[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
r : ℝ
⊢ Seminorm.ball (toSeminorm f) 0 r = {x | ‖↑f x‖ < r}
[PROOFSTEP]
simp only [Seminorm.ball_zero_eq, toSeminorm_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : F →ₗ[𝕜] 𝕜
g : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Seminorm.comp (toSeminorm f) g = toSeminorm (comp f g)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : F →ₗ[𝕜] 𝕜
g : E →ₗ[𝕜] F
x✝ : E
⊢ ↑(Seminorm.comp (toSeminorm f) g) x✝ = ↑(toSeminorm (comp f g)) x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Seminorm.comp_apply, toSeminorm_apply, coe_comp, Function.comp_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
⊢ Filter.HasBasis (𝓝 0) (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
let p := B.toSeminormFamily
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
⊢ Filter.HasBasis (𝓝 0) (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
rw [nhds_induced, nhds_pi]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
⊢ Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 (↑(↑B 0) i)))
    (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
simp only [map_zero, LinearMap.zero_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
⊢ Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0))
    (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
have h := @Metric.nhds_basis_ball 𝕜 _ 0
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
⊢ Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0))
    (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
have h' := Filter.hasBasis_pi fun _ : F => h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
⊢ Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0))
    (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
have h'' := Filter.HasBasis.comap (fun x y => B x y) h'
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
⊢ Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun i => 𝓝 0))
    (SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B)) _root_.id
[PROOFSTEP]
refine' h''.to_hasBasis _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
⊢ ∀ (i : Set F × (F → ℝ)),
    (Set.Finite i.fst ∧ ∀ (i_1 : F), i_1 ∈ i.fst → 0 < Prod.snd i i_1) →
      ∃ i',
        SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
          _root_.id i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
[PROOFSTEP]
rintro (U : Set F × (F → ℝ)) hU
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU : Set.Finite U.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      _root_.id i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
cases' hU with hU₁ hU₂
[GOAL]
case refine'_1.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      _root_.id i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
simp only [id.def]
[GOAL]
case refine'_1.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
let U' := hU₁.toFinset
[GOAL]
case refine'_1.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
by_cases hU₃ : U.fst.Nonempty
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
have hU₃' : U'.Nonempty := hU₁.toFinset_nonempty.mpr hU₃
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨(U'.sup p).ball 0 <| U'.inf' hU₃' U.snd,
    p.basisSets_mem _ <| (Finset.lt_inf'_iff _).2 fun y hy => hU₂ y <| hU₁.mem_toFinset.mp hy, fun x hx y hy => _⟩
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : x ∈ Seminorm.ball (Finset.sup U' p) 0 (Finset.inf' U' hU₃' U.snd)
y : F
hy : y ∈ U.fst
⊢ (fun x y => ↑(↑B x) y) x y ∈ (fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)) y
[PROOFSTEP]
simp only [Set.mem_preimage, Set.mem_pi, mem_ball_zero_iff]
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : x ∈ Seminorm.ball (Finset.sup U' p) 0 (Finset.inf' U' hU₃' U.snd)
y : F
hy : y ∈ U.fst
⊢ ‖↑(↑B x) y‖ < Prod.snd U y
[PROOFSTEP]
rw [Seminorm.mem_ball_zero] at hx
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : ↑(Finset.sup U' p) x < Finset.inf' U' hU₃' U.snd
y : F
hy : y ∈ U.fst
⊢ ‖↑(↑B x) y‖ < Prod.snd U y
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.toSeminormFamily_apply]
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : ↑(Finset.sup U' p) x < Finset.inf' U' hU₃' U.snd
y : F
hy : y ∈ U.fst
⊢ ↑(toSeminormFamily B y) x < Prod.snd U y
[PROOFSTEP]
have hyU' : y ∈ U' := (Set.Finite.mem_toFinset hU₁).mpr hy
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : ↑(Finset.sup U' p) x < Finset.inf' U' hU₃' U.snd
y : F
hy : y ∈ U.fst
hyU' : y ∈ U'
⊢ ↑(toSeminormFamily B y) x < Prod.snd U y
[PROOFSTEP]
have hp : p y ≤ U'.sup p := Finset.le_sup hyU'
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : ↑(Finset.sup U' p) x < Finset.inf' U' hU₃' U.snd
y : F
hy : y ∈ U.fst
hyU' : y ∈ U'
hp : p y ≤ Finset.sup U' p
⊢ ↑(toSeminormFamily B y) x < Prod.snd U y
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_le_of_lt (hp x) (lt_of_lt_of_le hx _)
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : Set.Nonempty U.fst
hU₃' : Finset.Nonempty U'
x : E
hx : ↑(Finset.sup U' p) x < Finset.inf' U' hU₃' U.snd
y : F
hy : y ∈ U.fst
hyU' : y ∈ U'
hp : p y ≤ Finset.sup U' p
⊢ Finset.inf' U' hU₃' U.snd ≤ Prod.snd U y
[PROOFSTEP]
exact Finset.inf'_le _ hyU'
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : ¬Set.Nonempty U.fst
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi U.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
rw [Set.not_nonempty_iff_eq_empty.mp hU₃]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : ¬Set.Nonempty U.fst
⊢ ∃ i',
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' ∧
      i' ⊆ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi ∅ fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd U i)
[PROOFSTEP]
simp only [Set.empty_pi, Set.preimage_univ, Set.subset_univ, and_true_iff]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set F × (F → ℝ)
hU₁ : Set.Finite U.fst
hU₂ : ∀ (i : F), i ∈ U.fst → 0 < Prod.snd U i
U' : Finset F := Set.Finite.toFinset hU₁
hU₃ : ¬Set.Nonempty U.fst
⊢ ∃ i', SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i'
[PROOFSTEP]
exact Exists.intro ((p 0).ball 0 1) (p.basisSets_singleton_mem 0 one_pos)
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
⊢ ∀ (i' : Set E),
    SeminormFamily.basisSets (toSeminormFamily B) i' →
      ∃ i,
        (Set.Finite i.fst ∧ ∀ (i_1 : F), i_1 ∈ i.fst → 0 < Prod.snd i i_1) ∧
          ((fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)) ⊆ _root_.id i'
[PROOFSTEP]
rintro U (hU : U ∈ p.basisSets)
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
hU : U ∈ SeminormFamily.basisSets p
⊢ ∃ i,
    (Set.Finite i.fst ∧ ∀ (i_1 : F), i_1 ∈ i.fst → 0 < Prod.snd i i_1) ∧
      ((fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)) ⊆ _root_.id U
[PROOFSTEP]
rw [SeminormFamily.basisSets_iff] at hU
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
hU : ∃ i r x, U = Seminorm.ball (Finset.sup i p) 0 r
⊢ ∃ i,
    (Set.Finite i.fst ∧ ∀ (i_1 : F), i_1 ∈ i.fst → 0 < Prod.snd i i_1) ∧
      ((fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)) ⊆ _root_.id U
[PROOFSTEP]
rcases hU with ⟨s, r, hr, hU⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
⊢ ∃ i,
    (Set.Finite i.fst ∧ ∀ (i_1 : F), i_1 ∈ i.fst → 0 < Prod.snd i i_1) ∧
      ((fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)) ⊆ _root_.id U
[PROOFSTEP]
rw [hU]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
⊢ ∃ i,
    (Set.Finite i.fst ∧ ∀ (i_1 : F), i_1 ∈ i.fst → 0 < Prod.snd i i_1) ∧
      ((fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)) ⊆
        _root_.id (Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(s, fun _ => r), ⟨by simp only [s.finite_toSet], fun y _ => hr⟩, fun x hx => _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
⊢ Set.Finite (↑s, fun x => r).fst
[PROOFSTEP]
simp only [s.finite_toSet]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
x : E
hx : x ∈ (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi (↑s, fun x => r).fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd (↑s, fun x => r) i)
⊢ x ∈ _root_.id (Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r)
[PROOFSTEP]
simp only [Set.mem_preimage, Set.mem_pi, Finset.mem_coe, mem_ball_zero_iff] at hx
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
x : E
hx : ∀ (i : F), i ∈ s → ‖↑(↑B x) i‖ < r
⊢ x ∈ _root_.id (Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r)
[PROOFSTEP]
simp only [id.def, Seminorm.mem_ball, sub_zero]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
x : E
hx : ∀ (i : F), i ∈ s → ‖↑(↑B x) i‖ < r
⊢ ↑(Finset.sup s (toSeminormFamily B)) x < r
[PROOFSTEP]
refine' Seminorm.finset_sup_apply_lt hr fun y hy => _
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
x : E
hx : ∀ (i : F), i ∈ s → ‖↑(↑B x) i‖ < r
y : F
hy : y ∈ s
⊢ ↑(toSeminormFamily B y) x < r
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.toSeminormFamily_apply]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : Nonempty ι
B✝ B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
p : SeminormFamily 𝕜 E F := toSeminormFamily B
h : Filter.HasBasis (𝓝 0) (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
h' :
  Filter.HasBasis (Filter.pi fun x => 𝓝 0) (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i)
    fun If => Set.pi If.fst fun i => Metric.ball 0 (Prod.snd If i)
h'' :
  Filter.HasBasis (Filter.comap (fun x y => ↑(↑B x) y) (Filter.pi fun x => 𝓝 0))
    (fun If => Set.Finite If.fst ∧ ∀ (i : F), i ∈ If.fst → 0 < Prod.snd If i) fun i =>
    (fun x y => ↑(↑B x) y) ⁻¹' Set.pi i.fst fun i_1 => Metric.ball 0 (Prod.snd i i_1)
U : Set E
s : Finset F
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = Seminorm.ball (Finset.sup s p) 0 r
x : E
hx : ∀ (i : F), i ∈ s → ‖↑(↑B x) i‖ < r
y : F
hy : y ∈ s
⊢ ‖↑(↑B x) y‖ < r
[PROOFSTEP]
exact hx y hy


[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜
a✝ b✝ : 𝕜
hx : a✝ ∈ ball 0 1
hy : b✝ ∈ ball 0 1
⊢ a✝ * b✝ ∈ ball 0 1
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_zero_iff] at *
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜
a✝ b✝ : 𝕜
hx : ‖a✝‖ < 1
hy : ‖b✝‖ < 1
⊢ ‖a✝ * b✝‖ < 1
[PROOFSTEP]
exact (norm_mul_le _ _).trans_lt (mul_lt_one_of_nonneg_of_lt_one_left (norm_nonneg _) hx hy.le)
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜
a✝ b✝ : 𝕜
hx : a✝ ∈ closedBall 0 1
hy : b✝ ∈ closedBall 0 1
⊢ a✝ * b✝ ∈ closedBall 0 1
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall_zero_iff] at *
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜
a✝ b✝ : 𝕜
hx : ‖a✝‖ ≤ 1
hy : ‖b✝‖ ≤ 1
⊢ ‖a✝ * b✝‖ ≤ 1
[PROOFSTEP]
exact (norm_mul_le _ _).trans (mul_le_one hx (norm_nonneg _) hy)
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
a✝ b✝ : 𝕜
hx : a✝ ∈ sphere 0 1
hy : b✝ ∈ sphere 0 1
⊢ a✝ * b✝ ∈ sphere 0 1
[PROOFSTEP]
rw [mem_sphere_zero_iff_norm] at *
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
a✝ b✝ : 𝕜
hx : ‖a✝‖ = 1
hy : ‖b✝‖ = 1
⊢ ‖a✝ * b✝‖ = 1
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
x : ↑(sphere 0 1)
⊢ ‖(↑x)⁻¹‖ = 1
[PROOFSTEP]
rw [norm_inv, mem_sphere_zero_iff_norm.1 x.coe_prop, inv_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
x y : ↑(sphere 0 1)
⊢ ‖↑x / ↑y‖ = 1
[PROOFSTEP]
rw [norm_div, mem_sphere_zero_iff_norm.1 x.coe_prop, mem_sphere_zero_iff_norm.1 y.coe_prop, div_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
x : ↑(sphere 0 1)
n : ℤ
⊢ ↑x ^ n ∈ sphere 0 1
[PROOFSTEP]
rw [mem_sphere_zero_iff_norm, norm_zpow, mem_sphere_zero_iff_norm.1 x.coe_prop, one_zpow]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
x y : ↑(sphere 0 1)
h : ↑(unitSphereToUnits 𝕜) x = ↑(unitSphereToUnits 𝕜) y
⊢ ↑x = ↑y
[PROOFSTEP]
convert congr_arg Units.val h


[GOAL]
R : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : OrderedSemiring R
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝³ : Module R F
inst✝² : ContinuousConstSMul R F
inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
⊢ LocallyConvexSpace R (E →SL[σ] F)
[PROOFSTEP]
letI : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
[GOAL]
R : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : OrderedSemiring R
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝³ : Module R F
inst✝² : ContinuousConstSMul R F
inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
this : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
⊢ LocallyConvexSpace R (E →SL[σ] F)
[PROOFSTEP]
haveI : TopologicalAddGroup (E →SL[σ] F) := strongTopology.topologicalAddGroup _ _ _
[GOAL]
R : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : OrderedSemiring R
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝³ : Module R F
inst✝² : ContinuousConstSMul R F
inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
this✝ : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
this : TopologicalAddGroup (E →SL[σ] F)
⊢ LocallyConvexSpace R (E →SL[σ] F)
[PROOFSTEP]
apply
  LocallyConvexSpace.ofBasisZero _ _ _ _
    (strongTopology.hasBasis_nhds_zero_of_basis _ _ _ h𝔖₁ h𝔖₂ (LocallyConvexSpace.convex_basis_zero R F)) _
[GOAL]
R : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : OrderedSemiring R
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝³ : Module R F
inst✝² : ContinuousConstSMul R F
inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
this✝ : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
this : TopologicalAddGroup (E →SL[σ] F)
⊢ ∀ (i : Set E × Set F),
    i.fst ∈ 𝔖 ∧ i.snd ∈ 𝓝 0 ∧ Convex R i.snd → Convex R {f | ∀ (x : E), x ∈ i.fst → ↑f x ∈ _root_.id i.snd}
[PROOFSTEP]
rintro ⟨S, V⟩ ⟨_, _, hVconvex⟩ f hf g hg a b ha hb hab x hx
[GOAL]
case mk.intro.intro
R : Type u_1
𝕜₁ : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : OrderedSemiring R
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝³ : Module R F
inst✝² : ContinuousConstSMul R F
inst✝¹ : LocallyConvexSpace R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : Set.Nonempty 𝔖
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
this✝ : TopologicalSpace (E →SL[σ] F) := strongTopology σ F 𝔖
this : TopologicalAddGroup (E →SL[σ] F)
S : Set E
V : Set F
left✝¹ : (S, V).fst ∈ 𝔖
left✝ : (S, V).snd ∈ 𝓝 0
hVconvex : Convex R (S, V).snd
f : E →SL[σ] F
hf : f ∈ {f | ∀ (x : E), x ∈ (S, V).fst → ↑f x ∈ _root_.id (S, V).snd}
g : E →SL[σ] F
hg : g ∈ {f | ∀ (x : E), x ∈ (S, V).fst → ↑f x ∈ _root_.id (S, V).snd}
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x : E
hx : x ∈ (S, V).fst
⊢ ↑(a • f + b • g) x ∈ _root_.id (S, V).snd
[PROOFSTEP]
exact hVconvex (hf x hx) (hg x hx) ha hb hab