[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
⊢ IsTensorProduct (mk R M N)
[PROOFSTEP]
delta IsTensorProduct
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
⊢ Function.Bijective ↑(lift (mk R M N))
[PROOFSTEP]
convert_to Function.Bijective (LinearMap.id : M ⊗[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] N) using 2
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
⊢ lift (mk R M N) = LinearMap.id
[PROOFSTEP]
apply TensorProduct.ext'
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5.H
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
⊢ ∀ (x : M) (y : N), ↑(lift (mk R M N)) (x ⊗ₜ[R] y) = ↑LinearMap.id (x ⊗ₜ[R] y)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
⊢ Function.Bijective ↑LinearMap.id
[PROOFSTEP]
exact Function.bijective_id
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(LinearEquiv.symm (equiv h)) (↑(↑f x₁) x₂) = x₁ ⊗ₜ[R] x₂
[PROOFSTEP]
apply h.equiv.injective
[GOAL]
case a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(equiv h) (↑(LinearEquiv.symm (equiv h)) (↑(↑f x₁) x₂)) = ↑(equiv h) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
[PROOFSTEP]
refine' (h.equiv.apply_symm_apply _).trans _
[GOAL]
case a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(↑f x₁) x₂ = ↑(equiv h) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
f' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M'
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(lift h f') (↑(↑f x₁) x₂) = ↑(↑f' x₁) x₂
[PROOFSTEP]
delta IsTensorProduct.lift
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
f' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M'
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(LinearMap.comp (TensorProduct.lift f') ↑(LinearEquiv.symm (equiv h))) (↑(↑f x₁) x₂) = ↑(↑f' x₁) x₂
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
hf : IsTensorProduct f
hg : IsTensorProduct g
i₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
i₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(map hf hg i₁ i₂) (↑(↑f x₁) x₂) = ↑(↑g (↑i₁ x₁)) (↑i₂ x₂)
[PROOFSTEP]
delta IsTensorProduct.map
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
hf : IsTensorProduct f
hg : IsTensorProduct g
i₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
i₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(LinearMap.comp (↑(equiv hg)) (LinearMap.comp (TensorProduct.map i₁ i₂) ↑(LinearEquiv.symm (equiv hf))))
      (↑(↑f x₁) x₂) =
    ↑(↑g (↑i₁ x₁)) (↑i₂ x₂)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C m
[PROOFSTEP]
rw [← h.equiv.right_inv m]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C (AddHom.toFun (↑(equiv h)).toAddHom (LinearEquiv.invFun (equiv h) m))
[PROOFSTEP]
generalize h.equiv.invFun m = y
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
y : M₁ ⊗[R] M₂
⊢ C (AddHom.toFun (↑(equiv h)).toAddHom y)
[PROOFSTEP]
change C (TensorProduct.lift f y)
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
y : M₁ ⊗[R] M₂
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) y)
[PROOFSTEP]
induction y using TensorProduct.induction_on with
| zero => rwa [map_zero]
| tmul _ _ =>
  rw [TensorProduct.lift.tmul]
  apply htmul
| add _ _ _ _ =>
  rw [map_add]
  apply hadd <;> assumption
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
y : M₁ ⊗[R] M₂
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) y)
[PROOFSTEP]
induction y using TensorProduct.induction_on with
| zero => rwa [map_zero]
| tmul _ _ =>
  rw [TensorProduct.lift.tmul]
  apply htmul
| add _ _ _ _ =>
  rw [map_add]
  apply hadd <;> assumption
[GOAL]
case zero
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) 0)
[PROOFSTEP]

| zero => rwa [map_zero]
[GOAL]
case zero
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) 0)
[PROOFSTEP]
rwa [map_zero]
[GOAL]
case tmul
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ : M₁
y✝ : M₂
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝))
[PROOFSTEP]

| tmul _ _ =>
  rw [TensorProduct.lift.tmul]
  apply htmul
[GOAL]
case tmul
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ : M₁
y✝ : M₂
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝))
[PROOFSTEP]
rw [TensorProduct.lift.tmul]
[GOAL]
case tmul
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ : M₁
y✝ : M₂
⊢ C (↑(↑f x✝) y✝)
[PROOFSTEP]
apply htmul
[GOAL]
case add
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ y✝ : M₁ ⊗[R] M₂
a✝¹ : C (↑(TensorProduct.lift f) x✝)
a✝ : C (↑(TensorProduct.lift f) y✝)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) (x✝ + y✝))
[PROOFSTEP]

| add _ _ _ _ =>
  rw [map_add]
  apply hadd <;> assumption
[GOAL]
case add
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ y✝ : M₁ ⊗[R] M₂
a✝¹ : C (↑(TensorProduct.lift f) x✝)
a✝ : C (↑(TensorProduct.lift f) y✝)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) (x✝ + y✝))
[PROOFSTEP]
rw [map_add]
[GOAL]
case add
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ y✝ : M₁ ⊗[R] M₂
a✝¹ : C (↑(TensorProduct.lift f) x✝)
a✝ : C (↑(TensorProduct.lift f) y✝)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) x✝ + ↑(TensorProduct.lift f) y✝)
[PROOFSTEP]
apply hadd
[GOAL]
case add.a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ y✝ : M₁ ⊗[R] M₂
a✝¹ : C (↑(TensorProduct.lift f) x✝)
a✝ : C (↑(TensorProduct.lift f) y✝)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) x✝)
[PROOFSTEP]
assumption
[GOAL]
case add.a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
C : M → Prop
m : M
h0 : C 0
htmul : ∀ (x : M₁) (y : M₂), C (↑(↑f x) y)
hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)
x✝ y✝ : M₁ ⊗[R] M₂
a✝¹ : C (↑(TensorProduct.lift f) x✝)
a✝ : C (↑(TensorProduct.lift f) y✝)
⊢ C (↑(TensorProduct.lift f) y✝)
[PROOFSTEP]
assumption
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
⊢ AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id S) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x
[PROOFSTEP]
let F := ((Algebra.linearMap S <| Module.End S (M →ₗ[R] Q)).flip g).restrictScalars R
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
⊢ AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id S) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x
[PROOFSTEP]
have hF : ∀ (s : S) (m : M), h.lift F (s • f m) = s • g m := h.lift_eq F
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id S) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x
[PROOFSTEP]
change h.lift F (r • x) = r • h.lift F x
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • x) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) x
[PROOFSTEP]
apply h.inductionOn x
[GOAL]
case h0
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • 0) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero, map_zero, smul_zero]
[GOAL]
case htmul
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ∀ (x : S) (y : M),
    ↑(IsTensorProduct.lift h F)
        (r • ↑(↑(↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N)))) f)) x) y) =
      r •
        ↑(IsTensorProduct.lift h F)
          (↑(↑(↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N)))) f)) x) y)
[PROOFSTEP]
intro s m
[GOAL]
case htmul
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
s : S
m : M
⊢ ↑(IsTensorProduct.lift h F)
      (r • ↑(↑(↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N)))) f)) s) m) =
    r •
      ↑(IsTensorProduct.lift h F) (↑(↑(↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N)))) f)) s) m)
[PROOFSTEP]
change h.lift F (r • s • f m) = r • h.lift F (s • f m)
[GOAL]
case htmul
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
s : S
m : M
⊢ ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • s • ↑f m) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m)
[PROOFSTEP]
rw [← mul_smul, hF, hF]
[GOAL]
case htmul
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
s : S
m : M
⊢ (r * s) • ↑g m = r • s • ↑g m
[PROOFSTEP]
rw [mul_smul]
  -- Porting note: this line does nothing
[GOAL]
case htmul
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
s : S
m : M
⊢ (r * s) • ↑g m = r • s • ↑g m
[PROOFSTEP]
apply mul_smul
[GOAL]
case hadd
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ∀ (x y : N),
    ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • x) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) x →
      ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • y) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) y →
        ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • (x + y)) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) (x + y)
[PROOFSTEP]
intro x₁ x₂ e₁ e₂
[GOAL]
case hadd
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
src✝ : N →ₗ[R] Q := IsTensorProduct.lift h (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g))
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q := ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q)))) g)
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(IsTensorProduct.lift h F) (s • ↑f m) = s • ↑g m
x₁ x₂ : N
e₁ : ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • x₁) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) x₁
e₂ : ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • x₂) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) x₂
⊢ ↑(IsTensorProduct.lift h F) (r • (x₁ + x₂)) = r • ↑(IsTensorProduct.lift h F) (x₁ + x₂)
[PROOFSTEP]
rw [map_add, smul_add, map_add, smul_add, e₁, e₂]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
⊢ ↑(lift h g) (↑f x) = ↑g x
[PROOFSTEP]
have hF : ∀ (s : S) (m : M), h.lift g (s • f m) = s • g m := h.lift_eq _
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(lift h g) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ↑(lift h g) (↑f x) = ↑g x
[PROOFSTEP]
convert hF 1 x
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(lift h g) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ↑f x = 1 • ↑f x
[PROOFSTEP]
rw [one_smul]
[GOAL]
case h.e'_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
hF : ∀ (s : S) (m : M), ↑(lift h g) (s • ↑f m) = s • ↑g m
⊢ ↑g x = 1 • ↑g x
[PROOFSTEP]
rw [one_smul]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
⊢ g₁ = g₂
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x : N
⊢ ↑g₁ x = ↑g₂ x
[PROOFSTEP]
refine h.inductionOn x ?_ ?_ ?_ ?_
[GOAL]
case h.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x : N
⊢ ↑g₁ 0 = ↑g₂ 0
[PROOFSTEP]
rw [map_zero, map_zero]
[GOAL]
case h.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x : N
⊢ ∀ (m : M), ↑g₁ (↑f m) = ↑g₂ (↑f m)
[PROOFSTEP]
assumption
[GOAL]
case h.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x : N
⊢ ∀ (s : S) (n : N), ↑g₁ n = ↑g₂ n → ↑g₁ (s • n) = ↑g₂ (s • n)
[PROOFSTEP]
intro s n e'
[GOAL]
case h.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x : N
s : S
n : N
e' : ↑g₁ n = ↑g₂ n
⊢ ↑g₁ (s • n) = ↑g₂ (s • n)
[PROOFSTEP]
rw [g₁.map_smul, g₂.map_smul, e']
[GOAL]
case h.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x : N
⊢ ∀ (n₁ n₂ : N), ↑g₁ n₁ = ↑g₂ n₁ → ↑g₁ n₂ = ↑g₂ n₂ → ↑g₁ (n₁ + n₂) = ↑g₂ (n₁ + n₂)
[PROOFSTEP]
intro x y e₁ e₂
[GOAL]
case h.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), ↑g₁ (↑f x) = ↑g₂ (↑f x)
x✝ x y : N
e₁ : ↑g₁ x = ↑g₂ x
e₂ : ↑g₁ y = ↑g₂ y
⊢ ↑g₁ (x + y) = ↑g₂ (x + y)
[PROOFSTEP]
rw [map_add, map_add, e₁, e₂]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
⊢ IsBaseChange S (↑(mk R S M) 1)
[PROOFSTEP]
delta IsBaseChange
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
⊢ IsTensorProduct (↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M)))) (↑(mk R S M) 1)))
[PROOFSTEP]
convert TensorProduct.isTensorProduct R S M using 1
[GOAL]
case h.e'_12
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
⊢ ↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M)))) (↑(mk R S M) 1)) = mk R S M
[PROOFSTEP]
ext s x
[GOAL]
case h.e'_12.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ ↑(↑(↑R (↑(LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M)))) (↑(mk R S M) 1))) s) x =
    ↑(↑(mk R S M) s) x
[PROOFSTEP]
change s • (1 : S) ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
[GOAL]
case h.e'_12.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ s • 1 ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
[PROOFSTEP]
rw [TensorProduct.smul_tmul']
[GOAL]
case h.e'_12.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ (s • 1) ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case h.e'_12.h.h.e_m
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
⊢ s • 1 = s
[PROOFSTEP]
exact mul_one _
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x : S ⊗[R] M
⊢ AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id S) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x
[PROOFSTEP]
change h.equiv (r • x) = r • h.equiv x
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x : S ⊗[R] M
⊢ ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • x) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) x
[PROOFSTEP]
refine TensorProduct.induction_on x ?_ ?_ ?_
[GOAL]
case refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x : S ⊗[R] M
⊢ ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • 0) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero, map_zero, smul_zero]
[GOAL]
case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x : S ⊗[R] M
⊢ ∀ (x : S) (y : M), ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • x ⊗ₜ[R] y) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) (x ⊗ₜ[R] y)
[PROOFSTEP]
intro x y
[GOAL]
case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x✝ : S ⊗[R] M
x : S
y : M
⊢ ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • x ⊗ₜ[R] y) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) (x ⊗ₜ[R] y)
[PROOFSTEP]
simp only [Algebra.linearMap_apply, lift.tmul, smul_eq_mul, LinearMap.mul_apply, LinearMap.smul_apply,
  IsTensorProduct.equiv_apply, Module.algebraMap_end_apply, _root_.map_mul, smul_tmul', eq_self_iff_true,
  LinearMap.coe_restrictScalars, LinearMap.flip_apply]
[GOAL]
case refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x : S ⊗[R] M
⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] M),
    ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • x) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) x →
      ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • y) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) y →
        ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • (x + y)) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) (x + y)
[PROOFSTEP]
intro x y hx hy
[GOAL]
case refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
src✝ : S ⊗[R] M ≃ₗ[R] N := IsTensorProduct.equiv h
r : S
x✝ x y : S ⊗[R] M
hx : ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • x) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) x
hy : ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • y) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) y
⊢ ↑(IsTensorProduct.equiv h) (r • (x + y)) = r • ↑(IsTensorProduct.equiv h) (x + y)
[PROOFSTEP]
rw [map_add, smul_add, map_add, smul_add, hx, hy]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
m : M
⊢ ↑(LinearEquiv.symm (equiv h)) (↑f m) = 1 ⊗ₜ[R] m
[PROOFSTEP]
rw [h.equiv.symm_apply_eq, h.equiv_tmul, one_smul]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
⊢ IsBaseChange S f
[PROOFSTEP]
obtain ⟨g, hg, -⟩ := h (ULift.{v₂} <| S ⊗[R] M) (ULift.moduleEquiv.symm.toLinearMap.comp <| TensorProduct.mk R S M 1)
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
⊢ IsBaseChange S f
[PROOFSTEP]
let f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift
    (((LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f).restrictScalars R)
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
⊢ IsBaseChange S f
[PROOFSTEP]
change Function.Bijective f'
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
⊢ Function.Bijective ↑f'
[PROOFSTEP]
let f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  by
  refine'
    { f' with
      toFun := f'
      map_smul' := fun s x => TensorProduct.induction_on x _ (fun s' y => smul_assoc s s' _) fun x y hx hy => _ }
  · dsimp; rw [map_zero, smul_zero, map_zero, smul_zero]
  · dsimp at *; rw [smul_add, map_add, map_add, smul_add, hx, hy]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
⊢ S ⊗[R] M →ₗ[S] N
[PROOFSTEP]
refine'
  { f' with
    toFun := f'
    map_smul' := fun s x => TensorProduct.induction_on x _ (fun s' y => smul_assoc s s' _) fun x y hx hy => _ }
[GOAL]
case refine'_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
s : S
x : S ⊗[R] M
⊢ AddHom.toFun
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
      (s • 0) =
    ↑(RingHom.id S) s •
      AddHom.toFun
        { toFun := ↑f',
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
        0
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case refine'_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
s : S
x : S ⊗[R] M
⊢ ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
      (s • 0) =
    s •
      ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
        0
[PROOFSTEP]
rw [map_zero, smul_zero, map_zero, smul_zero]
[GOAL]
case refine'_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
s : S
x✝ x y : S ⊗[R] M
hx :
  AddHom.toFun
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
      (s • x) =
    ↑(RingHom.id S) s •
      AddHom.toFun
        { toFun := ↑f',
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
        x
hy :
  AddHom.toFun
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
      (s • y) =
    ↑(RingHom.id S) s •
      AddHom.toFun
        { toFun := ↑f',
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
        y
⊢ AddHom.toFun
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
      (s • (x + y)) =
    ↑(RingHom.id S) s •
      AddHom.toFun
        { toFun := ↑f',
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
        (x + y)
[PROOFSTEP]
dsimp at *
[GOAL]
case refine'_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
s : S
x✝ x y : S ⊗[R] M
hx :
  ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
      (s • x) =
    s •
      ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
        x
hy :
  ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
      (s • y) =
    s •
      ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
        y
⊢ ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
      (s • (x + y)) =
    s •
      ↑(TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f)))
        (x + y)
[PROOFSTEP]
rw [smul_add, map_add, map_add, smul_add, hx, hy]
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
hg : LinearMap.comp (↑R g) f = LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (↑(mk R S M) 1)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
⊢ Function.Bijective ↑f'
[PROOFSTEP]
simp_rw [FunLike.ext_iff, LinearMap.comp_apply, LinearMap.restrictScalars_apply] at hg
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
⊢ Function.Bijective ↑f'
[PROOFSTEP]
let fe : S ⊗[R] M ≃ₗ[S] N := LinearEquiv.ofLinear f'' (ULift.moduleEquiv.toLinearMap.comp g) ?_ ?_
[GOAL]
case intro.intro.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
fe : S ⊗[R] M ≃ₗ[S] N :=
  LinearEquiv.ofLinear f'' (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g) ?intro.intro.refine_1 ?intro.intro.refine_2
⊢ Function.Bijective ↑f'
[PROOFSTEP]
exact fe.bijective
[GOAL]
case intro.intro.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
⊢ LinearMap.comp f'' (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g) = LinearMap.id
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.cancel_left (ULift.moduleEquiv : ULift.{max v₁ v₃} N ≃ₗ[S] N).symm.injective]
[GOAL]
case intro.intro.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
⊢ LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) (LinearMap.comp f'' (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g)) =
    LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) LinearMap.id
[PROOFSTEP]
refine' (h (ULift.{max v₁ v₃} N) <| ULift.moduleEquiv.symm.toLinearMap.comp f).unique _ rfl
[GOAL]
case intro.intro.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
⊢ LinearMap.comp
      (↑R
        (LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv))
          (LinearMap.comp f'' (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g))))
      f =
    LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) f
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case intro.intro.refine_1.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
x : M
⊢ (↑(LinearMap.comp
            (↑R
              (LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv))
                (LinearMap.comp f'' (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g))))
            f)
        x).down =
    (↑(LinearMap.comp (↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)) f) x).down
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.comp_apply, LinearMap.restrictScalars_apply, hg]
[GOAL]
case intro.intro.refine_1.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
x : M
⊢ (↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv)
        (↑{
              toAddHom :=
                {
                  toFun :=
                    ↑(TensorProduct.lift
                        (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))),
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
                    AddHom.toFun
                        { toFun := ↑f',
                          map_add' :=
                            (_ :
                              ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                                AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) =
                                  AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                        (s • x) =
                      ↑(RingHom.id S) s •
                        AddHom.toFun
                          { toFun := ↑f',
                            map_add' :=
                              (_ :
                                ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                                  AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) =
                                    AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                          x) }
          (↑↑ULift.moduleEquiv (↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x))))).down =
    (↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑f x)).down
[PROOFSTEP]
apply one_smul
[GOAL]
case intro.intro.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
⊢ LinearMap.comp (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g) f'' = LinearMap.id
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case intro.intro.refine_2.a.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
x : M
⊢ ↑(↑(AlgebraTensorModule.curry (LinearMap.comp (LinearMap.comp (↑ULift.moduleEquiv) g) f'')) 1) x =
    ↑(↑(AlgebraTensorModule.curry LinearMap.id) 1) x
[PROOFSTEP]
change (g <| (1 : S) • f x).down = _
[GOAL]
case intro.intro.refine_2.a.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
x : M
⊢ (↑g (1 • ↑f x)).down = ↑(↑(AlgebraTensorModule.curry LinearMap.id) 1) x
[PROOFSTEP]
rw [one_smul, hg]
[GOAL]
case intro.intro.refine_2.a.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
g : N →ₗ[S] ULift (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift (↑R (↑(LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))))) f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N :=
  {
    toAddHom :=
      { toFun := ↑f',
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : S ⊗[R] M),
              AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) },
    map_smul' :=
      (_ :
        ∀ (s : S) (x : S ⊗[R] M),
          AddHom.toFun
              { toFun := ↑f',
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                      AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
              (s • x) =
            ↑(RingHom.id S) s •
              AddHom.toFun
                { toFun := ↑f',
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : S ⊗[R] M),
                        AddHom.toFun f'.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun f'.toAddHom x + AddHom.toFun f'.toAddHom y) }
                x) }
hg : ∀ (x : M), ↑g (↑f x) = ↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)
x : M
⊢ (↑↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) (↑(↑(mk R S M) 1) x)).down = ↑(↑(AlgebraTensorModule.curry LinearMap.id) 1) x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h : IsBaseChange S f
⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
[PROOFSTEP]
intros Q _ _ _ _ g
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module S N
inst✝⁸ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : AddCommMonoid Q✝
inst✝⁴ : Module S Q✝
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module S Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') f = g
[PROOFSTEP]
exact ⟨h.lift g, h.lift_comp g, fun g' e => h.algHom_ext' _ _ (e.trans (h.lift_comp g).symm)⟩
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ IsBaseChange R ↑e
[PROOFSTEP]
apply IsBaseChange.of_lift_unique
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N
⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module R Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') ↑e = g
[PROOFSTEP]
intro Q I₁ I₂ I₃ I₄ g
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') ↑e = g
[PROOFSTEP]
have : I₂ = I₃ := by
  ext r q
  show (by let _ := I₂; exact r • q) = (by let _ := I₃; exact r • q)
  dsimp
  rw [← one_smul R q, smul_smul, ← @smul_assoc _ _ _ (id _) (id _) (id _) I₄, smul_eq_mul, mul_one]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ I₂ = I₃
[PROOFSTEP]
ext r q
[GOAL]
case smul.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ SMul.smul r q = SMul.smul r q
[PROOFSTEP]
show (by let _ := I₂; exact r • q) = (by let _ := I₃; exact r • q)
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ ?m.507040
[PROOFSTEP]
let _ := I₂
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
x✝ : Module R Q := I₂
⊢ ?m.507040
[PROOFSTEP]
exact r • q
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ Q
[PROOFSTEP]
let _ := I₃
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
x✝ : Module R Q := I₃
⊢ Q
[PROOFSTEP]
exact r • q
[GOAL]
case smul.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ (let x := I₂;
    r • q) =
    let x := I₃;
    r • q
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case smul.h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
⊢ r • q = r • q
[PROOFSTEP]
rw [← one_smul R q, smul_smul, ← @smul_assoc _ _ _ (id _) (id _) (id _) I₄, smul_eq_mul, mul_one]
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') ↑e = g
[PROOFSTEP]
cases this
[GOAL]
case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') ↑e = g
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨g.comp e.symm.toLinearMap, by
    ext
    simp, _⟩
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') ↑e = g) (LinearMap.comp g ↑(LinearEquiv.symm e))
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
x✝ : M
⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp g ↑(LinearEquiv.symm e))) ↑e) x✝ = ↑g x✝
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
⊢ ∀ (y : N →ₗ[R] Q), (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') ↑e = g) y → y = LinearMap.comp g ↑(LinearEquiv.symm e)
[PROOFSTEP]
rintro y (rfl : _ = _)
[GOAL]
case h.refl
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
y : N →ₗ[R] Q
⊢ y = LinearMap.comp (LinearMap.comp (↑R y) ↑e) ↑(LinearEquiv.symm e)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.refl.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
y : N →ₗ[R] Q
x✝ : N
⊢ ↑y x✝ = ↑(LinearMap.comp (LinearMap.comp (↑R y) ↑e) ↑(LinearEquiv.symm e)) x✝
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R T
inst✝⁸ : Algebra S T
inst✝⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝⁶ : AddCommMonoid O
inst✝⁵ : Module R O
inst✝⁴ : Module S O
inst✝³ : Module T O
inst✝² : IsScalarTower S T O
inst✝¹ : IsScalarTower R S O
inst✝ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
⊢ IsBaseChange T (LinearMap.comp (↑R g) f)
[PROOFSTEP]
apply IsBaseChange.of_lift_unique
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R T
inst✝⁸ : Algebra S T
inst✝⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝⁶ : AddCommMonoid O
inst✝⁵ : Module R O
inst✝⁴ : Module S O
inst✝³ : Module T O
inst✝² : IsScalarTower S T O
inst✝¹ : IsScalarTower R S O
inst✝ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ u_5 u_4)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module T Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R T Q] (g_1 : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = g_1
[PROOFSTEP]
intro Q _ _ _ _ i
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
[PROOFSTEP]
letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
[PROOFSTEP]
haveI : IsScalarTower S T Q :=
  ⟨fun x y z => by
    rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
    rfl⟩
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
x : S
y : T
z : Q
⊢ (x • y) • z = x • y • z
[PROOFSTEP]
rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
x : S
y : T
z : Q
⊢ ↑(algebraMap S T) x • y • z = x • y • z
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
[PROOFSTEP]
have : IsScalarTower R S Q := by
  refine' ⟨fun x y z => _⟩
  change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
  rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
  rfl
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
⊢ IsScalarTower R S Q
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun x y z => _⟩
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
x : R
y : S
z : Q
⊢ (x • y) • z = x • y • z
[PROOFSTEP]
change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
x : R
y : S
z : Q
⊢ ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • ↑(algebraMap S T) y • z
[PROOFSTEP]
rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
x : R
y : S
z : Q
⊢ x • ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S T) y • z = x • ↑(algebraMap S T) y • z
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨hg.lift (hf.lift i), by
    ext
    simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i) (lift hg (lift hf i))
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
x✝ : M
⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (lift hg (lift hf i))) (LinearMap.comp (↑R g) f)) x✝ = ↑i x✝
[PROOFSTEP]
simp [IsBaseChange.lift_eq]
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ ∀ (y : O →ₗ[T] Q), (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i) y → y = lift hg (lift hf i)
[PROOFSTEP]
rintro g' (e : _ = _)
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
⊢ g' = lift hg (lift hf i)
[PROOFSTEP]
refine' hg.algHom_ext' _ _ (hf.algHom_ext' _ _ _)
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
⊢ LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f = LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S (lift hg (lift hf i))) g)) f
[PROOFSTEP]
rw [IsBaseChange.lift_comp, IsBaseChange.lift_comp, ← e]
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
⊢ LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f = LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i
x✝ : M
⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f) x✝ = ↑(LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f)) x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
⊢ IsPushout R R' S S'
[PROOFSTEP]
let _ := (Algebra.TensorProduct.includeRight : R' →ₐ[R] S ⊗ R').toRingHom.toAlgebra
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
⊢ IsPushout R R' S S'
[PROOFSTEP]
let e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  by
  refine' { (_root_.TensorProduct.comm R R' S).trans <| h.1.equiv.restrictScalars R with map_smul' := _ }
  intro r x
  change h.1.equiv (TensorProduct.comm R R' S (r • x)) = r • h.1.equiv (TensorProduct.comm R R' S x)
  refine TensorProduct.induction_on x ?_ ?_ ?_
  · simp only [smul_zero, map_zero]
  · intro x y
    simp [smul_tmul', Algebra.smul_def, RingHom.algebraMap_toAlgebra, h.1.equiv_tmul]
    ring
  · intro x y hx hy
    rw [map_add, map_add, smul_add, map_add, map_add, hx, hy, smul_add]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
⊢ R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S'
[PROOFSTEP]
refine' { (_root_.TensorProduct.comm R R' S).trans <| h.1.equiv.restrictScalars R with map_smul' := _ }
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
⊢ ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S), AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R') r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x
[PROOFSTEP]
intro r x
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x : R' ⊗[R] S
⊢ AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R') r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x
[PROOFSTEP]
change h.1.equiv (TensorProduct.comm R R' S (r • x)) = r • h.1.equiv (TensorProduct.comm R R' S x)
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x : R' ⊗[R] S
⊢ ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
      (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
    r •
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)
[PROOFSTEP]
refine TensorProduct.induction_on x ?_ ?_ ?_
[GOAL]
case refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x : R' ⊗[R] S
⊢ ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
      (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • 0)) =
    r •
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) 0)
[PROOFSTEP]
simp only [smul_zero, map_zero]
[GOAL]
case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x : R' ⊗[R] S
⊢ ∀ (x : R') (y : S),
    ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x ⊗ₜ[R] y)) =
      r •
        ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
          (↑(TensorProduct.comm R R' S) (x ⊗ₜ[R] y))
[PROOFSTEP]
intro x y
[GOAL]
case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x✝ : R' ⊗[R] S
x : R'
y : S
⊢ ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
      (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x ⊗ₜ[R] y)) =
    r •
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) (x ⊗ₜ[R] y))
[PROOFSTEP]
simp [smul_tmul', Algebra.smul_def, RingHom.algebraMap_toAlgebra, h.1.equiv_tmul]
[GOAL]
case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x✝ : R' ⊗[R] S
x : R'
y : S
⊢ ↑(algebraMap S S') y * (↑(algebraMap R' S') r * ↑(algebraMap R' S') x) =
    ↑(algebraMap R' S') r * (↑(algebraMap S S') y * ↑(algebraMap R' S') x)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x : R' ⊗[R] S
⊢ ∀ (x y : R' ⊗[R] S),
    ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
          (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
        r •
          ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
            (↑(TensorProduct.comm R R' S) x) →
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
            (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • y)) =
          r •
            ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
              (↑(TensorProduct.comm R R' S) y) →
        ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
            (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • (x + y))) =
          r •
            ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
              (↑(TensorProduct.comm R R' S) (x + y))
[PROOFSTEP]
intro x y hx hy
[GOAL]
case refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
src✝ : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R] S' :=
  LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
    (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))))
r : R'
x✝ x y : R' ⊗[R] S
hx :
  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
      (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
    r •
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)
hy :
  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
      (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • y)) =
    r •
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) y)
⊢ ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
      (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • (x + y))) =
    r •
      ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
        (↑(TensorProduct.comm R R' S) (x + y))
[PROOFSTEP]
rw [map_add, map_add, smul_add, map_add, map_add, hx, hy, smul_add]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let src :=
    LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
      (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))));
  {
    toLinearMap :=
      { toAddHom := src.toAddHom,
        map_smul' :=
          (_ :
            ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S),
              ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                  (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
                r •
                  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                    (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)) },
    invFun := src.invFun, left_inv := (_ : Function.LeftInverse src.invFun src.toFun),
    right_inv := (_ : Function.RightInverse src.invFun src.toFun) }
⊢ IsPushout R R' S S'
[PROOFSTEP]
have : (toAlgHom R S S').toLinearMap = (e.toLinearMap.restrictScalars R).comp (TensorProduct.mk R R' S 1) :=
  by
  ext
  simp [h.1.equiv_tmul, Algebra.smul_def]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let src :=
    LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
      (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))));
  {
    toLinearMap :=
      { toAddHom := src.toAddHom,
        map_smul' :=
          (_ :
            ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S),
              ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                  (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
                r •
                  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                    (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)) },
    invFun := src.invFun, left_inv := (_ : Function.LeftInverse src.invFun src.toFun),
    right_inv := (_ : Function.RightInverse src.invFun src.toFun) }
⊢ AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R S S') = LinearMap.comp (↑R ↑e) (↑(TensorProduct.mk R R' S) 1)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let src :=
    LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
      (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))));
  {
    toLinearMap :=
      { toAddHom := src.toAddHom,
        map_smul' :=
          (_ :
            ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S),
              ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                  (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
                r •
                  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                    (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)) },
    invFun := src.invFun, left_inv := (_ : Function.LeftInverse src.invFun src.toFun),
    right_inv := (_ : Function.RightInverse src.invFun src.toFun) }
x✝ : S
⊢ ↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R S S')) x✝ = ↑(LinearMap.comp (↑R ↑e) (↑(TensorProduct.mk R R' S) 1)) x✝
[PROOFSTEP]
simp [h.1.equiv_tmul, Algebra.smul_def]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let src :=
    LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
      (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))));
  {
    toLinearMap :=
      { toAddHom := src.toAddHom,
        map_smul' :=
          (_ :
            ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S),
              ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                  (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
                r •
                  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                    (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)) },
    invFun := src.invFun, left_inv := (_ : Function.LeftInverse src.invFun src.toFun),
    right_inv := (_ : Function.RightInverse src.invFun src.toFun) }
this : AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R S S') = LinearMap.comp (↑R ↑e) (↑(TensorProduct.mk R R' S) 1)
⊢ IsPushout R R' S S'
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case out
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let src :=
    LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
      (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))));
  {
    toLinearMap :=
      { toAddHom := src.toAddHom,
        map_smul' :=
          (_ :
            ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S),
              ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                  (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
                r •
                  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                    (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)) },
    invFun := src.invFun, left_inv := (_ : Function.LeftInverse src.invFun src.toFun),
    right_inv := (_ : Function.RightInverse src.invFun src.toFun) }
this : AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R S S') = LinearMap.comp (↑R ↑e) (↑(TensorProduct.mk R R' S) 1)
⊢ IsBaseChange R' (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R S S'))
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case out
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommRing R
inst✝²⁸ : CommRing S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := RingHom.toAlgebra ↑TensorProduct.includeRight
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let src :=
    LinearEquiv.trans (_root_.TensorProduct.comm R R' S)
      (LinearEquiv.restrictScalars R (IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))));
  {
    toLinearMap :=
      { toAddHom := src.toAddHom,
        map_smul' :=
          (_ :
            ∀ (r : R') (x : R' ⊗[R] S),
              ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                  (↑(TensorProduct.comm R R' S) (r • x)) =
                r •
                  ↑(IsBaseChange.equiv (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))))
                    (↑(TensorProduct.comm R R' S) x)) },
    invFun := src.invFun, left_inv := (_ : Function.LeftInverse src.invFun src.toFun),
    right_inv := (_ : Function.RightInverse src.invFun src.toFun) }
this : AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R S S') = LinearMap.comp (↑R ↑e) (↑(TensorProduct.mk R R' S) 1)
⊢ IsBaseChange R' (LinearMap.comp (↑R ↑e) (↑(TensorProduct.mk R R' S) 1))
[PROOFSTEP]
exact (TensorProduct.isBaseChange R S R').comp (IsBaseChange.ofEquiv e)
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
⊢ S' →ₐ[R] A
[PROOFSTEP]
letI := Module.compHom A f.toRingHom
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
⊢ S' →ₐ[R] A
[PROOFSTEP]
haveI : IsScalarTower R S A :=
  { smul_assoc := fun r s a => show f (r • s) * a = r • (f s * a) by rw [f.map_smul, smul_mul_assoc] }
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
r : R
s : S
a : A
⊢ ↑f (r • s) * a = r • (↑f s * a)
[PROOFSTEP]
rw [f.map_smul, smul_mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this : IsScalarTower R S A
⊢ S' →ₐ[R] A
[PROOFSTEP]
haveI : IsScalarTower S A A := { smul_assoc := fun r a b => mul_assoc _ _ _ }
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ S' →ₐ[R] A
[PROOFSTEP]
have : ∀ x, H.out.lift g.toLinearMap (algebraMap R' S' x) = g x := H.out.lift_eq _
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
⊢ S' →ₐ[R] A
[PROOFSTEP]
refine' AlgHom.ofLinearMap ((H.out.lift g.toLinearMap).restrictScalars R) _ _
[GOAL]
case refine'_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
⊢ ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) 1 = 1
[PROOFSTEP]
dsimp only [LinearMap.restrictScalars_apply]
[GOAL]
case refine'_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) 1 = 1
[PROOFSTEP]
rw [← (algebraMap R' S').map_one, this, g.map_one]
[GOAL]
case refine'_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
⊢ ∀ (x y : S'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
        (x * y) =
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) x *
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
intro x y
[GOAL]
case refine'_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (x * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) x *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
refine H.out.inductionOn x ?_ ?_ ?_ ?_
[GOAL]
case refine'_2.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (0 * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) 0 *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul, map_zero, zero_mul]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ∀ (m : R'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
        (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m * y) =
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m) *
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
case refine'_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ∀ (s : S) (n : S'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (n * y) =
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            n *
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            y →
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (s • n * y) =
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            (s • n) *
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            y
case refine'_2.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ∀ (n₁ n₂ : S'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (n₁ * y) =
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            n₁ *
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            y →
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            (n₂ * y) =
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
              n₂ *
            ↑(↑R
                  (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))
                    (AlgHom.toLinearMap g)))
              y →
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            ((n₁ + n₂) * y) =
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
              (n₁ + n₂) *
            ↑(↑R
                  (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))
                    (AlgHom.toLinearMap g)))
              y
[PROOFSTEP]
rotate_left
[GOAL]
case refine'_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ∀ (s : S) (n : S'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (n * y) =
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            n *
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            y →
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (s • n * y) =
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            (s • n) *
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            y
[PROOFSTEP]
intro s s' e
[GOAL]
case refine'_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
s : S
s' : S'
e :
  ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (s' * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) s' *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
⊢ ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (s • s' * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
        (s • s') *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
dsimp only [LinearMap.restrictScalars_apply] at e ⊢
[GOAL]
case refine'_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
s : S
s' : S'
e :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s' * y) =
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s' *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (s • s' * y) =
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s • s') *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.map_smul, smul_mul_assoc, LinearMap.map_smul, e, smul_mul_assoc]
[GOAL]
case refine'_2.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ∀ (n₁ n₂ : S'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (n₁ * y) =
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            n₁ *
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            y →
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            (n₂ * y) =
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
              n₂ *
            ↑(↑R
                  (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))
                    (AlgHom.toLinearMap g)))
              y →
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
            ((n₁ + n₂) * y) =
          ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
              (n₁ + n₂) *
            ↑(↑R
                  (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')))
                    (AlgHom.toLinearMap g)))
              y
[PROOFSTEP]
intro s s' e₁ e₂
[GOAL]
case refine'_2.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y s s' : S'
e₁ :
  ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (s * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) s *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
e₂ :
  ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (s' * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) s' *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
⊢ ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      ((s + s') * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
        (s + s') *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
dsimp only [LinearMap.restrictScalars_apply] at e₁ e₂ ⊢
[GOAL]
case refine'_2.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y s s' : S'
e₁ :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s * y) =
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
e₂ :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s' * y) =
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s' *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      ((s + s') * y) =
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s + s') *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
[PROOFSTEP]
rw [add_mul, map_add, map_add, add_mul, e₁, e₂]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x y : S'
⊢ ∀ (m : R'),
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
        (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m * y) =
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
          (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m) *
        ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case refine'_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
      (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) x * y) =
    ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)))
        (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) x) *
      ↑(↑R (IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))) y
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case refine'_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * y) =
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * y) =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) y
[PROOFSTEP]
refine H.out.inductionOn y ?_ ?_ ?_ ?_
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * 0) =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) 0
[PROOFSTEP]
rw [mul_zero, map_zero, mul_zero]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ∀ (m : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x * ↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m) =
      ↑g x *
        ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
          (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m)
[PROOFSTEP]
intro y
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y✝ : S'
x y : R'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * ↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) y) =
    ↑g x *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) y)
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y✝ : S'
x y : R'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * ↑(algebraMap R' S') y) =
    ↑g x *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') y)
[PROOFSTEP]
rw [← _root_.map_mul, this, this, _root_.map_mul]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ∀ (s : S) (n : S'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
          (↑(algebraMap R' S') x * n) =
        ↑g x *
          ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) n →
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
          (↑(algebraMap R' S') x * s • n) =
        ↑g x *
          ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
            (s • n)
[PROOFSTEP]
intro s s' e
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
s : S
s' : S'
e :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * s') =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * s • s') =
    ↑g x *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s • s')
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, smul_mul_assoc, LinearMap.map_smul, LinearMap.map_smul, mul_comm, e]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
s : S
s' : S'
e :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * s') =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s'
⊢ s •
      (↑g x *
        ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s') =
    ↑g x *
      s • ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s'
[PROOFSTEP]
change f s * (g x * _) = g x * (f s * _)
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
s : S
s' : S'
e :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * s') =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s'
⊢ ↑f s *
      (↑g x *
        ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s') =
    ↑g x *
      (↑f s *
        ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s')
[PROOFSTEP]
rw [← mul_assoc, ← mul_assoc, hf]
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
⊢ ∀ (n₁ n₂ : S'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
          (↑(algebraMap R' S') x * n₁) =
        ↑g x *
          ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) n₁ →
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
            (↑(algebraMap R' S') x * n₂) =
          ↑g x *
            ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
              n₂ →
        ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
            (↑(algebraMap R' S') x * (n₁ + n₂)) =
          ↑g x *
            ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
              (n₁ + n₂)
[PROOFSTEP]
intro s s' e₁ e₂
[GOAL]
case refine'_2.refine_2.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this :
  ∀ (x : R'),
    ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
        (↑(algebraMap R' S') x) =
      ↑g x
x✝ y : S'
x : R'
s s' : S'
e₁ :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * s) =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s
e₂ :
  ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * s') =
    ↑g x * ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) s'
⊢ ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g))
      (↑(algebraMap R' S') x * (s + s')) =
    ↑g x *
      ↑(IsBaseChange.lift (_ : IsBaseChange S (AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S'))) (AlgHom.toLinearMap g)) (s + s')
[PROOFSTEP]
rw [mul_add, map_add, map_add, mul_add, e₁, e₂]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
s : S'
⊢ Sort ?u.1234081
[PROOFSTEP]
letI := Module.compHom A f.toRingHom
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
s : S'
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
⊢ Sort ?u.1234081
[PROOFSTEP]
haveI : IsScalarTower R S A :=
  { smul_assoc := fun r s a => show f (r • s) * a = r • (f s * a) by rw [f.map_smul, smul_mul_assoc] }
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
s✝ : S'
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
r : R
s : S
a : A
⊢ ↑f (r • s) * a = r • (↑f s * a)
[PROOFSTEP]
rw [f.map_smul, smul_mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
s : S'
this✝ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this : IsScalarTower R S A
⊢ Sort ?u.1234081
[PROOFSTEP]
exact Algebra.pushoutDesc S' f g hf s = H.out.lift g.toLinearMap s
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
[PROOFSTEP]
letI := Module.compHom A f.toRingHom
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
[PROOFSTEP]
haveI : IsScalarTower R S A :=
  { smul_assoc := fun r s a => show f (r • s) * a = r • (f s * a) by rw [f.map_smul, smul_mul_assoc] }
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
r : R
s : S
a : A
⊢ ↑f (r • s) * a = r • (↑f s * a)
[PROOFSTEP]
rw [f.map_smul, smul_mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this : IsScalarTower R S A
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
[PROOFSTEP]
haveI : IsScalarTower S A A := { smul_assoc := fun r a b => mul_assoc _ _ _ }
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
[PROOFSTEP]
rw [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, pushoutDesc_apply, map_smul, ← Algebra.pushoutDesc_apply S' f g H, _root_.map_one]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ x • 1 = ↑f x
[PROOFSTEP]
exact mul_one (f x)
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : R'
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
r : R
s : S
a : A
⊢ ↑f (r • s) * a = r • (↑f s * a)
[PROOFSTEP]
rw [f.map_smul, smul_mul_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
⊢ f = g
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case H
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ↑f x = ↑g x
[PROOFSTEP]
refine H.1.inductionOn x ?_ ?_ ?_ ?_
[GOAL]
case H.refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ↑f 0 = ↑g 0
[PROOFSTEP]
simp only [map_zero]
[GOAL]
case H.refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ∀ (m : R'), ↑f (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m) = ↑g (↑(AlgHom.toLinearMap (toAlgHom R R' S')) m)
[PROOFSTEP]
exact AlgHom.congr_fun h₁
[GOAL]
case H.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ∀ (s : S) (n : S'), ↑f n = ↑g n → ↑f (s • n) = ↑g (s • n)
[PROOFSTEP]
intro s s' e
[GOAL]
case H.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
s : S
s' : S'
e : ↑f s' = ↑g s'
⊢ ↑f (s • s') = ↑g (s • s')
[PROOFSTEP]
rw [Algebra.smul_def, f.map_mul, g.map_mul, e]
[GOAL]
case H.refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
s : S
s' : S'
e : ↑f s' = ↑g s'
⊢ ↑f (↑(algebraMap S S') s) * ↑g s' = ↑g (↑(algebraMap S S') s) * ↑g s'
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case H.refine_3.e_a
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
s : S
s' : S'
e : ↑f s' = ↑g s'
⊢ ↑f (↑(algebraMap S S') s) = ↑g (↑(algebraMap S S') s)
[PROOFSTEP]
exact (AlgHom.congr_fun h₂ s : _)
[GOAL]
case H.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x : S'
⊢ ∀ (n₁ n₂ : S'), ↑f n₁ = ↑g n₁ → ↑f n₂ = ↑g n₂ → ↑f (n₁ + n₂) = ↑g (n₁ + n₂)
[PROOFSTEP]
intro s₁ s₂ e₁ e₂
[GOAL]
case H.refine_4
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : S' →ₐ[R] A
h₁ : AlgHom.comp f (toAlgHom R R' S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R R' S')
h₂ : AlgHom.comp f (toAlgHom R S S') = AlgHom.comp g (toAlgHom R S S')
x s₁ s₂ : S'
e₁ : ↑f s₁ = ↑g s₁
e₂ : ↑f s₂ = ↑g s₂
⊢ ↑f (s₁ + s₂) = ↑g (s₁ + s₂)
[PROOFSTEP]
rw [map_add, map_add, e₁, e₂]