[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : Anisotropic (prod Q₁ Q₂)
⊢ Anisotropic Q₁ ∧ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
simp_rw [Anisotropic, prod_apply, Prod.forall, Prod.mk_eq_zero] at h
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
⊢ Anisotropic Q₁ ∧ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
⊢ Anisotropic Q₁
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
case left
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
x : M₁
hx : ↑Q₁ x = 0
⊢ x = 0
[PROOFSTEP]
refine' (h x 0 _).1
[GOAL]
case left
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
x : M₁
hx : ↑Q₁ x = 0
⊢ ↑Q₁ x + ↑Q₂ 0 = 0
[PROOFSTEP]
rw [hx, zero_add, map_zero]
[GOAL]
case right
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
⊢ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
case right
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
x : M₂
hx : ↑Q₂ x = 0
⊢ x = 0
[PROOFSTEP]
refine' (h 0 x _).2
[GOAL]
case right
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), ↑Q₁ a + ↑Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
x : M₂
hx : ↑Q₂ x = 0
⊢ ↑Q₁ 0 + ↑Q₂ x = 0
[PROOFSTEP]
rw [hx, add_zero, map_zero]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ ↑(prod Q₁ Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
[PROOFSTEP]
simp_rw [Prod.forall, prod_apply]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b) → (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
⊢ (∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp.left
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
⊢ ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case mp.left
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
x : M₁
⊢ 0 ≤ ↑Q₁ x
[PROOFSTEP]
simpa only [add_zero, map_zero] using h x 0
[GOAL]
case mp.right
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
⊢ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case mp.right
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
x : M₂
⊢ 0 ≤ ↑Q₂ x
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add, map_zero] using h 0 x
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) → ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ ↑Q₁ a + ↑Q₂ b
[PROOFSTEP]
rintro ⟨h₁, h₂⟩ x₁ x₂
[GOAL]
case mpr.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
h₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
h₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ 0 ≤ ↑Q₁ x₁ + ↑Q₂ x₂
[PROOFSTEP]
exact add_nonneg (h₁ x₁) (h₂ x₂)
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ PosDef (prod Q₁ Q₂) ↔ PosDef Q₁ ∧ PosDef Q₂
[PROOFSTEP]
simp_rw [posDef_iff_nonneg, nonneg_prod_iff]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic (prod Q₁ Q₂) ↔
    ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ Anisotropic Q₁) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic (prod Q₁ Q₂) →
    ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ Anisotropic Q₁) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟨hle₁, hle₂⟩, ha⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
ha : Anisotropic (prod Q₁ Q₂)
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ Anisotropic Q₁) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ha₁, ha₂⟩ := anisotropic_of_prod ha
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
ha : Anisotropic (prod Q₁ Q₂)
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
ha₁ : Anisotropic Q₁
ha₂ : Anisotropic Q₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ Anisotropic Q₁) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic Q₂
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨hle₁, ha₁⟩, ⟨hle₂, ha₂⟩⟩
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ Anisotropic Q₁) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic Q₂ →
    ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic (prod Q₁ Q₂)
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟨hle₁, ha₁⟩, ⟨hle₂, ha₂⟩⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
ha₁ : Anisotropic Q₁
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
ha₂ : Anisotropic Q₂
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x) ∧ Anisotropic (prod Q₁ Q₂)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨hle₁, hle₂⟩, _⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
ha₁ : Anisotropic Q₁
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
ha₂ : Anisotropic Q₂
⊢ Anisotropic (prod Q₁ Q₂)
[PROOFSTEP]
rintro ⟨x₁, x₂⟩ (hx : Q₁ x₁ + Q₂ x₂ = 0)
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.mk
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
ha₁ : Anisotropic Q₁
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
ha₂ : Anisotropic Q₂
x₁ : M₁
x₂ : M₂
hx : ↑Q₁ x₁ + ↑Q₂ x₂ = 0
⊢ (x₁, x₂) = 0
[PROOFSTEP]
rw [add_eq_zero_iff' (hle₁ x₁) (hle₂ x₂), ha₁.eq_zero_iff, ha₂.eq_zero_iff] at hx
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.mk
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
R : Type u_9
inst✝² : OrderedRing R
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ ↑Q₁ x
ha₁ : Anisotropic Q₁
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ ↑Q₂ x
ha₂ : Anisotropic Q₂
x₁ : M₁
x₂ : M₂
hx : x₁ = 0 ∧ x₂ = 0
⊢ (x₁, x₂) = 0
[PROOFSTEP]
rwa [Prod.mk_eq_zero]
[GOAL]
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module R M₂
inst✝⁶ : Module R N₁
inst✝⁵ : Module R N₂
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
Q' : (i : ι) → QuadraticForm R (Nᵢ i)
e : (i : ι) → IsometryEquiv (Q i) (Q' i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ ↑(QuadraticForm.pi Q') (AddHom.toFun (↑(LinearEquiv.piCongrRight fun i => (e i).toLinearEquiv)).toAddHom x) =
    ↑(QuadraticForm.pi Q) x
[PROOFSTEP]
simp only [pi_apply, LinearEquiv.piCongrRight, LinearEquiv.toFun_eq_coe, IsometryEquiv.coe_toLinearEquiv,
  IsometryEquiv.map_app]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : Anisotropic (pi Q)
⊢ ∀ (i : ι), Anisotropic (Q i)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Anisotropic, pi_apply, Function.funext_iff, Pi.zero_apply] at h
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
⊢ ∀ (i : ι), Anisotropic (Q i)
[PROOFSTEP]
intro i x hx
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
⊢ x = 0
[PROOFSTEP]
classical
have := h (Pi.single i x) ?_ i
· rw [Pi.single_eq_same] at this
  exact this
apply Finset.sum_eq_zero
intro j _
by_cases hji : j = i
· subst hji; rw [Pi.single_eq_same, hx]
· rw [Pi.single_eq_of_ne hji, map_zero]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
⊢ x = 0
[PROOFSTEP]
have := h (Pi.single i x) ?_ i
[GOAL]
case refine_2
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
this : Pi.single i x i = 0
⊢ x = 0
[PROOFSTEP]
rw [Pi.single_eq_same] at this
[GOAL]
case refine_2
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
this : x = 0
⊢ x = 0
[PROOFSTEP]
exact this
[GOAL]
case refine_1
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
⊢ ∑ i_1 : ι, ↑(Q i_1) (Pi.single i x i_1) = 0
[PROOFSTEP]
apply Finset.sum_eq_zero
[GOAL]
case refine_1.h
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
⊢ ∀ (x_1 : ι), x_1 ∈ Finset.univ → ↑(Q x_1) (Pi.single i x x_1) = 0
[PROOFSTEP]
intro j _
[GOAL]
case refine_1.h
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
j : ι
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ↑(Q j) (Pi.single i x j) = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hji : j = i
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
j : ι
a✝ : j ∈ Finset.univ
hji : j = i
⊢ ↑(Q j) (Pi.single i x j) = 0
[PROOFSTEP]
subst hji
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
j : ι
a✝ : j ∈ Finset.univ
x : Mᵢ j
hx : ↑(Q j) x = 0
⊢ ↑(Q j) (Pi.single j x j) = 0
[PROOFSTEP]
rw [Pi.single_eq_same, hx]
[GOAL]
case neg
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0
i : ι
x : Mᵢ i
hx : ↑(Q i) x = 0
j : ι
a✝ : j ∈ Finset.univ
hji : ¬j = i
⊢ ↑(Q j) (Pi.single i x j) = 0
[PROOFSTEP]
rw [Pi.single_eq_of_ne hji, map_zero]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ↑(pi Q) x) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [pi, sum_apply, comp_apply, LinearMap.proj_apply]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x
[PROOFSTEP]
constructor
  -- TODO: does this generalize to a useful lemma independent of `QuadraticForm`?
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)) → ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x
[PROOFSTEP]
intro h i x
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)
i : ι
x : Mᵢ i
⊢ 0 ≤ ↑(Q i) x
[PROOFSTEP]
classical
convert h (Pi.single i x) using 1
rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) fun j _ hji => ?_, Pi.single_eq_same]
rw [Pi.single_eq_of_ne hji, map_zero]
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)
i : ι
x : Mᵢ i
⊢ 0 ≤ ↑(Q i) x
[PROOFSTEP]
convert h (Pi.single i x) using 1
[GOAL]
case h.e'_4
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)
i : ι
x : Mᵢ i
⊢ ↑(Q i) x = ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (Pi.single i x x_1)
[PROOFSTEP]
rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) fun j _ hji => ?_, Pi.single_eq_same]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)
i : ι
x : Mᵢ i
j : ι
x✝ : j ∈ Finset.univ
hji : j ≠ i
⊢ ↑(Q j) (Pi.single i x j) = 0
[PROOFSTEP]
rw [Pi.single_eq_of_ne hji, map_zero]
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) → ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)
[PROOFSTEP]
rintro h x
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x
x : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ 0 ≤ ∑ x_1 : ι, ↑(Q x_1) (x x_1)
[PROOFSTEP]
exact Finset.sum_nonneg fun i _ => h i (x i)
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ PosDef (pi Q) ↔ ∀ (i : ι), PosDef (Q i)
[PROOFSTEP]
simp_rw [posDef_iff_nonneg, nonneg_pi_iff]
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (pi Q) ↔
    ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (pi Q) →
    ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hle, ha⟩
[GOAL]
case mp.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
hle : ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x
ha : Anisotropic (pi Q)
⊢ ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
[PROOFSTEP]
intro i
[GOAL]
case mp.intro
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
hle : ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x
ha : Anisotropic (pi Q)
i : ι
⊢ (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
[PROOFSTEP]
exact ⟨hle i, anisotropic_of_pi ha i⟩
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
⊢ (∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)) →
    (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (pi Q)
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (pi Q)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun i => (h i).1, fun x hx => funext fun i => (h i).2 _ _⟩
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
hx : ↑(pi Q) x = 0
i : ι
⊢ ↑(Q i) (x i) = 0
[PROOFSTEP]
rw [pi_apply, Finset.sum_eq_zero_iff_of_nonneg fun j _ => ?_] at hx
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
hx : ∀ (i : ι), i ∈ Finset.univ → ↑(Q i) (x i) = 0
i : ι
⊢ ↑(Q i) (x i) = 0
[PROOFSTEP]
exact hx _ (Finset.mem_univ _)
[GOAL]
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
Mᵢ : ι → Type u_7
Nᵢ : ι → Type u_8
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid N₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁰ : Module R✝ M₁
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module R✝ N₁
inst✝⁷ : Module R✝ N₂
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R✝ (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R✝ (Nᵢ i)
inst✝² : Fintype ι
R : Type u_9
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
Q : (i : ι) → QuadraticForm R (Mᵢ i)
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ ↑(Q i) x) ∧ Anisotropic (Q i)
x : (i : ι) → Mᵢ i
hx : ∑ i : ι, ↑(Q i) (x i) = 0
i j : ι
x✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ 0 ≤ ↑(Q j) (x j)
[PROOFSTEP]
exact (h j).1 _