kroglo zvezd stalnic, ki je nepremična. To je bilo seme za uveljavitev nazora, imenovanega heliocentrični svetovni sistem.
Ideje astronoma Kopernika sprva niso naletele na odobravanje, a so njegov pogled vendarle potrdila kasnejša raziskovanja. Tu je bilo pomembnih več znanstvenikov, med njimi Galileo Galilei in Johannes Kepler. Ta je dlje časa opazoval gibanje Zemlji bližnjega planeta Marsa in tudi na osnovi poprejšnjih ugotovitev danskega znanstvenika Tycha Braheja postavil hipotezo, da se vsi planeti gibljejo okoli Sonca po elipsah, skupno gorišče teh elips pa predstavlja Sonce; da spojnica med središčem Sonca in središčem določenega planeta v enakem času na katerem koli odseku oriše enako ploščino; in da je kvadrat obhodne dobe planeta, deljen s tretjo potenco velike polosi ekliptike, za vse planete enak. Prva izmed teh zakonov je Kepler objavil v Novi astronomiji o gibanju zvezde Mars leta 1609, zadnjega pa v knjigi Skladnost sveta deset let zatem. Ti zakoni so bili podlaga za prikaze tira in hitrosti premikanja planetov okoli Sonca.
Na tem mestu je znanost prišla do vprašanja, zakaj se takšno gibanje sploh dogaja. Tu je svojo vlogo odigral Isaac Newton z zakonom o splošni gravitaciji, ki trdi, da se dve telesi med seboj privlačita s silo, ki je premo sorazmerna njunima masama ter obratno sorazmerna kvadratu razdalje med njunima središčema. Poznavajoč ta zakon je moč sklepati tudi, da se manjše telo vrti okoli večjega. Po tem, ko je Kopernik pokazal na to gibanje, ko je Kepler prikazal njegov potek ter je Newton iznašel vzrok, je prišlo do modernega pogleda na Zemljina gibanja.
[uredi] Vrtenje Zemlje
Planet Zemlja se vrti okoli svoje vrtilne osi, ki potuje skozi oba tečaja in središče. Da se enkrat zasuče okoli svoje osi od zahoda proti vzhodu za 360°, traja 23 ur, 56 minut in 4 sekunde. Točke na zemeljski površini se ne vrtijo z enako hitrostjo zaradi okrogle oblike planeta. Ker mora točka na ekvatorju v enakem času napraviti mnogo daljšo pot kot točka v bližini enega ali drugega pola, mora imeti mnogo večjo hitrost; ta znaša na ekvatorju 465,12 m/s, medtem ko je na samih polih ničelna.
Vrtenja Zemlje neposredno ni mogoče opazovati, saj se skupaj z njo premika tudi vse v njeni notranjosti in, kar je bistveno, v opazovalčevi okolici na površju. Zato se samo po sebi zastavlja vprašanje, ali se vrti Zemlja ali pa morda vse v njeni okolici. To je zmedlo mislece v starogrški družbi, ki so idejo o rotirajoči Zemlji zavrgli zaradi razmišljanja, da bi se v tem primeru zaradi ogromne obodne hitrosti kot posledice velikosti Zemlje (njeno velikost je ocenil Aristotel) vsi nepritrjeni predmeti kotalili sem in tja po njenem površju. Niso namreč še bili seznanjeni z mehanskim zakonom vztrajnosti, ki določa, da se vsako telo giblje s smerjo in hitrostjo, ki mu je bila dana v začetku premikanja, vse dokler ne pride do ovire.
Eden izmed dokazov o vrtenju Zemlje, ki so jih odkrili kasnejši znanstveniki, pa je oddaljenost Zemlji najbližje zvezde Alfa Centaurus. Ta je oddaljena 4,3 svetlobnega leta in da bi v 24 urah obkrožila Zemljo, kot se to navidezno zgodi, bi morala pri takšnem obsegu okoli zemeljskega tira potovati s hitrostjo, mnogo večjo od hitrosti svetlobe, kar pa je za obstoječo materijo nemogoče.
[uredi] Pojavi zaradi vrtenja Zemlje
Pojave, ki dokazujejo vrtenje Zemlje okoli svoje osi, je moč zaslediti bodisi s poskusi na enem kraju bodisi s primerjavo opazovanj na različnih krajih zemeljskega površja.
Pri tem je pomemben pojav, ki ga je s teorijo dokazal že Isaac Newton leta 1679, s praktičnim poskusom pa je bil dokazan 1791. leta. Gre za odklon prosto padajočega telesa, ki ga spustimo s čim večje višine. Pri natančni meritvi je namreč opaziti, da je telo pristalo nekoliko vzhodneje od pričakovane točke, tj. natanko navpično pod točko spusta. Odklon se zgodi zaradi dejstva, da je vrhnja točka poti telesa, denimo vrh stolpa, bolj oddaljen od središča Zemlje in ima zato večjo obodno hitrost. Predmet, odvržen z vrha, bo tako po zakonu vztrajnosti obdržal svojo hitrost potovanja na vzhod in se bo tjakaj premikal hitreje kot točka natanko pod njim, temu primerno pa tudi pristal bolj vzhodno. Takšen odklon je majhen, saj se je pri poskusu meta krogle v rudniški jašek, globok 158,5 metra na zemljepisni širini 51°, krogla znašla 28,4 milimetra vzhodneje od navpičnice. Bolj do izraza pa bi prišel ob npr. odmetu z letala 10 tisoč metrov nad tlemi, ko bi prosto padajoče telo odvisno od zemljepisne širine zaneslo okoli 7 metrov vstran.
Drugi pojav te vrste je navidezno vrtenje ravnine nihala, imenovano tudi Foucaultov poskus z nihalom. Če bi slednjega postavili nad katerega od zemeljskih tečajev tako, da bi podaljševalo vrtilno os, bi nihalo níhalo in pri tem spreminjalo smer gibanja tako, da bi projekcija njegovega gibanja v eni uri ustvarila dva kota po 15° z istim vrhom, in sicer natanko na polu. Vztrajno nihanje bi v 24 urah zarisalo projekcijo gibanja nihala na ravnino, ki bi obsegala kót 360°. Praktični preizkus takšnega pojava, ki ga je možno izvesti kjerkoli izvzemši točke na ekvatorju, je leta 1851 izvedel francoski fizik Léon Foucault v kupoli pariškega Panteona s 67 metrov dolgo kovinsko vrvjo in 28 kilogramov težko kroglo na njenem koncu, na spodnji strani krogle pa z iglo, ki je v posuti pesek risala vzorec. Njen odklon v eni uri je znašal 11° 17'. Takšen pojav se pripisuje dejstvu, da se bo nihalo vedno gibalo v prvotni smeri ne glede na premikanje točke, na katero je obešeno. Poskus pa bi ne deloval na ekvatorju, saj sta ravnina ekvatorja in ravnina meridiana za razliko od drugih lokacij enaki ves čas vrtenja Zemlje.
Posledica vrtenja Zemlje je tudi njena različna težnost, ki je odvisna od zemljepisne širine. Tako na ekvatorju izmera vrednosti zemeljskega pospeška da vrednost 978,049 cm/s², medtem ko je na obeh polih ta rezultat 983,221 cm/s². Videti je, da je težnost na polih večja od tiste na ekvatorju. Razliko gre pripisati vplivu centrifugalne sile, ki jo proizvaja ravno vrtenje Zemlje. Ta deluje v nasprotni smeri sile teže in jo zato zmanjšuje, in sicer najmočneje na ekvatorju, saj je tam obodna hitrost in z njo centrifugalna sila največja.
Ena bolj pomembnih neposrednih posledic vrtenja Zemlje pa je tudi odklon horizontalnih gibanj na površju Zemlje, imenovan Coriolisova sila po francoskem inženirju Gaspardu Gustavu Coriolisu. To je pojav, v katerem se vsa velika gibanja po površju Zemlje, kakršna so morski in zračni tok, izstreljena topovska krogla, potujoča raketa, vlak na železniških tirih in reka, odklanjajo od prvotne smeri, in sicer je ta odklon tem bolj izrazit, čim bolj vzporedno s poldnevnikom se gibanje vrši, tj. od severa proti jugu ali obratno. Tako je opaziti odklon v desno, ko preučujemo takšno gibanje na severni polobli Zemlje ter odklon v levo, ko gre za gibanje na njeni južni polovici; reke, ki tečejo po severni poluti od severa proti jugu, imajo bolj erodirane svoje vzhodne (torej leve) bregove, v nasprotnem primeru pa so razjedeni zahodni bregovi. Smer je obratna na južni polobli. Isto velja tudi za železniške tire. Efekt je, kot omenjeno, še ena izmed posledic vrtenja Zemlje okoli vrtilne osi: če se telo giblje na drugačni zemljepisni širini od tiste, proti kateri potuje (kar se najizraziteje zgodi ob gibanju od severa proti jugu ali obratno), ima tudi drugačno obodno hitrost od okolice, proti kateri se premika. Tu zopet nastopi zakon inercije (vztrajnosti), ki povzroči, da telo, gibajoče se proti ekvatorju, skuša zadržati svojo hitrost gibanja proti vzhodu, ta pa je manjša od hitrosti tal nekoliko bolj proti ekvatorju. Posledično to telo�»odriva«�tla pod seboj na zahod, kar je vidno v npr. bolj erodirani zahodni strani rečnega brega, katerega tok potuje proti ekvatorju. Coriolisova sila je zraven tega tudi pomemben dejavnik pri pihanju pasatov, katerih pot se začne na okoli 30° severne in južne geografske širine ter je usmerjena proti ekvatorju. Ti vetrovi se počasi odklanjajo proti zahodu, tako da na severni polobli pridobijo novo smer severovzhod-jugozahod, medtem ko na južni strani ekvatorja začno potovati od jugovzhoda proti severozahodu; ko preidejo ekvatorsko črto, gre njihov odklon v drugo smer.
Pojav premikanja poti umetnih satelitov je znanost zasledila šele v obdobju potovanj v vesolje. Podlaga pojavu so umetni sateliti oziroma njihove orbite. Ti sateliti v določenem času obkrožijo Zemljo, pri tem pa presekajo ekvator vsakič v drugi točki, in sicer nekoliko zahodneje od točke, skozi katero so nad ekvatorjem potovali v prejšnjem krogu poti. Do tega pojava bi ne prišlo v primeru nerotirajoče Zemlje.
[uredi] Posledice vrtenja Zemlje
Najbolj opazna posledica Zemljinega vrtenja okoli vrtilne osi osi je menjavanje dneva in noči. V vsakem trenutku je tako osvetljena natanko polovica Zemlje, medtem ko je njena druga polovica obrnjena stran od Sonca, zaradi česar je na tem delu površja čas noči. Takšno menjavanje dneva in noči ima cel kup posledic zlasti na zemeljsko površje in posledično tudi na življenje človeka.
Tudi sploščenost Zemlje gre pripisati njenemu vrtenju. Vsako telo, ki se vrti, se namreč splošči na spodnjem in zgornjem delu, njegova sredina pa se izboči. Pri tem sta vpleteni centrifugalna in centripetalna sila, ki ju povzroča Zemljino dnevno vrtenje.
To vrtenje pa poleg množice drugih posledic povzroča vkup z vplivom Meseca tudi plimovanje morja.
[uredi] Kroženje Zemlje
Vrtenje Zemlje je potovanje tega planeta po tiru okoli Sonca. Za to pot pri svoji srednji hitrosti 30 km/s potrebuje 365,24 zemeljskih dni. Zakone, po katerih se to gibanje vrši, je utemeljil nemški astronom Johannes Kepler.
Tir Zemlje okoli Sonca ima obliko elipse ter je nameščen na ravnini ekliptike. Njegov obseg je 939.200.000 kilometrov, dolžina velike osi elipse, ki se imenuje apsidnica, znaša 299 milijonov kilometrov, medtem ko krajša os meri 42.000 kilometrov. Apsidnica je povezovalna črta med perihelijem, ki je Soncu najbližja točka na Zemljini poti, ter med afelijem, ki leži najdlje od Sonca glede na Zemljino pot; Sonce se namreč sicer nahaja na apsidnici, a ne na njeni sredini. Linearna ekscentričnost, ki je oddaljenost Sonca od središča apsidnice, nosi vrednost 2.504.000 kilometrov. Elipsa Zemljinega tira je precej podobna krogu, saj je njena ekscentričnost z vrednostjo 0,0167491 majhna.
Ekliptična ravnina z nebesnim ekvatorjem oklepa kót 23° 26' 42", iz česar sledi, da je Zemlja glede na ekliptiko nagnjena za tolikšen kót, velikost kota med ekliptiko in Zemljino osjo vrtenja pa znaša 66° 33' 18". Posledica te nagnjenosti so letni časi, pa tudi podnebni pasovi, dolžina dneva idr.
Na Zemljinem tiru se pojavlja več značilnih točk. Dve že omenjeni točki sta perihelij, ko je Zemlja Soncu najbližje, tj. 147 milijonov kilometrov stran, ter afelij, ko se Zemlja nahaja 152 milijonov kilometrov stran od Sonca oziroma je najdlje. Preostaneta še dve pomembni točki, katerih oddaljenost od Sonca je enaka, tj. 149.500.000 kilometrov oziroma natanko 1 astronomska enota. Druga pomembna skupina točk na apsidnici so štiri kardinalne točke, ki označujejo trenutek po dveh Sončevih obratov in enakonočij. Slednji, spomladansko in jesensko enakonočje – torej trenutek, ko se Sonce nahaja v zenitu nad ekvatorjem in ko je na vseh točkah Zemlje dolžina dneva enaka dolžini noči – povezuje ekvinokcijska črta, ki poteka skozi Sonce. Preostali dve točki, poletni in zimski solsticij oziroma Sončev obrat – trenutek, ko se Sonce nahaja v zenitu nad severnim ali južnim povratnikom in je torej najbolj odklonjeno od ekvatorja – pa povezuje solsticijska črta, ki ravno tako prebada Sonce in je na ekvinokcijsko črto pravokotna. Kót med apsidnico in solsticijsko črto v današnjem času znaša 11°, ta nagnjenost pa povzroča, da se Zemlja v zimskem Sončevem obratu znajde prej kot v periheliju in v poletnem obratu prej kot v afeliju.
Hitrost Zemljinega kroženja se skozi leto spreminja zaradi različne oddaljenosti od vira privlačnosti, tj. Sonca. Ko je Zemlja Soncu najbližje, je njena hitrost potovanja skozi vesolje največja in znaša 30,287 km/s, v trenutku največje oddaljenosti pa se hitrost spusti na najmanjšo, 29,291 km/s. Zemljina srednja hitrost je 29,87 km/s, iz tega pa je moč izpeljati, da Zemlja v enem dnevu napravi povprečno 258,082 kilometra.
[uredi] Pojavi zaradi kroženja Zemlje
Pojave oziroma dokaze za gibanje Zemlje okrog Sonca je za razliko od dokazov za vrtilno gibanje namesto na zemeljskem površju potrebno iskati v Vesolju, in sicer večinoma zunaj Osončja.
Eden izmed bolj znanih pojavov, ki jih povzroča Zemljino kroženje, je letna paralaksa zvezde ali spreminjanje lege zvezd na nebu, kar pomeni, da se posamezno ozvezdje ob istem času noči v različnih delih leta ne bo pojavljalo na isti točki. Že Kopernik je dokazal, kako je vrtenje zvezd okoli Zemlje nemogoče dejstvo, kar je potrdilo, da se vrti Zemlja sama. To paralakso pa je bilo v praksi moč natančno opazovati in meriti šele z dovršenimi instrumenti 19. stoletja. Paralaktično gibanje so Bessel, von Struve in Henderson leta 1839 potrdili za zvezde 61 Laboda, Vego v Liri in Proksimo Kentavra. S tem so podali prvi stvaren dokaz za krožilno gibanje Zemlje. Zaradi velike oddaljenosti zvezd imajo paralaktični koti izredno majhne vrednosti; največjo izmed teh ima zaradi svoje največje bližine z Zemljo izvzemši Sonce Proxima v Kentavru, in sicer 0,765". Podatki o paralaktičnem kotu omogočajo merjenje oddaljenosti zvezde od Zemlje, tako je Proksima od slednje oddaljena 4,3 svetlobnega leta.
Pri drugem posledičnem pojavu gre za aberacijo svetlobe, katere primerjavo gre iskati v npr. streljanju glinenih golobov; pri tem je potrebno streljati nekoliko naprej na tir leta glinenega goloba, če naj krogla zadane cilj. To se pojavlja zaradi navideznega odklona oziroma aberacije krogle. Podobno pa je tudi z Zemljo, na katero pada svetloba zelo oddaljenega nebesnega telesa, na primer zvezde. Tu je bil pionir Anglež Bradley, ki je 1725. leta skozi daljnogled opazoval zvezde in dognal, kako nekatere izmed njih lahko vidi le za trenutek, nakar izginejo s slike daljnogleda. Če je daljnogled nekoliko odklonil, se je zvezda pokazala. Takšnega odklona svetlobnega žarka ne bi bilo, če se Zemlja ne bi premikala pravokotno na padanje svetlobe ali vsaj postrani glede na to smer. V primeru vzdolžnega gibanja takšne aberacije namreč ni.
Odkritje naslednjega pojava je prispevalo preučevanje Jupitra in mrkov njegovih naravnih satelitov Io, Evrope, Ganimeda in Kalista, odkritih v 17. stoletju. Slednji mnogokrat zaidejo v obsežno senco svojega matičnega planeta in zgodi se njihov mrk. Te mrke je opazoval danski astronom in matematik Rømer in zaznal, da se v določenih primerih pojavlja razlika med izračunanim časom in dejanskim časom mrka, in sicer do te razlike pride na približno 6 mesecev. Razlaga je v tem, da se Jupiter tako kot Zemlja vrti okrog Sonca, a en Zemljin obrat terja mnogo manj časa od Jupitrovega. Tako je Zemlja v danem trenutku poravnana na črti med Soncem in Jupitrom ter je od slednjega oddaljena 4,2 astronomske enote. Čez čas, tj. čez približno6 mesecev, pa bo po svojem tiru pripotovala na drugo stran Sonca, tako da bo tokrat med obema planetoma prav Sonce. V tem primeru razdalja med Jupitrom in Zemljo znaša 6,2 svetlobni leti, saj je potrebno prišteti še dve astronomski enoti, torej dve oddaljenosti Sonca od Zemlje. Tu pa pride do znatne razlike v času potovanja svetlobe od Jupitrovih satelitov do Zemlje; tako v prvem primeru svetloba za pot terja 34 minut 54 sekund, v drugem pa 51 minut 31 sekund. Odtod razlika v izračunanem in dejanskem času mrka v Rømerjevem raziskovanju.
Tako imenovano navidezno vzvratno gibanje planetov je ravno tako posledica kroženja Zemlje. Planeti, vkup z Zemljo, krožijo okrog Sonca, pri tem pa so različno hitri in tisti bolj oddaljeni potrebujejo za obhod okrog Sonca več časa. Tako Zemlja v ta namen potrebuje 365,24 dneva, Mars pa 687 zemeljskih dni. Temu sledi pojav, ko opazovalec z Zemlje vidi gibanje počasnejših planetov, kakršen je Mars, včasih naprej, čez čas pa nazaj in nato zopet naprej. Takšna podoba se porodi iz dejstva, da oba planeta potujeta v isto smer, a je Zemlja pri tem hitrejša. Dokler sta planeta v določeni legi, se na projekciji Marsa na nebo vidi, kako tudi ta potuje v določeno smer. Ker pa je Zemlja hitrejša, bo v danem trenutku prešla črto, ki povezuje Sonce in Mars, zaradi česar bo v trenutkih zatem pri projekciji na nebo prišlo do izgleda, da se slednji premika nazaj po nebu. Ko bo Zemlja spremenila kot smeri svoje poti glede na Mars (bo�»zavila za Sonce«), se bo ta glede na Zemljo premikal nekoliko hitreje ter zopet dajal izgled, da potuje v prvotni smeri.
O kroženju Zemlje pa priča tudi različna gostota meteorjev v Zemljinem ozračju ob različnih časih. To so trdna nebesna telesa, ki jih Zemlja zaradi svoje sile privlačnosti pritegne v ozračje; tu se zaradi trenja segrejejo in uplinijo na višini okoli 80 kilometrov nad površjem Zemlje. Obstaja tudi več meteornih deževij, ko se ta telesa v Zemljinem ozračju pojavijo naenkrat v večjem številu. Ker se Zemlja, ki potuje okrog Sonca, premika v določeno smer, pobere na svoji sprednji strani glede na smer poti več meteorjev. Tako velja naslednje: podnevi, okvirno med 6. in 18. uro, ni moč videti meteorjev, saj je svetloba pri vžigu šibka in je vidna le na nočnem nebu; vidimo jih torej med 18. in 6. uro. Po Šmidovem opazovanju velja, da se med 18. in 24. uro v ozračju pojavi na neki točki Zemlje 56 meteorjev, medtem ko po polnoči in do 6. ure zjutraj v ozračje zaide 116 teh teles. Noč do 24. ure je namreč čas, ko je ta del Zemlje na zadnji strani glede na smer poti, medtem ko površje s krajevnim časom med 00.00 in 06.00 potuje na sprednji strani Zemlje.
[uredi] Posledice kroženja Zemlje
Neposredni posledici Zemljine poti okoli Sonca sta menjavanje dolžine dneva in noči ter letni časi.
[uredi] Dolžina dneva in noči
Kroženje Zemlje povzroča izgled, da se Sonce premika po nebu. Tu je potrebno ločevati dvoje gibanj, izmed katerih je prvo dnevno in letno gibanje glede na horizont ter drugo letno gibanje glede na lego ozvezdij. Če bi bila Zemljina vrtilna os pravokotna na ekliptiko, letnih časov ne bi bilo, dan in noč pa bi bila dolga vedno enako. Takšne in podobne razmere bi korenito spremenile podobo Zemlje in življenja na njej.
V 24 urah Sonce napravi navidezni krog okoli planeta. Del tega časa se nahaja pod horizontom, drugi del pa nad njim. Takšna pot pa se vsak dan v letu spreminja (Sonce vzhaja, kulminira in zahaja na različnih mestih) zaradi različne lege Zemlje na svoji tirnici. Za severno poloblo tako velja, da Sonce ob enakonočju (približno 21. marca in 23. septembra) vzide na 0°, natanko na vzhodu, ter se premika preko točke svoje kulminacije do točke zahoda, ki se tega dne ravno tako pokriva s točko zahoda po azimutu. Zemlja se na ta datum namreč znajde na presečišču ekliptike in nebesnega ekvatorja in to pomeni tudi, da bo dan enako dolg kot noč, tj. 12 ur (v praksi je tega dne dan nekoliko daljši zaradi polovice Sonca, ki ob času vzhoda in zahoda še vedno gleda na dan). Po tem datumu se Sonce začne premikati proti severu, tako da je deklinacija točke njegovega vzhoda vedno večja od točke azimutnega vzhoda, dokler ne doseže maksimuma 23° 26' 42" na dan 21. junija; Sonce se znajde v zenitu nad severnim povratnikom. Zatem pa se njegov vzhod in zahod vsak dan spuščata bolj proti 0° oziroma 270° azimuta in ga prekoračita okoli 23. septembra, na dan, ko je Sonce zopet v zenitu nad ekvatorjem. Ta deklinacija nato ponovno raste, ko Sončev zenit potuje proti njegovi najjužnejši točki v celotnem letu, tj. južnem povratniku; doseže ga 21. decembra. V tem času Sonce preide točki zimskega in poletnega Sončevega obrata, ki postavljata naravno določena vzporednika kot povratnika (Rakov povratnik na 23° 26' 42" s.g.š. in Kozorogov povratnik na 23° 26' 42" j.g.š.), ter točki pomladanskega in jesenskega enakonočja, ko sončni žarki na ekvator padajo pravokotno. Za južno poloblo pa seveda velja, da je Sonce v zimskem obratu 21. junija, ko se tamkaj prične zima, medtem ko se poletni obrat za južno poluto zgodi 21. decembra ob tamkajšnjem začetku poletja.
Po tem načinu navideznega premikanja Sonca po nebu sta določena tudi vzporednika, ki veljata za severni in južni tečajnik, tj. točki, na kateri Sonce ob bolj oddaljenem solsticiju ne posije več in je noč dolga 24 ur, obratno pa velja za bližnji solsticij, ko Sonce ne zaide, pač pa se le�»dotakne«�obzorja. Ob potovanju od tečajnika proti polu je število dni s stalnim Soncem (poleti) oziroma stalno nočjo (pozimi) vedno večje.
Vsemu temu sledi, da je dan celo leto enako dolg edino na območjih ekvatorja, medtem ko ob premikanju proti polu vedno bolj variira dolžina dneva in noči čez leto. Tako je ekvatorski dan dolg 12 ur ob vseh dneh leta, na polu pa je ta dolg 24 ur (vštevši različno dolg vsakodnevni mrak) od enega enakonočja do drugega (torej 6 mesecev), nato pa nastopi 6 mesecev dolga noč. Potemtakem se dan in noč čez celo menjavata le do tečajnikov. Preko teh se začne območje, kjer je najti tem bolj stalen (več dni trajajoč) dan, bolj ko se opazovalec premika proti polu.
[uredi] Gibanje Sonca glede na lego zvezd
Sonce pa se čez leto navidezno giblje tudi glede na nebesni obok, torej glede na lege posameznih ozvezdij. Te premike je težje zaznati, saj niso vidni neposredno, ker so zvezde vidne le ponoči, nasprotno pa velja za zvezdo Sonce. Tu je zato potrebno projicirati lego Sonca na nebesni obok, tako da se izmeri njegova višina (kot od obzorja) v kulminaciji, ter nato opazovati, katera zvezda se bo na tej višini pojavila ob Sončevi spodnji kulminaciji, tj. opolnoči.
Skozi različne mesece se na tej lokaciji pojavijo različna ozvezdja. Ekliptika in nebesni ekvator se sekata v dveh točkah, to je v točkah enakonočij. V prvo, ki se imenuje pomladišče in nosi oznako ozvezdja Ovna, Solnce zaide 21. marca. Danes se v tem času nahaja na območju ozvezdja Rib, a oznaka izhaja iz časa antične Grčije. V drugi izmed obeh točk, jesenišču, z oznako ozvezdja Tehtnice, se Sonce znajde 23. septembra, ko�»potuje«�skozi ozvezdje Device; drugačna oznaka enakonočja pa takisto izvira iz grških časov. Sonce tako v času enega leta prepotuje 12 ozvezdij, ki imajo večinoma živalska imena, zato so stvaritelji teh imen antični Grki ta krog povezali v tako imenovani zodiak.
[uredi] Dolžina mraka
Svetloba Sonca zaradi razprševanja svetlobe po atmosferi prodira do določene točke zemeljskega površja tudi po zahodu njenega vira za obzorje. Tako prihaja do pojava mraka, ki podaljšuje dan. Deljen je na meščanski mrak, ki traja od zahoda Sonca do trenutka, ko se Sonce nahaja 6° pod obzorjem, navtični mrak, ko ta kot znaša med 6° in 12°, ter astronomski mrak, ki traja od navtičnega mraka pa do popolne stemnitve, tj., ko je Sonce od obzorja odklonjeno med 12° in 18°.
Dolžina mraka pa je odvisna od tega, kako globoko pod obzorjem je Sonce v svoji spodnji kulminaciji; globlje je, tem hitreje se bo zmračilo, saj mora Sonce v tem primeru preiti veliko količino zemeljske površine na drugih straneh planeta, da zopet vzide v istem času kot na območju, kjer ne potuje tako globoko pod obzorje. Tako na ekvatorju, kjer se Sonce ponoči izgubi za več kot 66° (vse do 90°) pod obzorje, jutranji in večerni mrak skupaj nikoli ne trajata več kot uro. Na drugi strani pa je mrak tem daljši, bolj se opazovalec seli stran od ekvatorja. Že na 50° zemljepisne širine je v času solsticija mrak dolg 8 ur, celoten čas od Sončevega zahoda do vzhoda (torej noč) pa znaša 7 ur in 51 minut. To pomeni, da se na tej lokaciji večerni in jutranji mrak spojita ter izničita pojav noči, kar se imenuje bela noč. Ta se natanko en dan v letu pojavi na 48° 33' 24"; vedno dalje na sever je vedno več belih noči v letu, dokler pojav na tečajniku ne pride do izraza v tej meri, da Sonce en dan v letu (ob solsticiju) sploh ne zaide.
Tako se med ekvatorjem in 48° 33' 24" geografske širine stalno menjavata dan in noč, bele noči ni. Med omenjeno širino in 66° 33' se še vedno menjavata dan in noč, a se okoli solsticija pojavljajo bele noči, ki jih je vedno več ob potovanju proti zgornji meji tega pasu zemljepisne širine. Med 66° 33' in 84° 33' zemljepisne širine se dan in noč del leta menjavata, a sta globoko prekinjena z mrakom, to nemenjavanje pa traja več dni v zgornjih širinah tega pasu. Nad to mejo pa sta polarni noč in dan, ki ju mrak ne prekinja več, temveč slednji traja več dni skupaj pred nastopom neprekinjenega dne ali noči.
[uredi] Letni časi
Tudi menjavanje letnih časov je posledica kroženja Zemlje. En astronomski letni čas je obdobje med dvema kardinalnima točkama, torej med enakonočjem in solsticijem ter obratno.
Pomlad oziroma jesen se začne, ko je Sonce v enakonočju. To je čas, ko je Sončeva toplota enakomerno razporejena med obe polobli in pričenja postopoma eno poloblo ogrevati bolj od druge. Ko začne Sonce od ekvatorja potovati navzgor, je to na severni poluti pomlad, ki traja vse do solsticija. Ko se prične od dneva enakonočja spuščati dalje navzdol, se prične jesen, ravno tako trajajoča vse do zimskega solsticija. Poletje oziroma zima se začneta, ko je Sonce v točki solsticija. V tem časovnem obdobju je Sonce najbolj oziroma najmanj nagnjeno k posamezni poluti ter jo zato bodisi segreva bodisi se ta ohlaja. Temperature bodo zato v nadaljnjih mesecih naraščale oziroma se spuščale.
Astronomski letni časi niso enako dolgi zaradi neenakomernega gibanja Zemlje. Standardni začetki se zgodijo na 21. marec, 21. junij, 23. september in 21. december, ti datumi pa se lahko menjajo. Ker se zimski solsticij nahaja v bližini perihelija, je takratna hitrost Zemlje velika in zima je zato krajša od poletja, saj se Zemlja v času poletja giblje okoli afelija in zato počasneje. Kót 11° med apsidnico in solsticijsko črto se veča, saj se zaradi premikov Zemljine vrtilne osi vsak Sončev obrat zgodi nekoliko prej kot prejšnji, kar pomeni, da se točka tega obrata na tiru premika v nasprotno smer kot Zemlja.
[uredi] Toplotni pasovi Zemlje
Za ogrevanost posameznih delov površja Zemlje je pomemben vpadni kót sončnih žarkov. Če je vpadni kót večji, mora namreč enaka količina žarkov segreti večjo površino, ker padajo ti bolj postrani, to pa seveda pomeni manj energije za vsak kvadratni meter. To je vzrok nastanku toplotnih pasov Zemlje. To so tropski pas, ki se nahaja med obema povratnikoma, zmerna pasova, ki ležita med povratnikoma in tečajnikoma, ter hladna pasova od tečajnikov dalje proti poloma.
Tropski pas je območje stalno visokega Sonca, ki močno segreva Zemljo. Temperature so posledično visoke, dan in noč trajata približno enak del obrata okoli osi, deževna doba je izrazita in se začne po prehodu Sonca skozi zenit. V zmernem pasu Sonce ne pride v zenit ter je segrevanje zaradi tega nekoliko šibkejše. Pojavljajo se štirje letni časi, pa tudi razlike v trajanju dneva in noči. Hladni toplotni pas pa zaznamuje zelo nizko Sonce, ki v določenem delu dneva sploh ne pogleda izza obzorja; segrevanje je zato slabo. Rednega menjavanja dneva in noči ni, določen del leta tako zavzameta le polarni dan ali polarna noč. Obstajata dva letna časa, in sicer izjemno mrzla zima ter nekoliko toplejše, a kljub temu hladno poletje. Vse naštete razlike imajo kritičen vpliv na fizično- in družbenogeografske značilnosti okolja.

Summary:
Gíbanje Zêmlje ima več oblik in vpliva na množico pojavov, ki se zlasti tičejo površja Zemlje; tako je vzrok letnim časom, menjavanju dneva in noči ter njunim dolžinam, pa tudi različnim podnebnim pasovom, določanju časa in več drugim predmetnostim. Osnovni gibanji Zemlje sta njeno vrtenje (rotacija) in kroženje (revolucija). Prva pomeni vrtenje planeta okoli njegove osi z obodno hitrostjo na ekvatorju 465,12 m/s, kar pomeni zasuk za 360° v enem dnevu oziroma 23h 56m 4s. Neposredna posledica tega vrtenja je menjavanje dneva in noči. Kroženje Zemlje pa pomeni gibanje po tiru okoli Sonca s srednjo hitrostjo 30,287 km/s, kar za celoten obrat terja eno leto oziroma 365,24 zemeljskih dni.
Z gibanjem Zemlje se je ukvarjala znanost večine poznanih civilizacij, kar pomeni, da je bilo predmet mnogih razprav, raziskovanj in nazadnje domišljijskih predstav. Glede na to, da opazovanje neba neposredno napeljuje na misel o nepremični Zemlji in premikanju nebesnih teles okoli nje, so bile sem usmerjene misli mnogih ljudstev.


[uredi] Ozadje in zgodnje delovanje
Frakcija je nastala iz treh različnih levo usmerjenih skupin, ki so igrale pomembno vlogo na političnem prizorišču Zahodne Nemčije ob koncu 60. in na začetku 70. let. Znane so bile pod imeni Frakcija rdeče armade, Gibanje 2. junij in Revolucionarne celice.
Zasnova teroristične skupine pa je bilo Gibanje 2. junij; to je nastalo po dogodkih leta 1967 v okviru vseevropskih študentskih protestov, ki so prišli do izraza tudi v Zahodni Nemčiji. Sicer mirni protesti so se sprevrgli v izgrede med obiskom iranskega šaha Mohameda Reze Pahlavija v Zahodnem Berlinu, ko so se v Nemčiji živeči izgnani Iranci skupaj s študentskim gibanjem spopadli s policijo, pri čemer je bil 2. junija ubit Benno Ohnesorg. Vietnamska vojna ter policijsko nasilje, ki je povzročilo smrt tega nemškega študenta, sta motivirali množico mladih ljudi, da so se združili v gibanje Nove levice, izmed katerih je v tistem času izstopalo anarhistično zasnovano ekstremno Gibanje 2. junij. Ravno tako so ti dogodki v politični dejavnosti združili Thorwalda Prolla, Horsta Söhnleina, Gudrun Ensslin in Andreasa Baaderja.
Aprila leta 1968 sta Baader, Ensslinova in še dva tovariša iz protesta proti vojni v Vietnamu zanetila požar v dveh veleblagovnicah v Frankfurtu. Dejanje samo po sebi niti ni bilo tako pomembno, a je sprožilo verižno reakcijo dogodkov, ki so pustili veliko večji pečat. Baader in Ensslinova sta bila za napad obsojena in poslali so ju na prestajanje kazni, a sta leta 1970 ob pomoči Ulrike Meinhof uspela pobegniti, kar velja za začetek RAF-a. Skupina Baader-Meinhof se je nato usposabljala v kampu Palestinske osvobodilne organizacije (PLO) v Jordaniji. V naslednjih dveh letih je bila omenjena trojica skupaj z Janom Carlom Raspejem in Holgerjem Meinsom na begu, v tem času so ropali banke in podstavljali bombe po različnih zgradbah. Njihova prva smrtna žrtev, policist v Hamburgu, je padla leta 1971.
To obdobje se je končalo z velikim strelskim obračunom v Frankfurtu junija 1972, ko je policija aretirala Baadra, Raspeja in Meinsa. V naslednjih treh tednih je policiji uspelo prijeti tudi Gudrun Ensslin, ko je v nekem butiku kupovala obleke, in kmalu za tem še Ulrike Meinhof. Člani Frakcije so prebivali v samicah, obiski sorodnikov pa so bili dovoljeni le vsaka dva tedna. Zaradi slabega ravnanja je skupina izvedla več gladovnih stavk, v katerih je 9. novembra 1974 umrl Meins. Policija pa je bila prepričana, da ji je uspelo razbiti jedro teroristične skupine. Vendar je kmalu za aretacijami na prizorišče stopila druga generacija teroristov RAF, ki so jih iz zapora usmerjali Baader, Meinhofova in tovariši. Reorganizirali so udarne teroristične celice ter jih pripravili na dejavnost. Vse to je trajalo precej časa, zaradi česar je druga generacija teroristov udarila šele spomladi leta 1975. V času, ko so jedru skupine Baader-Meinhof pripravljali sojenje, je gibanje 27. februarja tega leta ugrabilo Petra Lorenza, ki je bil takrat predsednik krščansko-demokratske unije in kandidat za berlinskega župana. Oblasti so temu pritisku popustile in izpustile šest teroristov. Horst Mahler je zavrnil ponudbo za izpustitev in za javnost izjavil, da raje ostane v zaporu, kajti take reči prav nič ne prispevajo k revolucionarnemu vrenju v Nemčiji.
Sledila je teroristična okupacija zahodnonemškega veleposlaništva v Stockholmu 24. aprila 1975, v kateri so umrle štiri osebe, od teh 2 pripadnika Frakcije rdeče armade. Tako se je 21. maja 1975 začelo t.i. Stammheimsko sojenje Baaderju, Ennslinovi, Meinhofovi in Raspeju, imenovano po okrožju Stuttgarta, kjer je bilo izvedeno. Večkrat je to sojenje označeno za najbolj odmevno sojenje v Nemčiji. 9. maja 1976 je bila v svoji celici najdena obešena Ulrike Meinhof. Zaključek uradne preiskave je bil, da je Meinhofova izvedla samomor, kljub temu pa je vzniknilo več teorij zarote. V času sojenja, ki se je po 192 dneh končalo 28. aprila 1977 in obtožence zaradi več umorov in njih naklepov ter teroristične dejavnosti obsodilo na dosmrtno zaporno kazen, se je odvilo še več akcij teroristične skupine.
[uredi] Nemška jesen 1977
Vrhunec dogajanja v zvezi s Frakcijo rdeče armade je pomenila Nemška jesen 1977, ki je močno zamajala družbenopolitični prostor takratne Zahodne Nemčije. 5. septembra 1977 so člani skupine v Kölnu ugrabili predsednika Zveze delodajalcev Martina Schleyerja. Medtem ko je njegov voznik prisilno zaviral pred otroškim vozičkom, ki se je iznenada pojavil na cesti, se je spremljevalno policijsko vozilo zaletelo v zadnji del njegovega avtomobila. Teroristi so izkoristili načrtovano zmedo in ubili šoferja ter policiste, Schleyerja pa odvedli. Na zvezno vlado v Bonnu je zatem prispelo pismo z zahtevo po izpustitvi 11 pripadnikov teroristične skupine. Kot odgovor na to je bil oblikovan krizni štab, ki ga je vodil Helmut Schmidt; ta je zadrževal pogajanja, da bi s tem pridobil čas za iskanje ugrabljenca, kar se je vleklo več kot mesec dni. V tem času so bili jetnikom popolnoma odrečeni vsi stiki z zunanjim svetom.
Situacija se je še dodatno močno zaostrila 13. oktobra, ko so palestinski zavezniki Frakcije ugrabili letalo Lufthanse s 86 potniki na poti iz Mallorce proti Frankfurtu ter pri tem ubili pilota. Zahtevali so izpustitev Baaderja in Ensslinove, zraven tega pa pomilostitev nekaj palestinskih zapornikov v Turčiji in 15 milijonov ameriških dolarjev. Toda nemške protiteroristične policijske enote so v somalskem Mogadišu izvedle napad na letalo ter osvobodile potnike. Ko sta terorista izvedela, da so njuni načrti propadli, sta si sama vzela življenje, z njima pa tudi nekaj drugih članov skupine. Domnevni skupinski samomor, kot je to zapisano v rezultatih uradne preiskave, je preživela sicer ranjena Irmgrad Möller. Naslednji dan so v prtljažniku nekega avtomobila našli tudi Schleyerjevo truplo.
Maja 1978 je bila četverica teroristov druge generacije RAF-a, vpletenih v zločine, na čelu z "železno lady" Brigitte Mohnhaupt aretirana v Zagrebu. Pol leta pozneje so bili izpuščeni, domnevno zato, ker Nemčija ni hotela izplniti jugoslovanske zahteve po izročitvi sovražne emigracije. Odpotovali so v v južni predel Jemena in nato nadaljevali akcije do aretacije leta 1982.
[uredi] RAF v 80. in 90. letih
Padec komunizma in Vzhodnega bloka ob koncu osemdesetih let sta s seboj prinesla tudi močno oslabitev levičarskih skupin, a se je kljub temu sicer močno zmanjšana aktivnost Frakcije rdeče armade nadaljevala še v 90. leta. Sem sodijo uboj industrialca Ernsta Zimmermanna, bombni napad na ameriško letalsko oporišče Ramstein v bližini Kaiserslauterna, uboj izvršnega direktorja Siemensa Karla-Heinza Beckurtsa in poskus atentata Gerolda von Braunmühla, funkcionarja nemškega zunanjega ministrstva. Zraven tega so člani RAF osumljeni več drugih terorističnih napadov.
Po združitvi obeh Nemčij leta 1990 se je potrdil poprejšnji sum, da je zatočišče in politično ter materialno podporo Frakciji rdeče armade nudila vzhodnonemška obveščevalna služba Stasi.
V prvi polovici devetdesetih let, tj. ob koncu delovanja skupine, je bila njena dejavnost usmerjena zlasti v osvobajanje jetnikov članov RAF. Zadnja večja protiteroristična akcija v povezavi s Frakcijo se je odvila 1992. leta, ko se je z namenom razbitja mreže vanjo infiltriral tajni agent Klaus Steinmetz. Po njegovi zaslugi naj bi prišlo do aretacije dveh članov, a je eden izmed njiju padel v akciji. Frakcija rdeče armade pa je svojo zadnjo akcijo izvedla leta 1993 z bombnim napadom na novo zgrajeni zapor, pri čemer je nastalo za 123 milijonov takratnih nemških mark škode.
20. aprila 1998 je tiskovna agencija Reuters prejela faks, natipkan v nemščini na osem straneh ter podpisan z logotipom RAF. V njem je bila tudi izjava o razpustitvi skupine:
[uredi] Ideologija
Teroristična skupina je zagovarjala filozofijo, ki je bila mešanica marksizma in maoizma, mnogokrat pa je zagovarjana teza, da je šlo za golo uporništvo srednjega razreda. Skupina se je pojavila v obdobju, ko je bilo politično življenje v Zahodni Nemčiji najbolj razburkano. Če izvzamemo Francijo, je bilo nemško študentsko gibanje v tistem času najbolj radikalno v Evropi. Nekateri vodilni člani tedanjega študentskega gibanja so svoje delo nadaljevali z ustanovitvijo nemške radikalne stranke Zelenih, ki je sedaj zastopana tudi v nemškem parlamentu. Teroristi so smrtno obsodbo kapitalističnemu sistemu napovedali zato, ker naj bi nasprotovali vietnamski vojni in nacizmu generacije svojih staršev ter upali na lepšo prihodnost človeštva. Njihovi nekdanji sodelavci pa zatrjujejo, da so bili samo na vse pripravljeni egoisti in igralci ruske rulete.
Pripadniki Frakcije rdeče armade so zagovarjali tudi ideologijo, ki je temeljila na anarhizmu; njihova predstava svobode je temeljila na zavračanju demokratičnega centralizma. RAF je bila tipičen predstavnik marksističnega gibanja tistega časa, na katera so imeli velik vpliv predstavniki Tretjega sveta (Mao Zedong, Che Guevara in Marighella).
Na drugi strani je bilo Gibanje 2. junij brezkompromisna anarhistična skupina, ki ni imela tako kot RAF marksističnih ciljev. V času svojega obstoja ni izdala niti enega ideološkega dokumenta. Večina njenih aktivistov je prihajala iz anarhističnih krogov, po združitvi z RAF so popolnili njihove anarhistične celice. Skupino Revolucionarne celice bi lahko opisali kot svobodno federacijo revolucionarjev, ravno tako ne marksistično-leninistične usmeritve. Eden od vodilnih aktivistov je skupino Revolucionarne celice definiral kot nasprotje leninističnim načelom nemškega študentskega gibanja, ki je postalo okuženo z dogmatizmom in strankarstvom. Ideologija RAF je bila tako izrazit komunizem z močnimi anarhističnimi primesmi.
Andreas Baader se s politiko do srečanja Gudrun Ensslin ni ukvarjal, politika ga sploh ni zanimala. Nasprotno pa je menila Ennslinova in po štirinajstih dneh poznanstva z njo je svoje mišljenje spremenil tudi Andreas Baader. Podobnega mišljenja je bila tudi Ulrike Meinhof, ki je bila tedaj že precej znana osebnost v nemškem gibanju Nove levice in novinarka pri ugledni reviji. Bila je mati dvojčic, ki se je gibala v visokih krogih nemške družbe, kasneje pa se odločila zamenjati lagodno življenje in se presiliti v Berlin, kjer se je pridružila revolucionarnim študentskim krogom Svobodne univerze. V Berlinu je spoznala Baadra, Ensslinovo in odvetnika Horsta Mahlerja.
Kasneje se je pokazalo, da je bila Meinhofova predvsem orodje v rokah para Baader in Ensslin. Gudrun Ensslin je Meinhofovo prepričala, da je še kot novinarka pomagala k Baaderjevi osvoboditvi po prvi aretaciji v Berlinu. Nekdanji soborec, ki je RAFovce spremljal med vojaškim urjenjem v palestinskih taboriščih, je poročal celo o pištoli, s katero naj bi Baader odpravil dvome Meinhofove v pravilnost njihovega početja. Prav tako se je za Baaderja govorilo, da je bil nadarjen, a je zaradi lenobe začel drseti v kriminal že pred politizacijo svojega delovanja. Ensslinova pa naj bi z revolucionarno gorečnostjo odgovorila na strogo evangeličansko vzgojo v svoji družini.
[uredi] Praktično delovanje
Skupina je imela v začetku sedemdesetih let od 20 do 50 stalnih članov. Teroristična skupina se je od vsega začetka preživljala z ropanjem bank in podjetij. Njeni člani so izvajali bombne napade in požigali predvsem stavbe zahodnonemških družb ter nemške in ameriške vojaške objekte v ZRN. Med drugim so ugrabljali in morili pomembne politike in poslovneže. Sredi sedemdesetih let se je dejavnost skupine razširila na mednarodno prizorišče - občasno je RAF sodelovala tudi s palestinskimi terorističnimi skupinami.
Zaradi delovanja Frakcije je bilo ubitih 34 in ranjenih 93 ljudi, 162 pa zajetih za talce. Preden so njeni voditelji v zaporu v Stammheimu naredili samomor, je skupina skoraj spravila državo v globoko politično krizo. Med mladimi do tridesetega leta starosti v Nemčiji je bilo v tistem času okoli 25 odstotkov simpatizerjev, okoli 10 odstotkov pa bi jih bilo pripravljenih nuditi zatočišče ali sodelovati v terorističnih akcijah.
[uredi] Usposabljanje
Zelo malo je poznanega, kako so se začele povezovati nemške in palestinske teroristične skupine. Znano je le dejstvo, da je veliko število teroristov iz takratne Zvezne republike Nemčije po ilegalnih kanalih potovalo na usposabljanje v palestinska taborišča. Eden od razlogov je bil, da je Nemčija v 70. letih zaradi svoje velikodušnosti imela največjo koncentracijo palestinskih študentov v Evropi. Fatah je imel v njihovih vrstah infiltrirane svoje agente, ki so vplivali na palestinsko študentsko skupnost v Nemčiji. Ti so vzpostavljali vezi tudi z lokalnimi radikalnimi levičarskimi študentskimi organizacijami. Nemške teroristične skupine so bile aktivne predvsem na področjih, ki so jih poseljevale muslimanske, predvsem turške imigrantske skupnosti. Muslimanske skupnosti so bile uporaben kanal za povezave z Bližnjim vzhodom. Pomoč palestinskih terorističnih skupin se je odražala na več načinov: oskrbovali so nemške teroriste z orožjem, nudili so jim logistično pomoč, usposabljali so jih v svojih taboriščih v Libanonu in južnem delu Jemna ter izvajali skupne akcije, kjer so nemški teroristi dobili bogate izkušnje. Na drugi strani je bila pomoč RAF znatno manjša. Palestincem je zagotavljala logistično podporo v Evropi predvsem v obliki orožja, varnih zatočišč in pomoči pri begu.
[uredi] Financiranje
Frakcija rdeče armade se je financirala predvsem z ropanjem bank. Na ta način so si zagotavljali sredstva za nadaljnje delovanje in načrtovana potovanja na Bližnji vzhod. Skupina je oropala 35 bank in odnesla več kot milijonov nemških mark. Manjši del sredstev so pridobili z ugrabitvami bogatih poslovnežev in političnih osebnosti. Po zlomu komunizma v Nemški demokratični republiki so odkrili, da je skupino usposabljala, logistično oskrbovala in dajala zatočišče njenim članom tudi komunistična tajna policija Stasi.

Summary: Frakcija rdeče armade (tudi Baader-Meinhof; nemško Rote Armee Fraktion, RAF) je bila teroristična skupina, ki je delovala v Zvezni republiki Nemčiji med letoma 1968 in 1998. Sodila je med več skrajnih levičarskih, terorističnih skupin, ki so pretresale evropski družbeni prostor v začetku 70. let dvajsetega stoletja, in je pustila močan pečat na političnem prizorišču tistega obdobja. Najvidnejša politična kriza, ki jo je skupina povzročila, je bila t.i. Nemška jesen leta 1977, ko so med drugim teroristi iz Palestine v povezavi z Baader-Meinhof ugrabili letalo družbe Lufthansa. Teroristična skupina je po 30 letih delovanja domnevno odgovorna za 34 smrtnih žrtev, med katerimi je bilo mnogo nenamenskih, kakršne so vozniki ali telesni stražarji.


[uredi] Osnovne hevristične značilnosti
Vrsto lahko obravnavamo kot teleskopsko vrsto in paroma odštevamo njene člene:
Z malo drugačnim združevanjem sosednjih členov dobimo navidezno nasprotujoči si rezultat:
Z uporabo oklepajev v Grandijevi vrsti na dva načina lahko dobimo dve njeni�»vrednosti«, 0 ali 1. Ta način, ki se imenuje Eilenberg-Mazurjeva prevara, se včasih rabi v teoriji vozlov in algebri.
Če obravnavamo Grandijevo vrsto kot divergentno geometrično vrsto, lahko z enakimi algebrskimi metodami za konvergentne geometrične vrste dobimo tretjo vrednost vsote:
tako, da je:
kar da:
Isti rezultat dobimo, če računamo vsoto −s, rezultat odštejemo od s in razrešimo 2s = 1.
Ta hevristična razmišljanja ne upoštevajo dejanski pomen vsote. Čeprav je do neke mere pomembno, da lahko poljubno združujemo in, kar je še pomembneje, računamo sosednje člene, lahko pridemo do dveh zaključkov:
Obe izjavi lahko še točneje opredelimo in formalno dokažemo, vendar le z dobro definiranimi matematičnimi pojmi, ki so se razvili v 19. stoletju. V razdobju od poznega 17. stoletja, ko se je v Evropi razvil infinitezimalni račun, do začetka sodobnega strogega matematičnega aparata se matematiki niso mogli zediniti o teh vprašanjih.
Grandijeva vrsta je sorodna vrsti 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Euler ju je obravnaval kot posebna primera vrste 1 − 2n + 3n − 4n + · · · za poljuben n.
[uredi] Zgodovina
[uredi] Geometrija in neskončne ničle
[uredi] Grandi
Grandi je uvidel, da lahko sosednje člene združujemo na dva načina, in tako dobimo dve vsoti, 0 ali 1. Kakor drugi matematiki za njim pa je menil, da je resnična vrednost vrste enaka 1/2 zaradi več razlogov.
Do rezultata 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2 je prišel s pomočjo geometrijskega raziskovanja ravninske krivulje Agnesin koder. Matematiki 18. stoletja so takoj prevedli in povzeli njegov argument z analitičnimi izrazi: za rodovno krožnico s premerom a, ima enačba kodra:
razvoj v vrsto:
Če postavimo a = x = 1, je 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2.
Po Morrisu Kleineu je Grandi začel z binomskim izrekom:
in vstavil x = 1, tako da je dobil 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2. Ker je vsota 0 ali 1/2, je menil, da je s tem dokazal, kako lahko svet nastane iz niča.
Grandi je podal novo razlago, da je 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2, leta 1710 tako v drugi izdaji Quadratura circula in v novem delu De Infinitis infinitorum, et infinite parvorum ordinibus disquisitio geometrica. S tem je povezana zgodba o dveh bratih, ki sta od svojega očeta podedovala neprecenljiv dragulj. V oporoki je oče prepovedal, da dragulj prodata, zaradi česar sta se dogovoril, da ga bosta hranila vsako leto izmenično. Če bi ta dogovor veljal večno, bi vsaka od družin bratov posedovala dragulj polovico časa, četudi bi si ga izmenjali neskončno mnogokrat. Ta razmislek je kasneje kritiziral Leibniz.
[uredi] Marchetti
Po objavi druge izdaje Grandijeve knjige Quadratura je med prvimi kritiziral njegovo delo Alessandro Marchetti. Morda ga je pri tem bolj vodila ljubosumnost kot pa drugi razlogi. Marchetti je menil, da je izjava, da lahko da vsota neskončnega števila ničel končno količino, absurdna. Iz Grandijeve obravnave je pokazal na nevarnost, ki jo sproži teološko sklepanje. Matematika sta se začela medsebojno obtoževati v nizu odprtih pisem. Njun spor se je končal šele z Marchettijevo smrtjo leta 1714.
[uredi] Leibniz
S pomočjo in spodbudo Antonia Magliabechija je Grandi poslal kopijo Quadrature iz leta 1703 Leibnizu. Priložil je tudi pismo, v katerem je izrazil pohvale in občudovanje do mojstrovega dela. Leibniz je prejel in prebral to prvo izdajo leta 1705. Delo je imenoval neizvirno in manj napredni�»poskus«�svojega računa. Grandijeva obravnava vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ni vzbudila Leibnizeve pozornosti do leta 1711, skoraj ob koncu njegovega življenja, ko mu je Christian von Wolff poslal pismo v Marchettijevo korist, v katerem je opisal problem in ga prosil za mnenje.
[uredi] Ozadje
Leibniz je okoli leta 1674 v manj znanem delu De Triangulo Harmonico o harmoničnem trikotniku na hitro omenil vrsto 1 − 1 + 1 − 1 + · · · v primeru:
Vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + · · · se je pojavila posredno tudi v razpravi z von Tschirnhausom leta 1676.
Leibniz je do leta 1673 že proučil divergentno alternirajočo vrsto 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·. V tem primeru je pokazal, da lahko z odševanjem na levi ali na desni strani dobimo pozitivno ali negativno neskončnost, tako da sta oba odgovora napačna, in rezultat mora biti končen. Dve leti kasneje je razdelal prvi konvergenčni kriterij v zgodovini matematike, kriterij za alternirajoče vrste. V njem je implicitno uporabil sodobno definicijo konvergence.
[uredi] Rešitve
Leibniz je v 1710-tih opisal Grandijevo vrsto med dopisovanjem z več drugimi matematiki. Pismo z največjim trajnim vplivom je bil njegov prvi odgovor von Wolffu, ki ga je objavil v znanstveni reviji Acta Eruditorum. V tem pismu je Leibniz napadel problem z več zornih kotov.
V splošnem je verjel da so algoritmi infinitezimalnega računa�»slepo sklepanje«�in jih je v končni meri treba utemeljiti na temelju geometrijskih podajanj. Zaradi tega je soglašal z Grandijem, da velja 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2, in trdil, da je zveza dobro podkrepljena, ker zanjo obstaja geometrijski prikaz.
Na drugi strani je ostro kritiziral Grandijev primer podedovanega dragulja in trdil, da vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + · · · nima povezave z zgodbo. Opozoril je na to, da imata za vsako končno, sodo število let, brata dragulj enak čas v lasti, vsota odgovarjajočih členov vrste pa je vseeno enaka nič.
Leibniz je menil, da je razmislek iz 1/(1 + x) pravilen. Vzel ga je za zgled svojega zakona o zveznosti. Ker zveza 1 − x + x2 − x3 + · · · = 1/(1 + x) velja za vse x manjše od 1, mora veljati tudi za x enake 1. Vendar je Leibniz mislil, da lahko poiščemo vsoto vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · neposredno, ne da bi se sklicevali na izraz 1/(1 + x), od koder izhaja. Ta pristop je razviden po sodobnih standardih, vendar je pomemben korak v zgodovini iskanja vsot divergentnih vrst. V 18. stoletju so v raziskovanju vrst prevladovale potenčne vrste. Tedaj so menili, da je seštevanje številskih vrst, če jih izrazimo kot f(1) kakšne funkcijske potenčne vrste, najbolj naravna strategija.
Leibniz je opazil, da, če iz vrste vzamemo sodo število členov, je zadnji člen enak −1 in vsota enaka 0:
Če vzamemo liho število členov, je zadnji člen enak +1, vsota pa 1:
Ker neskončna vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + · · · nima niti sodo niti liho število členov, njena vsota ni 0 ali 1, in, če računamo njeno vsoto v neskončnem, je njena vrednost nekaj med obema možnostima. Ni drugega vzroka, da bi bila vrednost vsote vrste takšna ali drugačna, zato teorija�»verjetnosti«�in�»zakon pravice«�narekujeta, da moramo vzeti aritmetično sredino med 0 in 1, ki je (0 + 1) / 2 = 1/2.
Eli Maor je o tej rešitvi zapisal:�»Takšno predrzno, nepremišljeno sklepanje se nam danes zdi nezaslišano…« Kline je opisal Leibniza kot bolj vestnega:�»Leibniz je dopuščal, da je njegov argument bolj metafizičen kot pa matematičen, vendar je dejal, da je v matematiki več metafizične resnice kot je splošno prepoznano«.
Charles Moore je razmišljal, da bi imel Leibniz težko takšno zaupanje v svojo metafizično strategijo, če ne bi dala enakega rezultata, (namreč 1/2), kot drugi pristopi. Matematično gledano, to ni bila težava - Leibnizeva obravnava je bila deloma upravičena, ko so leta 1880 končno dokazali združljivost tehnik povprečenj s potenčnimi vrstami.
[uredi] Reakcije
Ko je von Wolff Leibnizu prvič postavil vprašnje o Grandijevi vrsti, je bil nagnjen k skepticizmu skupaj z Marchettijem. Ko je v sredini leta 1712 prebral Leibnizev odgovor, je bil tako zadovoljen z rešitvijo, da je poskušal razširiti metodo z aritmetično sredino na druge divergentne vrste, kot je na primer vrsta 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·. Leibnizeva intuicija je pomagala, da ni te rešitve razvil naprej tako daleč, in je odpisal, da je bila von Wolffova zamisel sicer zanimiva, vendar napačna zaradi več razlogov. Eden od njih je bil, da morajo členi v vrsti z vsoto, preiti v 0, četudi lahko vrsto 1 − 1 + 1 − 1 + · · · izrazimo kot limito takšne vrste.
Leibniz je opisal Grandijevo vrsto skupaj s splošnim problemom konvergence in divergence v pismih Nicholasu Bernoulliju leta 1712 in zgodaj leta 1713. Jacques Dutka je predlagal, da je to dopisovanje skupaj z Nicholasovim zanimanjem za verjetnost, vzpodbudilo Nicholasa, da je septembra 1713 podal sanktpeterburški paradoks, v katerem tudi nastopajo divergentne vrste.
Pierre-Simon Laplace je v svojem delu Essai Philosophique sur les Probabilités povezal Grandijevo vrsto z Leibnizevim videnjem�»slike Stvarjenja v svoji dvojiški aritmetiki«, tako da je Leibniz pisal jezuitskemu misijonarju Claudiu Filippu Grimaldiju, dvornemu matematiku cesarja Kansija na Kitajskem, v upanju, da se bosta cesarjevo zanimanje za znanost in matematični�»znak stvarjenja«�povezala in pomagala spreobrniti narod v krščanstvo. Laplace je pripomnil:�»To anegdoto zapisujem le zaradi tega, da pokažem kako daleč lahko predsodki o mladoletnosti speljejo velike može.«
[uredi] Divergenca
[uredi] Jakob Bernoulli
Jakob Bernoulli se je leta 1696 v tretjem delu svoje knjige Positiones arithmeticae de seriebus infinitis ukvarjal s podobno vrsto. S pomočjo Mercatorjeve metode za polinomsko dolgo delitev z razmerjem k/(m + n) je opazil, da ima ena vedno ostanek. Če je m > n, se ta ostanek zmanjšuje, in�»je na zadnje manjši od poljubno dane količine«, tako da velja:
Če je m = n, je enačba enaka:
Bernoulli jo je imenoval�»neneokusen paradoks.«
[uredi] Varignon
Pierre Varignon je obravnaval Grandijevo vrsto v svojem poročilu Précautions à prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies résultantes…. Eden od ciljev tega članka je bil pokazati na divergenco Grandijeve vrste in razširiti razpravo Jakoba Bernoullija iz leta 1696.
Zadnja različica Varignonovega članka ima datum 16. februar 1715. Pojavila se je v izdaji Mémories Francoske akademije znanosti, objavljeni leta 1718. Čeprav se je Varignonovo poročilo pojavilo relativno pozno, v njem ni omenjeno Leibnizevo zgodnejše delo. Večina Précautions je bila napisana okrobra 1712, ko je bil Varignon zunaj Pariza. Knjiga o magičnih kvadratih Traité des Quarrés sublimes Abbéja Poignarda iz leta 1704 je v krogih blizu Akademije postala zelo priljubljena. Druga predelana in razširjena izdaja je imela 336 strani. Da je lahko Varignon v miru prebral Traité, je moral odditi na podeželje za skoraj dva meseca, kjer je pisal o Grandijevi vrsti v relativni osami. Ko se je vrnil v Pariz, je kmalu ugotovil, da je Leibniz odločil v prid Grandiju. Ker je bil ločen od svojih virov, je moral Varignon ponovno pregledati svoj članek in vključiti navedek o Jakobu Bernoulliju. Namesto da bi upošteval Leibnizevo delo, je v pripisu svojemu poročilu, navedel, da je bil navedek edina predelava, ki jo je naredil v Parizu, in, da, če so se pojavile druge raziskave o tej temi, mora počakati na poročila o njih.
Jean le Rond d'Alembert je leta 1751 v Enciklopediji ponovil pogled, da je Grandijevo razmišljanje na podlagi deljenja spodbil Varignon leta 1715. Dejansko je d'Alembert pripisal problem�»Guidu Ubaldusu,«�kar še vedno včasih napačno omenjajo.
[uredi] Riccati in Bougainville
Leibniz je leta 1715 v pismu Jacopu Riccatiju omenil vprašanje Grandijeve vrste in naznanil svojo rešitev v Acta Eruditorum. Kasneje je Riccati kritiziral Grandijev argument v svojem delu Saggio intorno al sistema dell'universo iz leta 1754, ter navedel da povzroča protislovja. Pobijal je, da lahko zapišemo tudi n − n + n − n + · · · = n/(1 + 1), vendar ima ta vrsta�»enako število ničel«�kot Grandijeva vrsta. V ničlah n ni neskončno majhen, kot je pokazal Riccati, da enakost 1 − 1 = n − n zagotavlja 1 + n = n + 1. Zaključil je, da je osnovna napaka raba divergentne vrste:
Tudi druga publikacija iz leta 1754 je kritizirala Grandijevo vrsto na podlagi njenega kolapsa proti 0. Louis Antoine de Bougainville je na kratko obravnaval vrsto v svojem priznanem učbeniku Traité du calcul intégral iz leta 1754. Pojasnil je, da je vrsta�»resnična,«�če je njena vsota enaka izrazu, iz katere je razvita; drugače pa je�»napačna.«�Zaradi tega je Grandijeva vrsta napačna, ker je 1/(1 + 1) = 1/2, vendar še vedno (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0.
[uredi] Euler
Euler je obravnaval vrsto 1 − 1 + 1 − 1 + · · · skupaj z drugimi divergentnimi vrstami v svojem članku O divergentnih vrstah (De seriebus divergentibus) iz leta 1746. Članek so prebrali v Akademiji leta 1754, objavljen pa je bil leta 1760. Navedel je, da je vrsto prvi obravnaval Leibniz, ter se naslonil na Leibnizev argument iz leta 1713, ki je temeljil na vrsti 1 − a + a2 − a3 + a4 − a5 + · · ·. Imenoval ga je�»pošteno zveneče sklepanje«, omenil pa je tudi argument sode/lihe srednje vrednosti. Euler je napisal, da je običajni pomislek o rabi vrste 1/(1 + a) ta, da ni enaka 1 − a + a2 − a3 + a4 − a5 + · · ·, razen če je a manjši od 1. Drugače lahko rečemo, da je:
kjer zadnji člen ostanka ne izgine, in ga ne moremo zanemariti, če gre n proti neskončnosti. Euler je pisal v tretji osebi in je omenil možno spodbitje pomisleka: ker neskončna vrsta nima zadnjega člena, ni prostora za ostanek, in ga zaradi tega lahko zanemarimo. Ko je navedel še nekaj slabše divergentnih vrst, kot je na primer 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·, kjer je ocenil svoje nasprotnike, da imajo bolj trdno oporo, je poskušal definirati zaključek:
Euler je pri obravnavi vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · uporabil tudi pojem končne razlike. V sodobnem jeziku je naredil Eulerjevo transformacijo na zaporedju in pokazal, da je rezultat enak 1/2. Vse do leta 1864 je Augustus De Morgan trdil, da je�»bila ta transformacija vedno ena od najmočnejših predpostavk, da je 1 − 1 + 1 − … enako 1/2.«
[uredi] Redčenje in nove vrednosti
Navkljub samozavestnemu tonu v svojih člankih je Euler med svojim dopisovanjem z Nicholasom Bernoullijem izrazil dvom o divergentnih vrstah. Trdil je, da njegova poskusna definicija ni nikoli zatajila, vendar je Bernoulli pokazal na jasno slabost: definicija ne določa kako naj določimo končen izraz, ki generira dano neskončno vrsto. To ni samo praktična težava, ampak bi bilo teoretično pogubno, če bi vrsto generirala dva izraza z različnima vrednostima. Eulerjeva obravnava vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · leži na njegovem trdnem prepričanju, da je 1/2 edina možna vrednost za vsoto vrste. Kaj pa, če obstajajo druge?
Leta 1745 je Euler v pismu Christianu Goldbachu trdil, da ne pozna nobenega takšnega protiprimera, pa tudi Bernoulli ni podal nobenega. Nekaj desetletij kasneje, ko je Jean-Charles Callet končno zagovarjal protiprimer, so namignili na vrsto 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Ozadje zamisli se je začelo z Danielom Bernoullijem leta 1771.
[uredi] Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli, ki je sprejel verjetnosti argument, da velja 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2, je zapazil, da, če vstavljamo ničle v vrsto na pravih mestih, lahko dobimo katerokoli vrednost med 0 in 1. Argument je še posebej napeljeval, da velja:
[uredi] Callet in Lagrange
V zapisku, ki ga je proti koncu stoletja poslal Joseph-Louisu de Lagrangeu, je Callet pokazal, da lahko dobimo vrsto 1 − 1 + 1 − 1 + · · · tudi iz vrste:
Če vstavimo x = 1, dobimo vrednost 2/3, in ne 1/2. Lagrange je odobril Calletovo predložitev za objavo v Mémoires Francoske akademije znanosti, vendar ni bila nikoli neposredno objavljena. Namesto tega je Lagrange skupaj s Charlesom Bossutom povzel Calletovo delo in dal odgovor nanj v Mémoires za leto 1799. Branil je Eulerja in predlagal, da moramo Calletovo vrsto dejansko zapisati s členi z ničlami:
kar se namesto zgornjega skrči na:
[uredi] 19. stoletje
19. stoletje je predstavljalo dobo približkov, ko sta Augustin Louis Cauchy in Niels Henrik Abel na veliko uspešno izobčila rabo divergentnih vrst. Grandijeva vrsta pa se je vseeno občasno pojavljala. Nekateri matematiki niso sledili Abelu, večinoma zunaj Francije. Britanski matematiki so si še posebej�»vzeli veliko časa«�pri razumevanju analize, ki je izhajala s celine.
Leta 1803 je Robert Woodhouse predlagal naj se vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sešteje v nekaj, kar lahko prikažemo kot:
in kar lahko razlikujemo od 1/2. Ivor Grattan-Guinness je o tem predlogu pripomnil,�»… R. Woodhouse … je s čudovito poštenostjo pisal o problemih, ki jih ni razumel. … Seveda ni nič narobe z določevanjem novih simbolov, kot je 1/(1+1); vendar je zamisel 'formalistka' v nelaskavem smislu, in tudi ne podpira problema o konvergenci vrst.«
[uredi] Algebrsko dokazovanje
Leta 1830 je matematik, ki se je podpisal le s kraticami�»M. R. S.«, v Annales de Gergonne napisal o tehniki numeričnega iskanja negibnih točk funkcij ene spremenljivke. Če lahko preoblikujemo problem v obliko enačbe x = A + f(x), kjer je A izbran poljubno, potem bo rešitev:
Če ta neskončni izraz skrajšamo, dobimo zaporedje približkov. Na drugi strani je za vrsto x = a − a + a − a + · · · pridobil enačbo:
za katero je rešitev (1/2)a.
M. R. S. je upošteval, da so v tem primeru približki a, 0, a, 0, …, vendar ni potrebe po Leibnizevem�»spretnem sklepanju.«�Poleg tega je argument za povprečenje približkov problematičen v širšem smislu. Za enačbe, ki niso oblike x = A + f(x), so rešitve M. R. S. verižni ulomki, verižni radikali ali drugi neskončni izrazi. Izraz a / (a / (a / · · · ))) mora biti posebej rešitev enačbe x = a/x. Tukaj je M. R. S. zapisal, in kar temelji na Leibnizevem sklepanju, da lahko hitro zaključimo, da je x srednja vrednost krajšanj a, 1, a, 1, …. Ta srednja vrednost je (1 + a)/2, vendar je rešitev enačbe kvadratni koren od a.
Bernard Bolzano je kritiziral algebrsko rešitev vrste M. R. S. Glede na korak:
je Bolzano napadel,
Ta pripomba ponazarja Bolzanovo intuitivno proseče, vendar močno problematične poglede na neskončnost. V svoji obrambi je Georg Ferdinand Cantor pokazal, da je Bolzano delal v času, ko niso poznali predstave o kardinalnosti množic.
[uredi] De Morgan in tovarišija
Vse do leta 1844 je Augustus De Morgan pojasnjeval, da bo, če se lahko najde le en sam primer, ko 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ne bo enako 1/2, rade volje zavrnil celotno teorijo trigonometričnih vrst.
Isti zvezek vsebuje članke Samuela Earnshawa in J R Younga, ki se deloma ukvarjajo z vrsto 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Godfrey Harold Hardy jih je odpustil kot�»malo več kot nesmisel«, v nasprotju z De Morganovo�»presenetljivo mešanico bistrosti in zmešnjave.« . V vsakem primeru si je Earnshaw prislužil De Morganovo pozornost z naslednjimi opazkami:
De Morgan je leta 1864 v isti reviji vrnil:
[uredi] Frobenius in sodobna matematika
Zadnji znanstveni članek, ki ga je motivirala vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, lahko označimo kot prvi članek sodobne zgodovine divergentnih vrst. Georg Frobenius je objavil članek�»O Leibnizevih vrstah«�(Ueber die Leibnitzsche Reihe) leta 1880. Našel je Leibnizevo staro pismo von Wolffu, in ga navedel skupaj s člankom Josepha Ludwiga Raabeja iz leta 1836, ki je izmenoma črpal iz zamisli Leibniza in Daniela Bernoullija.
Frobeniusov kratek članek z le dvema stranema se je začel z navedbo iz Leibnizeve obravnave vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Sklepal je, da je Leibniz dejansko navajal posplošitev Abelovega izreka. Rezultat, znan kot Frobeniusov izrek, ima v sodobnem jeziku preprosto obliko: vsaka vrsta, ki ima Cesàrovo vsoto, ima tudi Abelovo vsoto, in obe sta enaki. Zgodovinar Giovanni Ferraro je poudaril, da Frobenius dejansko ni izrazil izreka v takšni obliki, in da ga Leibniz sploh ni navedel. Leibniz je branil povezavo divergentne vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · z vrednostjo 1/2, Frobeniusov izrek pa je izražen z izrazi konvergentnih zaporedij in (ε, δ)-definicijo limite funkcije.
Frobeniusov izrek sta kmalu posplošila Otto Ludwig Hölder in Thomas Joannes Stieltjes leta 1882. Sodobnemu bralcu njuno delo spet močno sugerira nove definicije vsote divergentnih vrst, vendar tega koraka še nista naredila. Ernesto Cesàro je prvič predlagal sistematično definicijo leta 1890. Od tedaj so matematiki raziskali več različnih metod za vsote divergentnih vrst. Večina od teh, še posebej preprostejše z zgodovinskimi vzporednicami, dajo za vsoto Grandijeve vrste vrednost 1/2. Druge, na katere je vplivalo delo Daniela Bernoullija, dajo za vsoto vrste druge vrednosti, pri nekaterih pa vsote sploh ni.
[uredi] Divergenca Grandijeve vrste
V sodobni matematiki je vsota neskončne vrste definirana kot limita zaporedja njenih delnih vsot, če obstaja. Zaporedje delnih vsot Grandijeve vrste je 1, 0, 1, 0, …, in njegova vrednost se očitno ne približuje nobenemu številu, čeprav ima dve stekališči, 0 in 1. Tako je Grandijeva vrsta divergentna.
Lahko se pokaže, da ni pravilno izvajati na videz neškodljive operacije na vrstah, kot je na primer razvrščanje posameznih členov, razen če je vrsta absolutno konvergentna. Drugače lahko s takšnimi operacijami spremenimo rezultat vsote vrste. V Grandijevi vrsti lahko člene razvrstimo tudi na druge načine in dobimo še druge rezultate, ne samo 0 in 1.
[uredi] Seštevalnost Grandijeve vrste
[uredi] Splošni premisleki
[uredi] Stabilnost in linearnost
V formalno obravnavanje, ki vodi do tega, da je vrsti 1 − 1 + 1 − 1 + · · · pripisana vrednost 1/2, spadajo naslednji premisleki:
To so vsa dovoljena ravnanja za vsote konvergentnih vrst, vendar 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ni konvergentna.
Navkljub temu obstaja več seštevalnih metod, ki upoštevajo ta ravnanja, in vrsti priredijo�»vsoto«�Grandijevi vrsti. Dve od najpreprostejših metod sta Cesàrova vsota in Abelova vsota.
[uredi] Cesàrova vsota
Osnovna zamisel je podobna Leibnizevemu verjetnostnemu pristopu. Cesàrova vsota vrste je dejansko srednja vrednost vseh njenih delnih vsot. Za vsak n se izračuna srednja vrednost σn prvih n delnih vsot in določi limita teh Cesàrovih sredin, ko gre n k neskončnosti.
Za Grandijevo vrsto je zaporedje aritmetičnih sredin:
oziroma bolj sugestivno:
kjer je:
To zaporedje aritmetičnih sredin konvergira k 1/2, tako da je Cesàrova vsota Σak enaka 1/2. Velja enakovredno, da je Cesàrova limita zaporedja 0, 1, 0, 1, … enaka 1/2.
Cesàrova vsota 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · je 2/3. Cesàrovo vsoto lahko spremenimo, če vrinemo neskončno mnogo ničel, kot tudi neskončno mnogo oklepajev.
[uredi] Abelova vsota
Abelova vsota je podobna Eulerjevi poskusni definiciji vsote divergentnih vrst, vendar se ogne pomislekom Calleta in Nicholasa Bernoullija z natančno konstrukcijo ustrezne funkcije. Verjetno je Euler želel omejiti svojo definicijo na potenčne vrste, v praksi pa jo je uporabljal skoraj izključno v obliki, ki je sedaj znana kot Abelova metoda.
Za dano vsrto a0 + a1 + a2 + · · ·, tvorimo novo vrsto a0 + a1x + a2x2 + · · ·. Če druga vrsta konvergira za 0 < x < 1 k funkciji z limito, ko se x približuje 1, se ta limita imenuje Abelova vsota izvirne vrste, po Abelovem izreku, ki zagotavlja, da je postopek v skladu z običajnim seštevanjem. Za Grandijevo vrsto velja:
[uredi] Sorodne vrste
Ustrezni račun, da je Abelova vsota 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · enaka 2/3 vsebuje funkcijo (1�+�x)/(1�+�x�+�x2).
Če je vrsta seštevalna po Cesàru, je seštevalna tudi po Abelu in ima enako vsoto. Če na drugi strani izračunamo Cauchyjev produkt Grandijeve vrste s samo sabo, dobimo vrsto, ki jo lahko seštejemo po Abelu, ne pa tudi po Cesàru:
Njena Abelova vsota je enaka 1/4.
[uredi] Redčenje
[uredi] Izmenično razmikanje
Dejstvo, da je navadna Abelova vsota vrste 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · enaka 2/3, lahko podamo tudi kot (A, λ)-vsoto izvirne vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, kjer je (λn) = (0, 2, 3, 5, 6, …). Podobno je (A, λ)-vsota vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, kjer je (λn) = (0, 1, 3, 4, 6, …), enaka 1/3.
[uredi] Eksponentno razmikanje
Seštevalnost vrste 1 − 1 + 1 − 1 + · · · lahko preprečimo z eksponentnim razmikanjem njenih členov z vedno daljšimi skupinami ničel. Najpreprostejši zgled je vrsta, kjer se (−1)n pojavi s stopnji 2n:
Te vrste ne moremo sešteti po Cesàru. Za vsakim neničelnim členom, je delna vsota dovolj časa med vrednostima 0 ali 1, da se srednja delna vsota odmakne za pol od predhodne vrednosti. Nad intervalom 22m−1 ≤ n ≤ 22m − 1, ki sledi a (− 1) členu, se n-ta aritmetična sredina spreminja v obsegu:
oziroma približno od 2/3 do 1/3.
Eksponentno razmaknjene vrste dejansko ne moremo sešteti niti po Abelu. Njena Abelova vrsta je limita, ko se x približuje vrednosti 1 funkcije:
Za to funkcijo velja funkcionalna enačba:
Ta funkcionalna enačba nakazuje, da F(x) v grobem oscilira okrog 1/2, ko se x približuje 1. Da je amplituda oscilacije neničelna lahko pokažemo, če ločimo F v strogo periodični in neperiodični del:
kjer za:
velja enaka funkcionalna enačba kot za F. Od tod sledi Ψ(x) = −Ψ(x2) = Ψ(x4), in Ψ je periodična funkcija loglog(1/x). Ker sta F in Φ različni funkciji, njuna razlika ni konstantna funkcija; oscilira s stalno, končno amplitudo, ko se x približuje 1. Ker ima del Φ limito 1/2, oscilira tudi F.
[uredi] Ločitev skal
Za funkcijo φ(x), za katero velja φ(0) = 1, njena limita pri +∞ enaka 0, odvod φ pa integrabilen v intervalu (0, +∞), obstaja posplošena φ-vsota Grandijeve vrste in je enaka 1/2:
Cesàrovo in Abelovo vsoto dobimo, če opredelimo φ kot trikotniško ali eksponentno funkcijo. Če za φ predpostavimo še dodatno, da je zvezno odvedljiva, lahko trditev dokažemo s pomočjo izreka o povprečni vrednosti in pretvorimo vsoto v integral. Na kratko:
[uredi] Borelova vsota
Borelova vsota Grandijeve vrste je spet enaka 1/2, saj velja:
in:
(posplošene (B, r)-metode…)
[uredi] Spektralna asimetrija
Člene Grandijeve vrste lahko paroma povežemo z lastnimi vrednostmi neskončnorazsežnega operatorja nad Hilbertovim prostorom. Ta obravnava Grandijeve vrste da zamisel o spektralni asimetriji, ki se velikokrat pojavlja v fiziki. Vrednost vsote vrste je odvisna od asimptotičnega obnašanja lastnih vrednosti operatorja. Naj bo na primer {ωn} zaporedje pozitivnih in negativnih lastnih vrednosti. Grandijeva vrsta ustreza formalni vsoti:
kjer je predznak lastne vrednosti. Vrsta lahko dobi določene vrednosti z upoštevanjem različnih limit. Regulator toplonega jedra na primer vodi do vsote:
ki je za veliko zanimivih primerov končna za neničelne t in konvergira h končni vrednosti limite.

Summary:
Grandijeva vrsta se v matematiki včasih imenuje neskončna vrsta 1 − 1 + 1 − 1 + …, oziroma zapisana z znakom za vsoto:
Vrsta se imenuje po italijanskem rimskokatoliškem duhovniku, filozofu, matematiku in inženirju Luigiju Guidu Grandiju, ki je leta 1703 podal o njej pomembno razpravo v knjigi Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.
Delne vsote Grandijeve vrste so izmenično enake 1, 0, 1, 0, … in vrsta je divergentna, kar pomeni da nima vsote v običajnem smislu. Njena Cesàrova vsota je na drugi strani enaka 1/2. Poleg tega je vrsta posebej divergentna geometrična vrsta s prvim členom a, enakim 1, in s skupnim količnikom k, enakim -1.


[uredi] Telesne značilnosti
Med ozkopase ose (Apocrita) uvrščamo mravlje predvsem na podlagi tega, da je členjenje telesa pri njih nekoliko drugačno kot pri ostalih žuželkah. Zadnji člen oprsja je zlit s prvim členom zadka in tvori ozek�»pecelj«, imenovan pedicel. Oprsju mravelj za ločevanje od drugih žuželk zato pravimo mezosoma (namesto toraks), zadku pa metasoma ali gaster (namesto abdomen). Dosegajo različne velikosti, od dveh do 25 mm v dolžino in so različnih barv, največkrat črne ali rjave.
Glava nosi par kolenčastih (genikulatnih) tipalnic, ki so lahko pri nekaterih samcih tudi nitaste, vse pa imajo dolg prvi člen, razmeroma dobro razvite sestavljene oči in tri očesca, poleg tega pa še obustne okončine, preoblikovane v grizalo, izmed katerih izstopa par močnih mandibul. Pri poddružinah Dorylinae in Ecitoninae iz Afrike so oči močno reducirane, mnogo predstavnikov je celo popolnoma slepih.
Mezosoma spolno aktivnih osebkov nosi par redko ožiljenih membranastih kril, ki po ustalitvi odpadejo, letalne mišice pa se razgradijo in porabijo za tvorbo jajčec. Noge so normalno razvite, stopalca se končujejo s kavlji, s katerimi se mravlja oprime podlage. Pedicel ima lahko enega ali več izrastkov, ki so uporaben znak pri določanju vrst.
Na koncu zadka imajo želo, ki pa ni prisotno pri vseh vrstah mravelj. Z njim so povezane žleze, ki izločajo obrambne spojine, npr. metanojsko kislino, ki je po njih dobila ljudsko ime mravljinčna kislina.
Jajčeca mravelj so zelo drobna; komercialno dostopna�»jajca mravelj«�so v resnici bube. Ličinke so podobne drobnim belim črvičkom brez okončin, njihovo preživetje je povsem odvisno od drugih osebkov.
Tako po telesni obliki kot po vedenju so na prvi pogled delavke podobne termitom, ki jim zaradi tega včasih pravijo tudi�»bele mravlje«, vendar natančnejši pregled razkrije nekatere ključne razlike, kot so na primer ozek pedicel pri mravljah. Po pedicelu najlažje ločimo mravlje tudi od členonožcev, ki posnemajo njihovo obliko.
[uredi] Življenje
Življenje v kolonijah je tako kot pri termitih glavna značilnost življenja mravelj. Delitev dela narekuje različno telesno zgradbo posameznih osebkov (socialni polimorfizem). Po njihovi vlogi v koloniji jih delimo v�»kaste«, kompleksnost socialne organiziranosti mravelj pa je odvisna od velikosti kolonije - sega od majhnih kolonij s slabo izraženo razdelitvijo v kaste, do ogromnih kolonij z množico hierarhično organiziranih kast, med katerimi lahko prihaja tudi do konfliktov. Zato je deloma zgrešeno uveljavljeno prepričanje, da je kolonija brezhibno usklajena skupina osebkov, ki altruistično delujejo v dobro celotne skupnosti.
Kljub temu pa je kolonija mravelj zelo kompleksno organizirana skupnost, katere predstavniki se usklajujejo s pomočjo kemijskih spojin - feromonov. Sistem feromonov je zaradi življenja v skupnosti kompleksnejši kot pri ostalih kožokrilcih.�»Skavtinje«�tako puščajo na tleh sled feromonov, ki vodi do vira hrane. Kadar hrane zmanjka, prenehajo oddajati feromone in sled kmalu izgine. Poškodovane mravlje izločajo alarmni feromon, ki v večjih koncentracijah sproži rojenje in napad. Feromoni nastajajo v mnogih žlezah, ki imajo izvodila na različnih delih telesa. Z občutljivimi receptorji v parnih tipalnicah lahko mravlje zaznavajo tako jakost kot smer feromonskega dražljaja. Celoten zunanji skelet mravelj je prepojen s specifičnim ogljikovim hidratom, na podlagi katerega se ločijo pripadniki različnih kolonij. Mravlje pa proizvajajo tudi zvočne signale s stridulacijo, ki služijo kot dodatno sredstvo za sporazumevanje med člani kolonije in z drugimi živalmi.
Kolonije so lahko zelo dolgožive. Matica lahko (odvisno od vrste) živi tudi do 30 let, delavke pa eno do tri leta. Samci po drugi strani v večini primerov dočakajo le nekaj tednov. V območjih s tropskim podnebjem so mravlje aktivne vse leto, v hladnejših predelih sveta pa pozimi mirujejo. Strategija preživetja zime se pri različnih vrstah razlikuje. Pri enih vrstah preživijo hladno obdobje leta ličinke, ki povsem mirujejo (v stanju t.i. diapavze), pri drugih pa preživijo odrasle delavke v stanju zmanjšane aktivnosti.
[uredi] Kaste
Kolonija navadno vsebuje eno ali več matic, v večini primerov so to edini predstavniki kolonije, ki se razmnožujejo. Med njimi se lahko vzpostavi tudi hierarhija, kjer dominantna samica zavira razmnoževanje podrejenih. Samica se pari samo enkrat v življenju; samčevo semensko tekočino lahko hrani tudi deset let in z njo postopoma oplojuje jajčeca, iz katerih se rojevajo delavke. Mravlje imajo, podobno kot ostali kožokrilci, haplodiploidno določanje spola. Iz neoplojenih jajčec se razvijejo haploidni samci, iz oplojenih pa diploidne samice. Spolno razviti krilati osebki nastajajo v ugodnih razmerah, v krajih z zmernim podnebjem je to spomladi. Godni samci in samice odletijo iz kolonije ter se sparijo v zraku ali na tleh. Samci kmalu po paritvi poginejo, samice pa poiščejo ustrezno mesto in si izkopljejo kamrico, kjer se izležejo prve delavke.
Vse delavke, ki so potomke ene matice, so samice, genetsko gledano sestre. V redkih primerih lahko partenogenetsko tvorijo jajčeca iz katerih se razvijejo samci, vendar spolno niso popolnoma razviti in so v večini primerov sterilni. Večje skupnosti mravelj imajo več hierarhično urejenih kast delavk, ki se razlikujejo po velikosti. Skrajen primer specializacije so delavke rodu Mrymecosystus, ki delujejo kot shramba za hrano - v svoje prebavilo lahko spravijo velike količine nektarja, zaradi česar se jim zadek zelo raztegne. Tako napolnjene ostanejo v gnezdu in v jo obdobju pomanjkanja hrane izločajo drugim delavkam. Vloga delavke se tekom njenega življenja spreminja. Prvih nekaj dni po izvalitvi skrbi za matico. Čez nekaj časa dobi nalogo gradnje in vzdrževanja mravljišča, stare delavke pa iščejo hrano in branijo kolonijo. Stare delavke so tako izpostavljene največjemu tveganju, saj predstavlja njihova morebitna izguba najmanjši�»strošek«�za skupnost. Vloge niso fiksne in se lahko spremenijo kot odziv na nepredvidene dogodke v koloniji.
Definirana kasta vojakov (oz. vojakinj, saj so tudi te ženskega spola) nastopa pri redkih vrstah mravelj; večinoma za obrambo skrbijo delavke. Le pri mravljah, ki tvorijo največje kolonije, je vloga največjih osebkov izključno za obrambo. Ti imajo zelo poudarjene določene telesne dele (npr. čeljusti) in dosegajo tudi do stokratno velikost najmanjših delavk. V splošnem se mravlje branijo z grizenjem in pikanjem, pri čemer jim služijo velike čeljusti in obrambne spojine. Mravljinčna kislina ima poleg obrambe pred plenilci tudi antimikrobno vlogo in gnezda mravelj so prepojena z njo.
Poseben primer med mravljami so vrste, ki izkoriščajo delavke drugih vrst; pri mnogo mravljah je v manjši ali večji meri izražen takšen socialni parazitizem. V enem primeru matica s posnemanjem gostitelja infiltrira kolonijo druge vrste in pusti, da za njen zarod skrbijo delavke gostiteljske kolonije. Te sčasoma poginejo in nova matica s svojim zarodom prevzame zgrajeno gnezdo. Drug tak primer so�»sužnjelastniške«�mravlje, ki napadejo kolonijo drugih mravelj in ukradejo zarod, ta pa nato sodeluje pri skrbi za novo matico ter njene potomce. Takšna je recimo evropska vrsta Formica sanguinea. Nekatere med njimi sploh nimajo delavk in producirajo samo spolno aktivne potomce.
[uredi] Mravljišče
Mnoge, predvsem primitivnejše mravlje ne gradijo posebnih gnezd in ustvarijo manjšo kolonijo le v obdobju razmnoževanja. Trajnejše kolonije so zgrajene iz rastlinskega materiala in zemlje, nahajajo se lahko pod zemljo, v drevesnih štorih in krošnjah. V Evropi najbolj znana so talna mravljišča, ki jih zaznamuje kup zemlje, prekrit z listnim odpadom. Nastane zato, ker delavke odlagajo izkopani material ob izhodu iz mravljišča, nekatere vrste pa ga tudi oblikujejo podobno kot termiti in izdolbejo v njem kamrice. Vhodi so lahko dvignjeni, da preprečijo vdor vode v gnezdo ob deževju. Krojaške mravlje v tropih si ustvarijo gnezda v krošnjah dreves, tako da zvijejo liste in jih zlepijo s svilo, ki jo izločajo s posebnimi žlezami. V splošnem so gnezda mravelj regulirani sistemi, kjer člani kolonije aktivno uravnavajo prezračenost, vlažnost in temperaturo, kakršne ustrezajo ličinkam in morebitnim gojenim organizmom.
Mravlje iz različnih mravljišč se ločijo med seboj po vonju in so večinoma agresivne druga do druge. Med naselivijo argentinskih mravelj (Iridomyrmex humilis) v južni Evropi pa je prišlo do pojava, kjer so se mravlje iz ene majhne populacije, prinešene od drugod, razmnožile in razširile po velikem ozemlju. Med osebki iz kasneje vzpostavljenih kolonij zaradi skupnega prednika ne prihaja do agresije in leta 2002 je takšna�»superkolonija«, kjer izmenjava osebkov med gnezdi ni ovirana, obsegala 6000 km dolg pas med Italijo in atlantsko obalo Španije.
[uredi] Ekologija
So edina skupina kožokrilcev, ki so prave talne (edafske) živali. Njihova vloga v pedogenetskih procesih je večinoma le posredna - z gradnjo gnezd pripomorejo k razkrajanju lesa in prezračevanju prsti ter vnašanju organskega materiala v slednjo, pomembnejša pa je njihova vloga pri uravnavanju populacij drugih talnih živali.
Življenje v skupnostih in delitev dela (evsocialnost) je mravljam omogočila, da so poselile skoraj vse kopenske ekosisteme na Zemlji in postale po mnenju nekaterih najuspešnejša skupina živali sploh. Gotovo so najuspešnejše po številu osebkov, saj predstavljajo kljub majhni telesni velikosti povprečno med 15 in 20% vse kopenske biomase živali, v tropih, kjer so najštevilčnejše, pa tudi do 25%. Zaradi številčnosti in organiziranosti so sposobne preživeti v pogojih, kjer posamezni osebki ne bi mogli. Kljub temu se proti severu in z nadmorsko višino število vrst zmanjšuje. Avtohtonih mravelj ni le na Antarktiki, Islandiji, delih Polinezije, Havajih in drugih odmaknjenih ali negostoljubnih otokih.
Prehranjevalne navade mravelj ponujajo zanimivo analogijo s človeško zgodovino. Najprimitivnejše danes živeče vrste mravelj so lovci, ki plenijo hrano po okolici. Njihove kolonije so majhne ali jih ni, le od časa do časa se ustalijo in ustvarijo novo generacijo. Naslednjo stopnjo predstavljajo�»pastirji in nabiralci«, sem sodi večina evropskih mravelj. Te mravlje večinoma nabirajo rastlinsko hrano in občasno plenijo druge živali, oskrbujejo pa tudi listne uši, z mano katerih se prehranjujejo. Nekatere med njimi listne uši ali druge živali, kot so gosenice metuljev iz družine modrinov (Lycaenidae) celo gojijo v svojih gnezdih. Najvišja stopnja so�»poljedelske«�mravlje, ki jih najbolje predstavljajo krojaške mravlje v tropskih predelih Amerike. Te mravlje se prehranjujejo z glivami, ki jih namensko gojijo v posebnih delih svojih gnezd in oskrbujejo z razrezanimi listi rastlin.
Njihov vpliv na ekosistem ponazarjajo tisoči rastlinskih in živalskih vrst, ki so razvile takšne in drugačne prilagoditve, povezane z mravljami. Pri stotinah rastlinskih vrst v skoraj 40 družinah so razvite posebne strukture, namenjene za njihov življenjski prostor. Mravlje te rastline v zameno za prebivališče branijo pred rastlinojedi. Mnoge rastline izkoriščajo mravlje za raznašanje semen (temu pojavu pravimo mirmekohorija). Poleg živali, ki jih mravlje gojijo v svojih gnezdih, se v mravljiščih naselijo tudi zanje škodljive živali. V ta namen več kot 2000 vrst členonožcev posnema telesno obliko, barvo, teksturo in celo vedenje mravelj. Te živali živijo v mravljiščih kot zajedavci ali plenijo mravlje.
[uredi] Mravlje in ljudje
Neposreden vpliv na človeka ni bistven. V nekaterih kulturah, npr. v Mehiki, Kolumbiji in na Tajskem, je razširjeno prehranjevanje z mravljami, vendar mravlje predstavljajo le dopolnilno prehrano ali redko specialiteto. Uporabne so za odstranjevanje škodljivcev z vrtov in prezračevanje prsti, vendar lahko postanejo tudi nevšečnost, če se preveč namnožijo. Ravno tako so nezaželene mravlje, ki iščejo hrano po človekovih bivališčih.
Z mravljami se ukvarja mirmekologija, posebna veja entomologije. Znanstveniki jih uporabljajo kot model za preučevanje mnogo bioloških procesov, kot so selekcija znotraj sorodstva in druge sociobiološke procese, uporabne pa so tudi kot indikatorski organizmi pri preučevanju biodiverzitete. Pogosto opisujejo kolonije mravelj ali drugih socialnih žuželk kot superorganizme, kjer skupina osebkov kot celota pridobi lastnosti, ki jih ne moremo razložiti s seštevkom njenih sestavnih delov. Spoznanja o socialnem vedenju mravelj in optimiziranosti njihovih skupnosti izkoriščajo računalniški programerji za optimizacijo algoritmov za reševanje specifičnih problemov v računalništvu. Tudi za laike pa so mravlje zanimive za gojenje in�»mravlje farme«�so bile od petdesetih do sedemdesetih let prejšnjega stoletja predvsem v ZDA priljubljena izobraževalna igrača.
[uredi] Kulturne reference
Kolonije mravelj so že od nekdaj fascinirale ljudi in mravlje so že vsaj od antike zgled za delavnost, vztrajnost in žrtvovanje v dobro skupnosti. V tej luči jih prikazuje med drugim Ezopova basen�»Kobilica in mravlje«�ter Knjiga pregovorov v Stari zavezi, ki jih kot takšne daje za vzgled ljudem. Tudi v slovenščini je znan izrek�»priden kot mravlja«. Slovenski pisec Fran Erjavec jih je opisal v znanem eseju z naslovom�»Mravlja«, v katerem jim je sicer pripisal mnogo človeških lastnosti, a je njegov opis življenja kolonije kljub temu presenetljivo natančen.
V novejšem času nastopajo mravlje v animiranih filmih, kot so Antz, A Bug's Life ipd., ali kot navdih za nezemeljske rase bitij v znanstvenofantastičnih zgodbah (npr. Vesoljski bojevniki avtorja Roberta Ansona Heinleina), pogosto kot skupnost organizmov s kolektivno zavestjo (kar je razširjeno zmotno prepričanje o resničnih kolonijah mravelj).
[uredi] Sistematika in evolucija
Mravlje so se prvič pojavile v srednji kredi. Najstarejši fosilni ostanki so stari okoli 90 milijonov let, po fosilnih ostankih sorodnih os pa ocenjujejo, da je družina stara okoli 120 milijonov let. Najprimitivnejša skupina mravelj je nedvomno poddružina Sphecomyrminae, izumrla v začetku terciarja, katere predstavniki so že živeli v skupnostih z razvito delitvijo na kaste. Od�»modernih«�telesnih značilnosti jim je manjkal le dolg prvi člen tipalnic. Sprva so bile mravlje številčno zelo slabo zastopane v favni žuželk; v jantarju iz krede je manj kot 1% osebkov mravelj. Pred okoli 50 milijoni let, v terciarju, pa je prišlo do eksplozivne radiacije vrst in tudi delež osebkov v celotnem fosilnem zapisu se je povečal, zato domnevajo, da so mravlje takrat postala dominantna skupina žuželk. Najbolj skokovit porast števila osebkov je razviden iz ostankov iz oligocena (pred 35 milijoni let), kar povezujemo s pojavom rodov, ki danes tvorijo ogromne kolonije. V skladih jantarja, starih 20-25 milijonov let, so prisotne že vse sodobne skupine mravelj.
Zaradi visoke specializiranosti mravelj in razlik v primerjavi z ostalimi skupinami kožokrilcev so jih včasih klasificirali kot naddružino (Formicoidea), danes pa velja prepričanje, da se je njihova biologija spreminjala tako hitro zaradi življenja v skupnosti in mravlje zdaj obravnavamo kot družino.
Razmerja znotraj ozkopasih os (Apocrita), s tem pa sorodnost mravelj z osami, čebelami idr., še niso povsem razjasnjena. Vemo, da sta si največji poddružini, Formicinae in Dolichoderinae zelo sorodni, prav tako poddružini Dorylinae in Ecitoninae z reduciranimi očmi.
Kladogram danes živečih poddružin mravelj. Razvejitev ponazarja skupnega prednika; kjer se razveji v tri ali več enakovrednih vej, ni jasno, katera od poddružin je izvornejša. *Cerapachyinae je parafiletska poddružina.
[uredi] Mravlje v Sloveniji
Mravlje so v Sloveniji slabo raziskana skupina. Težavo predstavlja tudi dejstvo, da se njihova sistematika z novimi objavami hitro spreminja. Po zdaj zbranih podatkih živi tu 132 vrst mravelj. Med najpogostejšimi vrstami so rdeča gozdna oz. velika rdeča mravlja (Formica rufa), rumena travniška mravlja (Lasius flavus) in črna mravlja (Lasius niger)

Summary:
Mravlje (znanstveno ime Formicidae, latinsko formica - mravlja) so po kriteriju števila vrst zelo uspešna družina kožokrilcev, v katero uvrščamo preko 12.000 danes živeč opisanih vrst žuželk. Njihova glavna značilnost je, da so evsocialne živali, ki živijo v kolonijah z izraženo razdelitvijo v kaste in delitvijo dela. Ta prilagoditev jim je omogočila, da so naselile skoraj vsa kopna na Zemlji in postale izredno številčne. Danes predstavljajo med 15 in 20% vse kopenske biomase živali, v tropih, kjer so najštevilčnejše, pa tudi do 25%.
Z mravljami se znanstveno ukvarja posebna veja entomologije, imenovana mirmekologija (iz grščine myrmec - mravlja in λόγος (logos) - veda, znanost). Predpona mirmeko- se uporablja tudi za druge pojme, povezane z mravljami.


[uredi] Ozadje
Saparmurat Nijazov se je rodil leta 1940 v Ašhabadu v takratni Turkmenski sovjetski socialistični republiki. Že kot majhen otrok je osirotel, njegov oče je umrl kot vojak v 2. svetovni vojni, ostala družina pa je umrla v velikem potresu, ki je leta 1948 Ašhabad zravnal z zemljo. Odraščal je v sovjetski sirotišnici, dokler ga niso k sebi vzeli daljni sorodniki.
Leta 1962 je Nijazov vstopil v Komunistično partijo Sovjetske zveze, kjer je hitro napredoval. Leta 1985 je postal voditelj Komunistične partije turkmenske SSR, ki je danes znana kot Demokratična stranka Turkmenistana. Položaj je zasedel, ko je Mihail Gorbačov zaradi afere z bombažem odstavil prejšnjega voditelja Muhamednazarja Gapurova. Pod Nijazovom je bila turkmenska komunistična partija ena od najbolj pravovernih in nereformiranih strankarskih organizacij v Sovjetski zvezi. 13. januarja 1990 je Nijazov postal predsednik Vrhovnega sovjeta, najvišjega zakonodajnega telesa v državi.
Nijazov je leta 1991 podprl upor proti Gorbačovu, ko pa je ta propadel, se je zavzel za ločitev Turkmenistana od umirajoče Sovjetske zveze. 27. oktobra 1991 je Vrhovni sovjet razglasil neodvisnost Turkmenistana in na ljudskem glasovanju kot edinega kandidata za prvega predsednika države izvolil Nijazova. Leto pozneje si je Nijazov nadel ime�»Turkmenbaši«,�»Oče vseh Turkmencev«.
Da bi lahko nadzoroval 10-letni razvojni načrt, so leta 1994 Turkmenistanci na plebiscitu Nijazovu podaljšali mandat do leta 2002 (za predlog je glasovalo 99,9%, kar je podoben rezultat kot pri volitvah v časih Sovjetske zveze). 28. decembra 1999 je parlament Nijazova razglasil za dosmrtnega predsednika. Nekaj tednov prej so potekale parlamentarne volitve, na katerih je kandidate za poslance izbral Nijazov osebno.
Nijazov in njegova žena Muza sta imela sina Murata in hčer Irino.
[uredi] Kult osebnosti
Nijazov je bil avtoritarni voditelj in je v zahodnih državah slovel po kultu osebnosti, ki si ga je ustvaril v Turkmenistanu. Na začetku vladanja je Turkmenistan označil za državo brez narodne identitete. Odločil se je, da bo mesto Krasnovodsk ob Kaspijskem jezeru po sebi preimenoval v Turkmenbaši. Poleg tega je po sebi in svojih najbližjih sorodnikih poimenoval tudi več šol, letališč in celo meteorit. Po sebi in sorodnikih je poimenoval tudi mesece in dneve v tednu, januar je tako postal Turkmenbaši. Nijazov je upodobljen na turkmenistanskih manatskih bankovcih. Njegove slike so izobešene po vsej državi, še posebej na javnih zgradbah in avenijah. Njegovi kipi in kipi njegove matere so postavljeni po vsej državi, eden je celo sredi puščave Karakum. Na vrhu Loka nevtralnosti, najvišje zgradbe v Ašhabadu, stoji pozlačen kip Nijazova, ki se vrti tako, da ima obraz vedno obrnjen proti soncu in se blešči v mesto. V spomin na svoje vladanje si je Nijazov dal zgraditi veliko palačo v prestolnici. Petkrat je bil odlikovan z nazivom Heroj Turkmenistana. Sam je sicer trdil, da mu ni do�»[svojih] slik in kipov po ulicah, vendar si tega želi ljudstvo.«�
Po mnenju Erike Dailey, strokovnjakinje Zavoda za odprto družbo (Open Institute Society), je mlade Turkmenistance indoktriniral in jim pral možgane izobraževalni sistem z narodnim epom Knjiga duše (Ruhnama), ki ga je napisal Nijazov. Knjiga, ki je mešanica zgodovinskega revizionizma in moralnih naukov, je bila namenjena kot�»duhovno vodilo narodu«�in osnova za narodno umetnost in književnost. S tem, ko so sovjetske knjige prepovedali, ne da bi jih nadomestili z novejšimi, so v knjižnicah ostala večinoma samo Nijazova dela. Leta 2004 je Nijazov z utemeljitvijo, da podeželski Turkmeni ne berejo, odredil zaprtje vseh knjižnic v vaseh.
V Nijazovi rojstni vasi Kipčak so v spomin na njegovo mater zgradili kompleks z mošejo, ki simbolizira preporod turkmenistanskega naroda in katere gradnja je stala okrog 100 milijonov dolarjev. Na zidovih mošeje so poleg sur iz Korana napisani tudi odlomki iz Knjige duše. Ta je polagoma prežela vso turkmensko kulturo.
[uredi] Notranja politika
[uredi] Gospodarstvo
Turkmenistan ima druge največje rezerve zemeljskega plina na ozemlju bivše Sovjetske zveze. Visoki prihodki od njegovega izvoza so Nijazovu omogočale, da je brez pomislekov preziral mednarodne pozive k reformam. Vlada se še vedno oklepa sovjetskega modela planskega gospodarstva, na primer državnega nadzora proizvodnje, neposrednih bančnih kreditov z nizkimi obrestmi, omejitev pri menjavi denarja in nadzora cen.
Leta 1991 je Nijazova vlada izdala dekret, s katerim je za Turkmenistance uvedla�»uporabo vode, plina in elektrike zastonj«. V resnici pa prebivalci prejemajo kar se da nizko plačo, država pa potem razpečuje vodo, plin in elektriko zastonj.
[uredi] Kultura
Nijazov je kot eno od najpomembnejših nalog v razvoju Turkmenistana opredelil prenovo turkmenske kulture. Dotedanjo cirilico je nadomestil z novo turkmensko abecedo na osnovi latinice. Turkmenski jezik se uporablja kot edini državni jezik. Po turkmenskih herojih, pesnikih in voditeljih so preimenovali tudi mesece.
[uredi] Varnost
25. novembra 2002 je predsednik Uzbekistana Islom Karimov neuspešno poskušal izvesti atentat na Nijazova. Sledile so množične aretacije domnevnih zarotnikov in njihovih družinskih članov. Kritiki trdijo, da je bil poskus atentata zrežiran, da bi oblasti lahko zatrle krepitev domače in tuje politične opozicije.
Poleti 2004 se je v prestolnici začela kampanja z letaki, ki je pozivala k strmoglavljenju predsednika in sodnemu postopku proti njemu. Oblasti kampanje niso mogle ustaviti, zato je predsednik na nacionalni televiziji odstavil ministra za notranje zadeve in direktorja policijske akademije. Ministra je obtožil nesposobnosti.
Maja 2000 je vlada vsem, razen turkmenistanskemu Telekomu, preklicala internetne licence. Junija 2001 je zaprla tudi vse spletne kavarne.
Leta 2005 je bilo v državi 36.000 uporabnikov interneta, kar pomeni 0,7% prebivalstva.
[uredi] Zunanja politika
Nijazov je bil vnet zagovornik politike stroge nevtralnosti Turkmenistana v zunanjih zadevah. Izogibal se je približevanja Natu in GUUAM in je skoraj popolnoma prezrl CSTO. Turkmenistan ni sodeloval v nobeni od mirovnih misij Združenih narodov.
Konec leta 2004 se je sestal s kanadskim premierom Jeanom Chrétienom, da bi se dogovorili o pogodbi o nafti za kanadsko podjetje v Turkmenistanu. Novica o tem srečanju je marca 2005 v kanadski opoziciji izzvala veliko ogorčenje.
Leta 2005 je Nijazov razglasil, da bo država oslabila svojo povezanost s Skupnostjo neodvisnih držav. Obljubil je tudi svobodne in poštene volitve do leta 2010, kar je presenetilo mnoge zahodne opazovalce.
Leta 2006 sta Evropska komisija in odbor Evropskega parlamenta za mednarodno trgovino glasovala, da se Turkmenistanu podeli položaj v Evropski uniji trgovinsko�»najbolj zaželene države«. Potezo so večinoma razlagali kot povečano zanimanje za zemeljski plin Turkmenistana, potem ko je Nijazov oznanil, da se bo z EU začel pogovarjati o človekovih pravicah.
[uredi] Predsedniški odloki
Kot doživljenjski predsednik je Nijazov izdal številne sporne in nenavadne odloke:
[uredi] Smrt
21. decembra 2006 je turkmenistanska državna televizija oznanila, da je predsednik Nijazov zaradi nenadne odpovedi srca umrl. Da se Nijazov zdravi za neznano srčno boleznijo, se je vedelo že nekaj časa. Poročilo je pozneje potrdilo tudi turkmenistansko veleposlaništvo v Moskvi.
Po turkmenistanski ustavi bi moral predsedništvo prevzeti predsednik parlamenta Ovezgeldi Atajev. Premier Gurbanguli Berdimuhamedow je bil imenovan za predsednika odbora za organizacijo državniškega pogreba. Berdimuhamedov je bil zaradi aretacije Ovezgeldija Atajeva, ki bi imel po ustavi sicer prednost, imenovan tudi za vršilca dolžnosti predsednika. Berdimuhamedov in Halk Maslahati sta 26. decembra oznanila, da bodo naslednje predsedniške volitve potekale 11. februarja 2007. Pojavljajo se sumi, da so Nijazova zastrupili.
New York Times je poročal, da je v tekmo za predsedništvo po spremembi ustave, ki je omogočila kandidaturo tudi Turkmenistancem mešanega etničnega izvora, vstopil tudi sin Nijazova Murat.
Okoliščine, v katerih je preminil Nijazov, so nekoliko nejasne. Po nekaterih virih bi lahko Nijazov umrl tudi zaradi zastrupitve. Nekateri pripadniki turkmenistanske opozicije trdijo tudi, da je Nijazov umrl že nekaj dni pred javnim obvestilom o smrti 21. decembra.
[uredi] Pogreb
Nijazova so pokopali 24. decembra v njegovi domači vasi Kipčak okrog 10 km zunaj prestolnice. Preden so ga prepeljali v vas, je njegovo telo ležalo v odprti krsti v predsedniški palači. V triurnem mimohodu so se ob njej zvrstili številni žalujoči, med drugim tudi mnoge tuje delegacije. .
Pogreba so se tako udeležili Tang Jiaxuan, kitajski državni svetnik in posebni odposlanec za Turkmenistan predsednika Ljudske republike Kitajske Hu Jintaa , pomočnik Zunanjega ministra ZDA Richard Boucher , podpredsednik Irana Parviz Davoudi, iranski minister za zunanje zadeve Manušer Motaki, predsednik Kazahstana Nursultan Nazarbajev, predsednik Tadžikistana Emomali Rahmonov, predsednik Afganistana Hamid Karzaj, predsednik ruske vlade Mihail Fradkov, predsednik turške vlade Recep Tayyip Erdoğan, ukrajinski predsednik Viktor Janukovič in drugi.

Summary:
Saparmurat Atajevič Nijazov, turkmenski politik in dosmrtni predsednik Turkmenistana, * 19. februar 1940, Kipčak pri Ašhabadu, Turkmenistan, † 21. december 2006, Ašhabad.
Njegov uradni naziv je bil�»Njegovo veličanstvo Saparmurat Nijazov Türkmenbaşy, Predsednik Turkmenistana in vodja kabineta ministrov«. Naziv Türkmenbaşy oz. turkmenbaši je pomenil Vodja vseh Turkmenov se je nanašal na njegov položaj ustanovitelja in predsednika Zveze Turkmenov po svetu.
Nijazova so tuji mediji kritizirali kot enega od najbolj avtoritarnih diktatorjev na svetu. Slovel je po ekscentričnih domislicah, ki jih je vsilil svoji državi. Ustvaril si je tudi kult osebnosti, po obsegu v marsičem primerljiv s kultom Stalina. Organizacija Global Witness je poročala, da je imel Nijazov v bankah po svetu spravljene več kot 3 milijarde dolarjev.