[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α
⊢ toIcoMod hp 0 b ∈ Set.Ico 0 p
[PROOFSTEP]
convert toIcoMod_mem_Ico hp 0 b
[GOAL]
case h.e'_5.h.e'_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α
⊢ p = 0 + p
[PROOFSTEP]
exact (zero_add p).symm
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b • p - b = -toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, neg_sub]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p - b = -toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod, neg_sub]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b - b = -toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, sub_sub_cancel_left, neg_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b - b = -toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod, sub_sub_cancel_left, neg_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ b - toIcoMod hp a b = toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, sub_sub_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ b - toIocMod hp a b = toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod, sub_sub_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b + toIcoDiv hp a b • p = b
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, sub_add_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p = b
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod, sub_add_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b • p + toIcoMod hp a b = b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p + toIocMod hp a b = b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocMod_add_toIocDiv_zsmul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => ⟨h ▸ toIcoMod_mem_Ico hp a b, toIcoDiv hp a b, h ▸ (toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul _ _ _).symm⟩, _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIcoMod hp a b = c
[PROOFSTEP]
simp_rw [← @sub_eq_iff_eq_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b - z • p = c) → toIcoMod hp a b = c
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hc, n, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n✝ n : ℤ
hc : b - n • p ∈ Set.Ico a (a + p)
⊢ toIcoMod hp a b = b - n • p
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ico hp hc, toIcoMod]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIocMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => ⟨h ▸ toIocMod_mem_Ioc hp a b, toIocDiv hp a b, h ▸ (toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp _ _).symm⟩, _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIocMod hp a b = c
[PROOFSTEP]
simp_rw [← @sub_eq_iff_eq_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (c ∈ Set.Ioc a (a + p) ∧ ∃ z, b - z • p = c) → toIocMod hp a b = c
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hc, n, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
n✝ n : ℤ
hc : b - n • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
⊢ toIocMod hp a b = b - n • p
[PROOFSTEP]
rw [← toIocDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ioc hp hc, toIocMod]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a - 0 • p ∈ Set.Ico a (a + p)
[PROOFSTEP]
simp [hp]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a - -1 • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
[PROOFSTEP]
simp [hp]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIcoMod hp a a = a
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_eq_iff hp, Set.left_mem_Ico]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a = a + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨lt_add_of_pos_right _ hp, 0, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a = a + 0 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIocMod hp a a = a + p
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod_eq_iff hp, Set.right_mem_Ioc]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a = a + p + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨lt_add_of_pos_right _ hp, -1, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a = a + p + -1 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a + p - 1 • p ∈ Set.Ico a (a + p)
[PROOFSTEP]
simp [hp]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a + p - 0 • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
[PROOFSTEP]
simp [hp]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIcoMod hp a (a + p) = a
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_eq_iff hp, Set.left_mem_Ico]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a + p = a + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨lt_add_of_pos_right _ hp, 1, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a + p = a + 1 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ toIocMod hp a (a + p) = a + p
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod_eq_iff hp, Set.right_mem_Ioc]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a + p = a + p + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨lt_add_of_pos_right _ hp, 0, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
⊢ a + p = a + p + 0 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIcoDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ico a (a + p)
[PROOFSTEP]
simpa only [add_smul, add_sub_add_right_eq_sub] using sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp a b
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp (a + m • p) b = toIcoDiv hp a b - m
[PROOFSTEP]
refine' toIcoDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ico _ _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - (toIcoDiv hp a b - m) • p ∈ Set.Ico (a + m • p) (a + m • p + p)
[PROOFSTEP]
rw [sub_smul, ← sub_add, add_right_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - toIcoDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ico (a + m • p) (a + p + m • p)
[PROOFSTEP]
simpa using sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp a b
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIocDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
[PROOFSTEP]
simpa only [add_smul, add_sub_add_right_eq_sub] using sub_toIocDiv_zsmul_mem_Ioc hp a b
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp (a + m • p) b = toIocDiv hp a b - m
[PROOFSTEP]
refine' toIocDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ioc _ _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - (toIocDiv hp a b - m) • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + m • p + p)
[PROOFSTEP]
rw [sub_smul, ← sub_add, add_right_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b - toIocDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + p + m • p)
[PROOFSTEP]
simpa using sub_toIocDiv_zsmul_mem_Ioc hp a b
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (m • p + b) = m + toIcoDiv hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoDiv_add_zsmul, add_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (m • p + b) = m + toIocDiv hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocDiv_add_zsmul, add_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp a (b - m • p) = toIcoDiv hp a b - m
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIcoDiv_add_zsmul, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoDiv hp (a - m • p) b = toIcoDiv hp a b + m
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIcoDiv_add_zsmul', sub_neg_eq_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp a (b - m • p) = toIocDiv hp a b - m
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIocDiv_add_zsmul, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocDiv hp (a - m • p) b = toIocDiv hp a b + m
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIocDiv_add_zsmul', sub_neg_eq_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (b + p) = toIcoDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoDiv_add_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (a + p) b = toIcoDiv hp a b - 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoDiv_add_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (b + p) = toIocDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocDiv_add_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (a + p) b = toIocDiv hp a b - 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocDiv_add_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (p + b) = toIcoDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoDiv_add_right]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (p + a) b = toIcoDiv hp a b - 1
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoDiv_add_right']
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (p + b) = toIocDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocDiv_add_right]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (p + a) b = toIocDiv hp a b - 1
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocDiv_add_right']
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (b - p) = toIcoDiv hp a b - 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoDiv_sub_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (a - p) b = toIcoDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoDiv_sub_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (b - p) = toIocDiv hp a b - 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocDiv_sub_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (a - p) b = toIocDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocDiv_sub_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoDiv hp a (b - c) = toIcoDiv hp (a + c) b
[PROOFSTEP]
apply toIcoDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ico
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - c - toIcoDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ico a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_right_comm, Set.sub_mem_Ico_iff_left, add_right_comm]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - toIcoDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ico (a + c) (a + c + p)
[PROOFSTEP]
exact sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp (a + c) b
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b
[PROOFSTEP]
apply toIocDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ioc
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - c - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_right_comm, Set.sub_mem_Ioc_iff_left, add_right_comm]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ b - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc (a + c) (a + c + p)
[PROOFSTEP]
exact sub_toIocDiv_zsmul_mem_Ioc hp (a + c) b
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoDiv hp (a - c) b = toIcoDiv hp a (b + c)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_neg_eq_add, toIcoDiv_sub_eq_toIcoDiv_add, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocDiv hp (a - c) b = toIocDiv hp a (b + c)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_neg_eq_add, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -(toIocDiv hp (-a) b + 1)
[PROOFSTEP]
suffices toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b by
  rwa [neg_add, ← sub_eq_add_neg, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add', toIocDiv_add_right] at this
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
this : toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -(toIocDiv hp (-a) b + 1)
[PROOFSTEP]
rwa [neg_add, ← sub_eq_add_neg, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add', toIocDiv_add_right] at this
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b
[PROOFSTEP]
rw [← neg_eq_iff_eq_neg, eq_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (-(a + p)) b = -toIcoDiv hp a (-b)
[PROOFSTEP]
apply toIocDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ioc
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨hc, ho⟩ := sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp a (-b)
[GOAL]
case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
ho : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_lt_neg_iff, neg_sub' (-b), neg_neg, ← neg_smul] at ho
[GOAL]
case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
ho✝ : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_le_neg_iff, neg_sub' (-b), neg_neg, ← neg_smul] at hc
[GOAL]
case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc✝ : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a
ho✝ : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨ho, hc.trans_eq _⟩
[GOAL]
case h.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
hc✝ : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p
hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a
ho✝ : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p
ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p
⊢ -a = -(a + p) + p
[PROOFSTEP]
rw [neg_add, neg_add_cancel_right]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp (-a) b = -(toIocDiv hp a (-b) + 1)
[PROOFSTEP]
simpa only [neg_neg] using toIcoDiv_neg hp (-a) (-b)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a (-b) = -(toIcoDiv hp (-a) b + 1)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_neg b, toIcoDiv_neg, neg_neg, neg_neg, neg_add', neg_neg, add_sub_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp (-a) b = -(toIcoDiv hp a (-b) + 1)
[PROOFSTEP]
simpa only [neg_neg] using toIocDiv_neg hp (-a) (-b)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (b + m • p) = toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, toIcoDiv_add_zsmul, toIcoMod, add_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIcoDiv hp a b • p + m • p) = b - toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIcoDiv hp a b • p + m • p) = b - toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (a + m • p) b = toIcoMod hp a b + m • p
[PROOFSTEP]
simp only [toIcoMod, toIcoDiv_add_zsmul', sub_smul, sub_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (b + m • p) = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod, toIocDiv_add_zsmul, toIocMod, add_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIocDiv hp a b • p + m • p) = b - toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ b + m • p - (toIocDiv hp a b • p + m • p) = b - toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (a + m • p) b = toIocMod hp a b + m • p
[PROOFSTEP]
simp only [toIocMod, toIocDiv_add_zsmul', sub_smul, sub_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (m • p + b) = toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoMod_add_zsmul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (m • p + a) b = m • p + toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoMod_add_zsmul', add_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (m • p + b) = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocMod_add_zsmul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (m • p + a) b = m • p + toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocMod_add_zsmul', add_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (b - m • p) = toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIcoMod_add_zsmul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (a - m • p) b = toIcoMod hp a b - m • p
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIcoMod_add_zsmul']
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp a (b - m • p) = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIocMod_add_zsmul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIocMod hp (a - m • p) b = toIocMod hp a b - m • p
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, toIocMod_add_zsmul']
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (b + p) = toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoMod_add_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (a + p) b = toIcoMod hp a b + p
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoMod_add_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (b + p) = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocMod_add_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (a + p) b = toIocMod hp a b + p
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocMod_add_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (p + b) = toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoMod_add_right]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (p + a) b = p + toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIcoMod_add_right', add_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (p + b) = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocMod_add_right]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (p + a) b = p + toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, toIocMod_add_right', add_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (b - p) = toIcoMod hp a b
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoMod_sub_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (a - p) b = toIcoMod hp a b - p
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIcoMod_sub_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (b - p) = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocMod_sub_zsmul hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (a - p) b = toIocMod hp a b - p
[PROOFSTEP]
simpa only [one_zsmul] using toIocMod_sub_zsmul' hp a b 1
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a (b - c) = toIcoMod hp (a + c) b - c
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIcoMod, toIcoDiv_sub_eq_toIcoDiv_add, sub_right_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocMod hp a (b - c) = toIocMod hp (a + c) b - c
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIocMod, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add, sub_right_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoMod hp a (b + c) = toIcoMod hp (a - c) b + c
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIcoMod, toIcoDiv_sub_eq_toIcoDiv_add', sub_add_eq_add_sub]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIocMod hp a (b + c) = toIocMod hp (a - c) b + c
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIocMod, toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add', sub_add_eq_add_sub]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a (-b) = p - toIocMod hp (-a) b
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIcoMod, toIocMod, toIcoDiv_neg, neg_smul, add_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ -b - -(toIocDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIocDiv hp (-a) b • p)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ -b - -(toIocDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIocDiv hp (-a) b • p)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)
[PROOFSTEP]
simpa only [neg_neg] using toIcoMod_neg hp (-a) (-b)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a (-b) = p - toIcoMod hp (-a) b
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIocMod, toIcoMod, toIocDiv_neg, neg_smul, add_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ -b - -(toIcoDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIcoDiv hp (-a) b • p)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ -b - -(toIcoDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIcoDiv hp (-a) b • p)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp (-a) b = p - toIcoMod hp a (-b)
[PROOFSTEP]
simpa only [neg_neg] using toIocMod_neg hp (-a) (-b)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c ↔ ∃ n, c - b = n • p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => ⟨toIcoDiv hp a c - toIcoDiv hp a b, _⟩, fun h => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
⊢ c - b = (toIcoDiv hp a c - toIcoDiv hp a b) • p
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, ← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
| c - b
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, ← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
| c - b
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, ← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
| c - b
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, ← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
⊢ toIcoMod hp a c + toIcoDiv hp a c • p - (toIcoMod hp a b + toIcoDiv hp a b • p) =
    (toIcoDiv hp a c - toIcoDiv hp a b) • p
[PROOFSTEP]
rw [h, sub_smul]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
⊢ toIcoMod hp a c + toIcoDiv hp a c • p - (toIcoMod hp a c + toIcoDiv hp a b • p) =
    toIcoDiv hp a c • p - toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
⊢ toIcoMod hp a c + toIcoDiv hp a c • p - (toIcoMod hp a c + toIcoDiv hp a b • p) =
    toIcoDiv hp a c • p - toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : ∃ n, c - b = n • p
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨z, hz⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n z : ℤ
hz : c - b = z • p
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_iff_eq_add] at hz
[GOAL]
case refine'_2.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n z : ℤ
hz : c = z • p + b
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp a c
[PROOFSTEP]
rw [hz, toIcoMod_zsmul_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c ↔ ∃ n, c - b = n • p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => ⟨toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b, _⟩, fun h => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
⊢ c - b = (toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b) • p
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a b, ← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
| c - b
[PROOFSTEP]
rw [← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a b, ← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
| c - b
[PROOFSTEP]
rw [← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a b, ← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
| c - b
[PROOFSTEP]
rw [← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a b, ← toIocMod_add_toIocDiv_zsmul hp a c]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a b + toIocDiv hp a b • p) =
    (toIocDiv hp a c - toIocDiv hp a b) • p
[PROOFSTEP]
rw [h, sub_smul]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a c + toIocDiv hp a b • p) =
    toIocDiv hp a c • p - toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
⊢ toIocMod hp a c + toIocDiv hp a c • p - (toIocMod hp a c + toIocDiv hp a b • p) =
    toIocDiv hp a c • p - toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : ∃ n, c - b = n • p
⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨z, hz⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n z : ℤ
hz : c - b = z • p
⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_iff_eq_add] at hz
[GOAL]
case refine'_2.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n z : ℤ
hz : c = z • p + b
⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp a c
[PROOFSTEP]
rw [hz, toIocMod_zsmul_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (∃ z, b = a + z • p) → toIcoMod hp a b = a
[PROOFSTEP]
rintro ⟨n, rfl⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a c : α
n✝ n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a (a + n • p) = a
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_add_zsmul, toIcoMod_apply_left]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p
[PROOFSTEP]
refine' modEq_iff_eq_add_zsmul.trans ⟨_, fun h => ⟨toIocDiv hp a b + 1, _⟩⟩
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (∃ z, b = a + z • p) → toIocMod hp a b = a + p
[PROOFSTEP]
rintro ⟨z, rfl⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a c : α
n z : ℤ
⊢ toIocMod hp a (a + z • p) = a + p
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod_add_zsmul, toIocMod_apply_left]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = a + p
⊢ b = a + (toIocDiv hp a b + 1) • p
[PROOFSTEP]
rwa [add_one_zsmul, add_left_comm, ← sub_eq_iff_eq_add']
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ TFAE
    [a ≡ b [PMOD p], ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b]
[PROOFSTEP]
rw [modEq_iff_toIcoMod_eq_left hp]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ TFAE
    [toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b]
[PROOFSTEP]
tfae_have 3 → 2
[GOAL]
case tfae_3_to_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [← not_exists, not_imp_not]
[GOAL]
case tfae_3_to_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
exact fun ⟨i, hi⟩ =>
  ((toIcoMod_eq_iff hp).2 ⟨Set.Ioo_subset_Ico_self hi, i, (sub_add_cancel b _).symm⟩).trans
    ((toIocMod_eq_iff hp).2 ⟨Set.Ioo_subset_Ioc_self hi, i, (sub_add_cancel b _).symm⟩).symm
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
⊢ TFAE
    [toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b]
[PROOFSTEP]
tfae_have 4 → 3
[GOAL]
case tfae_4_to_3
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
⊢ toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case tfae_4_to_3
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
h : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [← h, Ne, eq_comm, add_right_eq_self]
[GOAL]
case tfae_4_to_3
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
h : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ ¬p = 0
[PROOFSTEP]
exact hp.ne'
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
⊢ TFAE
    [toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b]
[PROOFSTEP]
tfae_have 1 → 4
[GOAL]
case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
⊢ toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [h, eq_comm, toIocMod_eq_iff, Set.right_mem_Ioc]
[GOAL]
case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, b = a + p + z • p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨lt_add_of_pos_right a hp, toIcoDiv hp a b - 1, _⟩
[GOAL]
case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ b = a + p + (toIcoDiv hp a b - 1) • p
[PROOFSTEP]
rw [sub_one_zsmul, add_add_add_comm, add_right_neg, add_zero]
[GOAL]
case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ b = a + toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, h]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
| b
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, h]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
| b
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, h]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
| b
[PROOFSTEP]
rw [← toIcoMod_add_toIcoDiv_zsmul hp a b, h]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ TFAE
    [toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b]
[PROOFSTEP]
tfae_have 2 → 1
[GOAL]
case tfae_2_to_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ (∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = a
[PROOFSTEP]
rw [← not_exists, not_imp_comm]
[GOAL]
case tfae_2_to_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ ¬toIcoMod hp a b = a → ∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
[PROOFSTEP]
have h' := toIcoMod_mem_Ico hp a b
[GOAL]
case tfae_2_to_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
h' : toIcoMod hp a b ∈ Set.Ico a (a + p)
⊢ ¬toIcoMod hp a b = a → ∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
[PROOFSTEP]
exact fun h => ⟨_, h'.1.lt_of_ne' h, h'.2⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
tfae_2_to_1 : (∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = a
⊢ TFAE
    [toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), ¬b - z • p ∈ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b]
[PROOFSTEP]
tfae_finish
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b
[PROOFSTEP]
rw [not_modEq_iff_toIcoMod_eq_toIocMod hp, toIcoMod, toIocMod, sub_right_inj,
  (zsmul_strictMono_left hp).injective.eq_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
rw [modEq_iff_toIcoMod_add_period_eq_toIocMod hp, toIcoMod, toIocMod, ← eq_sub_iff_add_eq, sub_sub, sub_right_inj, ←
  add_one_zsmul, (zsmul_strictMono_left hp).injective.eq_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c✝ : α
n : ℤ
c : α
⊢ toIcoMod hp c a = toIcoMod hp c b ↔ a ≡ b [PMOD p]
[PROOFSTEP]
simp_rw [toIcoMod_eq_toIcoMod, modEq_iff_eq_add_zsmul, sub_eq_iff_eq_add']
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ {b | toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b} = ⋃ (z : ℤ), Set.Ioo (a + z • p) (a + p + z • p)
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ {b | toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b} ↔ x✝ ∈ ⋃ (z : ℤ), Set.Ioo (a + z • p) (a + p + z • p)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_setOf, Set.mem_iUnion, ← Set.sub_mem_Ioo_iff_left, ← not_modEq_iff_toIcoMod_eq_toIocMod,
  modEq_iff_not_forall_mem_Ioo_mod hp, not_forall, Classical.not_not]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
[PROOFSTEP]
suffices toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b by
  rwa [wcovby_iff_eq_or_covby, ← Order.succ_eq_iff_covby]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
this : toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b
⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
[PROOFSTEP]
rwa [wcovby_iff_eq_or_covby, ← Order.succ_eq_iff_covby]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← not_modEq_iff_toIcoDiv_eq_toIocDiv, eq_comm, ← modEq_iff_toIcoDiv_eq_toIocDiv_add_one]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ b [PMOD p]
[PROOFSTEP]
exact em' _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a b
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, toIocMod, sub_le_sub_iff_left]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p ≤ toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
exact zsmul_mono_left hp.le (toIocDiv_wcovby_toIcoDiv _ _ _).le
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b ≤ toIcoMod hp a b + p
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, toIocMod, sub_add, sub_le_sub_iff_left, sub_le_iff_le_add, ← add_one_zsmul,
  (zsmul_strictMono_left hp).le_iff_le]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b ≤ toIocDiv hp a b + 1
[PROOFSTEP]
apply (toIocDiv_wcovby_toIcoDiv _ _ _).le_succ
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ico a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_eq_iff, and_iff_left]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ ∃ z, b = b + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨0, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ b = b + 0 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIocMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ioc a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod_eq_iff, and_iff_left]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ ∃ z, b = b + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨0, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ b = b + 0 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) = p - toIocMod hp 0 (b - a)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_sub, toIcoMod_neg, neg_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp 0 (a - b) = p - toIcoMod hp 0 (b - a)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_sub, toIocMod_neg, neg_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b = toIcoDiv hp 0 (b - a)
[PROOFSTEP]
rw [toIcoDiv_sub_eq_toIcoDiv_add, zero_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = toIocDiv hp 0 (b - a)
[PROOFSTEP]
rw [toIocDiv_sub_eq_toIocDiv_add, zero_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b = toIcoMod hp 0 (b - a) + a
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_sub_eq_sub, zero_add, sub_add_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp 0 (b - a) + a
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod_sub_eq_sub, zero_add, sub_add_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a) = p
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_zero_sub_comm, sub_add_cancel]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) = p
[PROOFSTEP]
rw [_root_.add_comm, toIcoMod_add_toIocMod_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a : α
b : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
⊢ (fun x => ↑↑x)
      ((fun b =>
          { val := Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIcoMod hp a) p) b,
            property := (_ : Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIcoMod hp a) p) b ∈ Set.Ico a (a + p)) })
        b) =
    b
[PROOFSTEP]
induction b using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ (fun x => ↑↑x)
      ((fun b =>
          { val := Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIcoMod hp a) p) b,
            property := (_ : Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIcoMod hp a) p) b ∈ Set.Ico a (a + p)) })
        ↑z✝) =
    ↑z✝
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ ↑(toIcoMod hp a z✝) = ↑z✝
[PROOFSTEP]
rw [QuotientAddGroup.eq_iff_sub_mem, toIcoMod_sub_self]
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ -toIcoDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
[PROOFSTEP]
apply AddSubgroup.zsmul_mem_zmultiples
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a : α
b : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
⊢ (fun x => ↑↑x)
      ((fun b =>
          { val := Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIocMod hp a) p) b,
            property := (_ : Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIocMod hp a) p) b ∈ Set.Ioc a (a + p)) })
        b) =
    b
[PROOFSTEP]
induction b using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ (fun x => ↑↑x)
      ((fun b =>
          { val := Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIocMod hp a) p) b,
            property := (_ : Function.Periodic.lift (_ : Function.Periodic (toIocMod hp a) p) b ∈ Set.Ioc a (a + p)) })
        ↑z✝) =
    ↑z✝
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ ↑(toIocMod hp a z✝) = ↑z✝
[PROOFSTEP]
rw [QuotientAddGroup.eq_iff_sub_mem, toIocMod_sub_self]
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
⊢ -toIocDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
[PROOFSTEP]
apply AddSubgroup.zsmul_mem_zmultiples
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ↔ toIcoMod hp 0 (x₂ - x₁) + toIcoMod hp 0 (x₁ - x₃) ≤ p
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod_eq_sub, toIocMod_eq_sub _ x₁, add_le_add_iff_right, ← neg_sub x₁ x₃, toIocMod_neg, neg_zero,
  le_sub_iff_add_le]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
let x₂' := toIcoMod hp x₁ x₂
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
let x₃' := toIcoMod hp x₂' x₃
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
have h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃' := by simpa
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
⊢ x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
[PROOFSTEP]
simpa
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
have h₂₁ : x₂' < x₁ + p := toIcoMod_lt_right _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
have h₃₂ : x₃' - p < x₂' := sub_lt_iff_lt_add.2 (toIcoMod_lt_right _ _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
suffices hequiv : x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
hequiv : x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
obtain ⟨z, hd⟩ : ∃ z : ℤ, x₂ = x₂' + z • p := ((toIcoMod_eq_iff hp).1 rfl).2
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
hequiv : x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
z : ℤ
hd : x₂ = x₂' + z • p
⊢ toIcoMod hp x₂ x₃ ≤ toIocMod hp x₂ x₁
[PROOFSTEP]
rw [hd, toIocMod_add_zsmul', toIcoMod_add_zsmul', add_le_add_iff_right]
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
hequiv : x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
z : ℤ
hd : x₂ = x₂' + z • p
⊢ toIcoMod hp x₂' x₃ ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
assumption
  -- Porting note: was `simpa`
[GOAL]
case hequiv
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
cases' le_or_lt x₃' (x₁ + p) with h₃₁ h₁₃
[GOAL]
case hequiv.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
suffices hIoc₂₁ : toIocMod hp x₂' x₁ = x₁ + p
[GOAL]
case hequiv.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p
hIoc₂₁ : toIocMod hp x₂' x₁ = x₁ + p
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
exact hIoc₂₁.symm.trans_ge h₃₁
[GOAL]
case hIoc₂₁
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p
⊢ toIocMod hp x₂' x₁ = x₁ + p
[PROOFSTEP]
apply (toIocMod_eq_iff hp).2
[GOAL]
case hIoc₂₁
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p
⊢ x₁ + p ∈ Set.Ioc x₂' (x₂' + p) ∧ ∃ z, x₁ = x₁ + p + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨h₂₁, by simp [left_le_toIcoMod]⟩, -1, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p
⊢ x₁ + p ≤ x₂' + p
[PROOFSTEP]
simp [left_le_toIcoMod]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p
⊢ x₁ = x₁ + p + -1 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case hequiv.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
have hIoc₁₃ : toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p :=
  by
  apply (toIocMod_eq_iff hp).2
  exact ⟨⟨lt_sub_iff_add_lt.2 h₁₃, le_of_lt (h₃₂.trans h₂₁)⟩, 1, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
⊢ toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p
[PROOFSTEP]
apply (toIocMod_eq_iff hp).2
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
⊢ x₃' - p ∈ Set.Ioc x₁ (x₁ + p) ∧ ∃ z, x₃' = x₃' - p + z • p
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨lt_sub_iff_add_lt.2 h₁₃, le_of_lt (h₃₂.trans h₂₁)⟩, 1, by simp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
⊢ x₃' = x₃' - p + 1 • p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case hequiv.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
hIoc₁₃ : toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
have not_h₃₂ := (h.trans hIoc₁₃.le).not_lt
[GOAL]
case hequiv.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α
h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂
x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃
h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'
h₂₁ : x₂' < x₁ + p
h₃₂ : x₃' - p < x₂'
h₁₃ : x₁ + p < x₃'
hIoc₁₃ : toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p
not_h₃₂ : ¬x₃' - p < x₂'
⊢ x₃' ≤ toIocMod hp x₂' x₁
[PROOFSTEP]
contradiction
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
⊢ b ≡ a [PMOD p] ∨ c ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ c [PMOD p]
[PROOFSTEP]
by_contra' h
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬b ≡ a [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [modEq_comm] at h
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [← (not_modEq_iff_toIcoMod_eq_toIocMod hp).mp h.2.2] at h₁₂₃
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [← (not_modEq_iff_toIcoMod_eq_toIocMod hp).mp h.1] at h₁₃₂
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIcoMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact h.2.1 ((toIcoMod_inj _).1 <| h₁₃₂.antisymm h₁₂₃)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
[PROOFSTEP]
have := congr_arg₂ (· + ·) (toIcoMod_add_toIocMod_zero hp a b) (toIcoMod_add_toIocMod_zero hp c b)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this :
  (fun x x_1 => x + x_1) (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a))
      (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) =
    (fun x x_1 => x + x_1) p p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
[PROOFSTEP]
simp only [add_add_add_comm] at this
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (c - b) + (toIocMod hp 0 (b - a) + toIocMod hp 0 (b - c)) = p + p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
[PROOFSTEP]
rw [_root_.add_comm (toIocMod _ _ _), add_add_add_comm, ← two_nsmul] at this
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) + (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) = 2 • p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
[PROOFSTEP]
replace := min_le_of_add_le_two_nsmul this.le
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : min (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) ≤ p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
[PROOFSTEP]
rw [min_le_iff] at this
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
[PROOFSTEP]
rw [toIxxMod_iff, toIxxMod_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ p
[PROOFSTEP]
refine' this.imp (le_trans <| add_le_add_left _ _) (le_trans <| add_le_add_left _ _)
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ toIocMod hp 0 (b - c)
[PROOFSTEP]
apply toIcoMod_le_toIocMod
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
⊢ toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ toIocMod hp 0 (b - a)
[PROOFSTEP]
apply toIcoMod_le_toIocMod
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
[PROOFSTEP]
suffices h : ¬x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
[GOAL]
case left
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h : ¬x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
[PROOFSTEP]
have h₁₂₃' := toIxxMod_cyclic_left _ (toIxxMod_cyclic_left _ h₁₂₃.1)
[GOAL]
case left
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h : ¬x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
h₁₂₃' : toIcoMod hp x₃ x₁ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
[PROOFSTEP]
have h₂₃₄' := toIxxMod_cyclic_left _ (toIxxMod_cyclic_left _ h₂₃₄.1)
[GOAL]
case left
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h : ¬x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
h₁₂₃' : toIcoMod hp x₃ x₁ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h₂₃₄' : toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₄
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
[PROOFSTEP]
rw [(not_modEq_iff_toIcoMod_eq_toIocMod hp).1 h] at h₂₃₄'
[GOAL]
case left
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h : ¬x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
h₁₂₃' : toIcoMod hp x₃ x₁ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h₂₃₄' : toIocMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₄
⊢ toIcoMod hp x₁ x₄ ≤ toIocMod hp x₁ x₃
[PROOFSTEP]
exact toIxxMod_cyclic_left _ (h₁₂₃'.trans h₂₃₄')
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
⊢ ¬x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
[PROOFSTEP]
by_contra h
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h : x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [(modEq_iff_toIcoMod_eq_left hp).1 h] at h₁₂₃
[GOAL]
case h
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬x₃ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
h : x₃ ≡ x₂ [PMOD p]
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact h₁₂₃.2 (left_lt_toIocMod _ _ _).le
[GOAL]
case right
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₂ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₂
⊢ ¬toIcoMod hp x₃ x₄ ≤ toIocMod hp x₃ x₁
[PROOFSTEP]
rw [not_le] at h₁₂₃ h₂₃₄ ⊢
[GOAL]
case right
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ x₄ : α
h₁₂₃ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ∧ toIocMod hp x₃ x₁ < toIcoMod hp x₃ x₂
h₂₃₄ : toIcoMod hp x₂ x₄ ≤ toIocMod hp x₂ x₃ ∧ toIocMod hp x₃ x₂ < toIcoMod hp x₃ x₄
⊢ toIocMod hp x₃ x₁ < toIcoMod hp x₃ x₄
[PROOFSTEP]
exact (h₁₂₃.2.trans_le (toIcoMod_le_toIocMod _ x₃ x₂)).trans h₂₃₄.2
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₁ x₂ x₃ : α
⊢ btw ↑x₁ ↑x₂ ↑x₃ ↔ toIcoMod (_ : 0 < p) x₁ x₂ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) x₁ x₃
[PROOFSTEP]
rw [btw_coe_iff', toIocMod_sub_eq_sub, toIcoMod_sub_eq_sub, zero_add, sub_le_sub_iff_right]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
⊢ ↑(↑(equivIcoMod (_ : 0 < p) 0) (x - x)) ≤ ↑(↑(equivIocMod (_ : 0 < p) 0) (x - x))
[PROOFSTEP]
simp [sub_self, hp'.out.le]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₁ x₂ x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
h : btw x₁ x₂ x₃
⊢ btw x₂ x₃ x₁
[PROOFSTEP]
induction x₁ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₂ x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝ : α
h : btw (↑z✝) x₂ x₃
⊢ btw x₂ x₃ ↑z✝
[PROOFSTEP]
induction x₂ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝¹ z✝ : α
h : btw (↑z✝¹) (↑z✝) x₃
⊢ btw (↑z✝) x₃ ↑z✝¹
[PROOFSTEP]
induction x₃ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
z✝² z✝¹ z✝ : α
h : btw ↑z✝² ↑z✝¹ ↑z✝
⊢ btw ↑z✝¹ ↑z✝ ↑z✝²
[PROOFSTEP]
simp_rw [btw_coe_iff] at h ⊢
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
z✝² z✝¹ z✝ : α
h : toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝
⊢ toIcoMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝²
[PROOFSTEP]
apply toIxxMod_cyclic_left _ h
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₁ x₂ x₃ x₄ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
h₁₂₃ : btw x₁ x₂ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₂ x₁
h₂₃₄ : btw x₂ x₄ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₄ x₂
⊢ btw x₁ x₄ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₄ x₁
[PROOFSTEP]
induction x₁ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₂ x₃ x₄ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
h₂₃₄ : btw x₂ x₄ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₄ x₂
z✝ : α
h₁₂₃ : btw (↑z✝) x₂ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₂ ↑z✝
⊢ btw (↑z✝) x₄ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₄ ↑z✝
[PROOFSTEP]
induction x₂ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₃ x₄ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝¹ z✝ : α
h₂₃₄ : btw (↑z✝) x₄ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₄ ↑z✝
h₁₂₃ : btw (↑z✝¹) (↑z✝) x₃ ∧ ¬btw x₃ ↑z✝ ↑z✝¹
⊢ btw (↑z✝¹) x₄ x₃ ∧ ¬btw x₃ x₄ ↑z✝¹
[PROOFSTEP]
induction x₃ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₄ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝² z✝¹ z✝ : α
h₂₃₄ : btw (↑z✝¹) x₄ ↑z✝ ∧ ¬btw (↑z✝) x₄ ↑z✝¹
h₁₂₃ : btw ↑z✝² ↑z✝¹ ↑z✝ ∧ ¬btw ↑z✝ ↑z✝¹ ↑z✝²
⊢ btw (↑z✝²) x₄ ↑z✝ ∧ ¬btw (↑z✝) x₄ ↑z✝²
[PROOFSTEP]
induction x₄ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
z✝³ z✝² z✝¹ : α
h₁₂₃ : btw ↑z✝³ ↑z✝² ↑z✝¹ ∧ ¬btw ↑z✝¹ ↑z✝² ↑z✝³
z✝ : α
h₂₃₄ : btw ↑z✝² ↑z✝ ↑z✝¹ ∧ ¬btw ↑z✝¹ ↑z✝ ↑z✝²
⊢ btw ↑z✝³ ↑z✝ ↑z✝¹ ∧ ¬btw ↑z✝¹ ↑z✝ ↑z✝³
[PROOFSTEP]
simp_rw [btw_coe_iff] at h₁₂₃ h₂₃₄ ⊢
[GOAL]
case H.H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
z✝³ z✝² z✝¹ z✝ : α
h₁₂₃ :
  toIcoMod (_ : 0 < p) z✝³ z✝² ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝³ z✝¹ ∧
    ¬toIcoMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝² ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝³
h₂₃₄ :
  toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹ ∧
    ¬toIcoMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝²
⊢ toIcoMod (_ : 0 < p) z✝³ z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝³ z✝¹ ∧
    ¬toIcoMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝¹ z✝³
[PROOFSTEP]
apply toIxxMod_trans _ h₁₂₃ h₂₃₄
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
x₁ x₂ x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
h₁₂₃ : btw x₁ x₂ x₃
h₃₂₁ : btw x₃ x₂ x₁
⊢ x₁ = x₂ ∨ x₂ = x₃ ∨ x₃ = x₁
[PROOFSTEP]
induction x₁ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
x₂ x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝ : α
h₁₂₃ : btw (↑z✝) x₂ x₃
h₃₂₁ : btw x₃ x₂ ↑z✝
⊢ ↑z✝ = x₂ ∨ x₂ = x₃ ∨ x₃ = ↑z✝
[PROOFSTEP]
induction x₂ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝¹ z✝ : α
h₁₂₃ : btw (↑z✝¹) (↑z✝) x₃
h₃₂₁ : btw x₃ ↑z✝ ↑z✝¹
⊢ ↑z✝¹ = ↑z✝ ∨ ↑z✝ = x₃ ∨ x₃ = ↑z✝¹
[PROOFSTEP]
induction x₃ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
z✝² z✝¹ z✝ : α
h₁₂₃ : btw ↑z✝² ↑z✝¹ ↑z✝
h₃₂₁ : btw ↑z✝ ↑z✝¹ ↑z✝²
⊢ ↑z✝² = ↑z✝¹ ∨ ↑z✝¹ = ↑z✝ ∨ ↑z✝ = ↑z✝²
[PROOFSTEP]
rw [btw_cyclic] at h₃₂₁
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
z✝² z✝¹ z✝ : α
h₁₂₃ : btw ↑z✝² ↑z✝¹ ↑z✝
h₃₂₁ : btw ↑z✝² ↑z✝ ↑z✝¹
⊢ ↑z✝² = ↑z✝¹ ∨ ↑z✝¹ = ↑z✝ ∨ ↑z✝ = ↑z✝²
[PROOFSTEP]
simp_rw [btw_coe_iff] at h₁₂₃ h₃₂₁
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
z✝² z✝¹ z✝ : α
h₁₂₃ : toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝
h₃₂₁ : toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹
⊢ ↑z✝² = ↑z✝¹ ∨ ↑z✝¹ = ↑z✝ ∨ ↑z✝ = ↑z✝²
[PROOFSTEP]
simp_rw [← modEq_iff_eq_mod_zmultiples]
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
z✝² z✝¹ z✝ : α
h₁₂₃ : toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝
h₃₂₁ : toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹
⊢ z✝¹ ≡ z✝² [PMOD p] ∨ z✝ ≡ z✝¹ [PMOD p] ∨ z✝² ≡ z✝ [PMOD p]
[PROOFSTEP]
exact toIxxMod_antisymm _ h₁₂₃ h₃₂₁
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
x₁ x₂ x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
⊢ btw x₁ x₂ x₃ ∨ btw x₃ x₂ x₁
[PROOFSTEP]
induction x₁ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
x₂ x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝ : α
⊢ btw (↑z✝) x₂ x₃ ∨ btw x₃ x₂ ↑z✝
[PROOFSTEP]
induction x₂ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
x₃ : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z✝¹ z✝ : α
⊢ btw (↑z✝¹) (↑z✝) x₃ ∨ btw x₃ ↑z✝ ↑z✝¹
[PROOFSTEP]
induction x₃ using QuotientAddGroup.induction_on'
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
z✝² z✝¹ z✝ : α
⊢ btw ↑z✝² ↑z✝¹ ↑z✝ ∨ btw ↑z✝ ↑z✝¹ ↑z✝²
[PROOFSTEP]
simp_rw [btw_coe_iff]
[GOAL]
case H.H.H
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
src✝ : CircularPreorder (α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p) := circularPreorder
z✝² z✝¹ z✝ : α
⊢ toIcoMod (_ : 0 < p) z✝² z✝¹ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝² z✝ ∨ toIcoMod (_ : 0 < p) z✝ z✝¹ ≤ toIocMod (_ : 0 < p) z✝ z✝²
[PROOFSTEP]
apply toIxxMod_total
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoDiv hp a b = ⌊(b - a) / p⌋
[PROOFSTEP]
refine' toIcoDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ico hp _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - ⌊(b - a) / p⌋ • p ∈ Set.Ico a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [Set.mem_Ico, zsmul_eq_mul, ← sub_nonneg, add_comm, sub_right_comm, ← sub_lt_iff_lt_add, sub_right_comm _ _ a]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ 0 ≤ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p ∧ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p < p
[PROOFSTEP]
exact ⟨Int.sub_floor_div_mul_nonneg _ hp, Int.sub_floor_div_mul_lt _ hp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b = -⌊(a + p - b) / p⌋
[PROOFSTEP]
refine' toIocDiv_eq_of_sub_zsmul_mem_Ioc hp _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - -⌊(a + p - b) / p⌋ • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
[PROOFSTEP]
rw [Set.mem_Ioc, zsmul_eq_mul, Int.cast_neg, neg_mul, sub_neg_eq_add, ← sub_nonneg, sub_add_eq_sub_sub]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a < b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p ∧ 0 ≤ a + p - b - ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, Int.sub_floor_div_mul_nonneg _ hp⟩
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a < b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p
[PROOFSTEP]
rw [← add_lt_add_iff_right p, add_assoc, add_comm b, ← sub_lt_iff_lt_add, add_comm (_ * _), ← sub_lt_iff_lt_add]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ a + p - b - ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p < p
[PROOFSTEP]
exact Int.sub_floor_div_mul_lt _ hp
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
⊢ toIcoDiv (_ : 0 < 1) 0 b = ⌊b⌋
[PROOFSTEP]
simp [toIcoDiv_eq_floor]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b = a + Int.fract ((b - a) / p) * p
[PROOFSTEP]
rw [toIcoMod, toIcoDiv_eq_floor, Int.fract]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - ⌊(b - a) / p⌋ • p = a + ((b - a) / p - ↑⌊(b - a) / p⌋) * p
[PROOFSTEP]
field_simp [hp.ne.symm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p = a + (b - a - p * ↑⌊(b - a) / p⌋)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
⊢ toIcoMod hp 0 b = Int.fract (b / p) * p
[PROOFSTEP]
simp [toIcoMod_eq_add_fract_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ toIocMod hp a b = a + p - Int.fract ((a + p - b) / p) * p
[PROOFSTEP]
rw [toIocMod, toIocDiv_eq_neg_floor, Int.fract]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b - -⌊(a + p - b) / p⌋ • p = a + p - ((a + p - b) / p - ↑⌊(a + p - b) / p⌋) * p
[PROOFSTEP]
field_simp [hp.ne.symm]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p = a + p - (a + p - b - p * ↑⌊(a + p - b) / p⌋)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
⊢ toIcoMod (_ : 0 < 1) 0 b = Int.fract b
[PROOFSTEP]
simp [toIcoMod_eq_add_fract_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ioc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
[PROOFSTEP]
refine' eq_univ_iff_forall.mpr fun b => mem_iUnion.mpr _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ∃ i, b ∈ Ioc (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
[PROOFSTEP]
rcases sub_toIocDiv_zsmul_mem_Ioc hp a b with ⟨hl, hr⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ ∃ i, b ∈ Ioc (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨toIocDiv hp a b, ⟨lt_sub_iff_add_lt.mp hl, _⟩⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ b ≤ a + (toIocDiv hp a b + 1) • p
[PROOFSTEP]
rw [add_smul, one_smul, ← add_assoc]
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ b ≤ a + toIocDiv hp a b • p + p
[PROOFSTEP]
convert sub_le_iff_le_add.mp hr using 1
[GOAL]
case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ a + toIocDiv hp a b • p + p = a + p + toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p
⊢ a + toIocDiv hp a b • p + p = a + p + toIocDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ico (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
[PROOFSTEP]
refine' eq_univ_iff_forall.mpr fun b => mem_iUnion.mpr _
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
[PROOFSTEP]
rcases sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp a b with ⟨hl, hr⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨toIcoDiv hp a b, ⟨le_sub_iff_add_le.mp hl, _⟩⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + (toIcoDiv hp a b + 1) • p
[PROOFSTEP]
rw [add_smul, one_smul, ← add_assoc]
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + toIcoDiv hp a b • p + p
[PROOFSTEP]
convert sub_lt_iff_lt_add.mp hr using 1
[GOAL]
case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Icc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [iUnion_Ioc_add_zsmul hp a, univ_subset_iff] using
  iUnion_mono fun n : ℤ => (Ioc_subset_Icc_self : Ioc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) ⊆ Icc _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ioc (n • p) ((n + 1) • p) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add] using iUnion_Ioc_add_zsmul hp 0
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ico (n • p) ((n + 1) • p) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add] using iUnion_Ico_add_zsmul hp 0
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Icc (n • p) ((n + 1) • p) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add] using iUnion_Icc_add_zsmul hp 0
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zsmul_one, Int.cast_add, Int.cast_one, ← add_assoc] using iUnion_Ioc_add_zsmul zero_lt_one a
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zsmul_one, Int.cast_add, Int.cast_one, ← add_assoc] using iUnion_Ico_add_zsmul zero_lt_one a
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Icc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zsmul_one, Int.cast_add, Int.cast_one, ← add_assoc] using iUnion_Icc_add_zsmul zero_lt_one a
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ioc (↑n) (↑n + 1) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add] using iUnion_Ioc_add_int_cast (0 : α)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Ico (↑n) (↑n + 1) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add] using iUnion_Ico_add_int_cast (0 : α)
[GOAL]
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
⊢ ⋃ (n : ℤ), Icc (↑n) (↑n + 1) = univ
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_add] using iUnion_Icc_add_int_cast (0 : α)