[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E))) (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) ⁻¹' s) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ n : ℕ∞
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {u : Set H} {f : H → H'},
    IsOpen u → x ∈ u → (ContDiffWithinAtProp I I' n f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' n f (s ∩ u) x)
[PROOFSTEP]
intro s x u f u_open xu
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' n f (s ∩ u) x
[PROOFSTEP]
have : I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range I = I.symm ⁻¹' s ∩ range I ∩ I.symm ⁻¹' u := by
  simp only [inter_right_comm, preimage_inter]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
[PROOFSTEP]
simp only [inter_right_comm, preimage_inter]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' n f (s ∩ u) x
[PROOFSTEP]
rw [ContDiffWithinAtProp, ContDiffWithinAtProp, this]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
      (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u) (↑I x)
[PROOFSTEP]
symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
      (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u) (↑I x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
[PROOFSTEP]
apply contDiffWithinAt_inter
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑I x)
[PROOFSTEP]
have : u ∈ 𝓝 (I.symm (I x)) := by rw [ModelWithCorners.left_inv]; exact IsOpen.mem_nhds u_open xu
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
⊢ u ∈ 𝓝 (↑(ModelWithCorners.symm I) (↑I x))
[PROOFSTEP]
rw [ModelWithCorners.left_inv]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
⊢ u ∈ 𝓝 x
[PROOFSTEP]
exact IsOpen.mem_nhds u_open xu
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
this✝ :
  ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I =
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u
this : u ∈ 𝓝 (↑(ModelWithCorners.symm I) (↑I x))
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑I x)
[PROOFSTEP]
apply ContinuousAt.preimage_mem_nhds I.continuous_symm.continuousAt this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ n : ℕ∞
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {f : H → H'} {e : LocalHomeomorph H H},
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I →
      x ∈ e.source →
        ContDiffWithinAtProp I I' n f s x →
          ContDiffWithinAtProp I I' n (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
intro s x f e he hx h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [ContDiffWithinAtProp] at h ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
[PROOFSTEP]
have : I x = (I ∘ e.symm ∘ I.symm) (I (e x)) := by simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
[PROOFSTEP]
rw [this] at h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
[PROOFSTEP]
have : I (e x) ∈ I.symm ⁻¹' e.target ∩ range I := by simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
[PROOFSTEP]
have := (mem_groupoid_of_pregroupoid.2 he).2.contDiffWithinAt this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
[PROOFSTEP]
convert (h.comp' _ (this.of_le le_top)).mono_of_mem _ using 1
[GOAL]
case h.e'_10
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) =
    (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) ∘ ↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)
[PROOFSTEP]
ext y
[GOAL]
case h.e'_10.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
y : E
⊢ (↑I' ∘ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y =
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) ∘ ↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩
      ↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) ∈
    𝓝[↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I] ↑I (↑e x)
[PROOFSTEP]
refine'
  mem_nhdsWithin.mpr
    ⟨I.symm ⁻¹' e.target, e.open_target.preimage I.continuous_symm, by simp_rw [mem_preimage, I.left_inv, e.mapsTo hx],
      _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target
[PROOFSTEP]
simp_rw [mem_preimage, I.left_inv, e.mapsTo hx]
[GOAL]
case convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    ((↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x)))
this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I (↑e x))
this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩
      (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) ⊆
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩
      ↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ n : ℕ∞
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {f g : H → H'},
    (∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y) → f x = g x → ContDiffWithinAtProp I I' n f s x → ContDiffWithinAtProp I I' n g s x
[PROOFSTEP]
intro s x f g h hx hf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n g s x
[PROOFSTEP]
apply hf.congr
[GOAL]
case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ∀ (y : E),
    y ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I →
      (↑I' ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y = (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
y : E
hy : y ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I
⊢ (↑I' ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y = (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
y : E
hy : ↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ s ∧ y ∈ range ↑I
⊢ (↑I' ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y = (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y
[PROOFSTEP]
simp only [h, hy, mfld_simps]
[GOAL]
case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
hx : f x = g x
hf : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ (↑I' ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) = (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x)
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ n : ℕ∞
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {f : H → H'} {e' : LocalHomeomorph H' H'},
    e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I' →
      s ⊆ f ⁻¹' e'.source →
        f x ∈ e'.source → ContDiffWithinAtProp I I' n f s x → ContDiffWithinAtProp I I' n (↑e' ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
intro s x f e' he' hs hx h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑e' ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
rw [ContDiffWithinAtProp] at h ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    (↑I x)
[PROOFSTEP]
have A : (I' ∘ f ∘ I.symm) (I x) ∈ I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range I' := by simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    (↑I x)
[PROOFSTEP]
have := (mem_groupoid_of_pregroupoid.2 he').1.contDiffWithinAt A
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    (↑I x)
[PROOFSTEP]
convert (this.of_le le_top).comp _ h _
[GOAL]
case h.e'_10
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x))
⊢ ↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) =
    (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) ∘ ↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)
[PROOFSTEP]
ext y
[GOAL]
case h.e'_10.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x))
y : E
⊢ (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y =
    ((↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) ∘ ↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x))
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ⊆
    ↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x))
y : E
hy : y ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I
⊢ y ∈ ↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
A : (↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I')) (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
    ((↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x))
y : E
hy : ↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ s ∧ y ∈ range ↑I
⊢ y ∈ ↑I' ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(ModelWithCorners.symm I') ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')
[PROOFSTEP]
simpa only [hy, mfld_simps] using hs hy.1
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
t : Set H
f : H → H'
hts : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n f t x
[PROOFSTEP]
refine' h.mono_of_mem _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
t : Set H
f : H → H'
hts : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I ∈ 𝓝[↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑I x
[PROOFSTEP]
refine' inter_mem _ (mem_of_superset self_mem_nhdsWithin <| inter_subset_right _ _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
s : Set H
x : H
t : Set H
f : H → H'
hts : s ∈ 𝓝[t] x
h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑I x
[PROOFSTEP]
rwa [← Filter.mem_map, ← I.image_eq, I.symm_map_nhdsWithin_image]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAtProp I I n id univ x
[PROOFSTEP]
simp [ContDiffWithinAtProp]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I) (↑I x)
[PROOFSTEP]
have : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range I) (I x) := contDiff_id.contDiffAt.contDiffWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I) (↑I x)
[PROOFSTEP]
refine this.congr (fun y hy => ?_) ?_
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
y : E
hy : y ∈ range ↑I
⊢ (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y = id y
[PROOFSTEP]
simp only [ModelWithCorners.right_inv I hy, mfld_simps]
[GOAL]
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
⊢ (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) = id (↑I x)
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) univ
        (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
rw [ContDiffWithinAtProp, preimage_univ, univ_inter]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n
        (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
        (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔
    ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f univ ↔ ContMDiff I I' n f
[PROOFSTEP]
simp only [ContMDiffOn, ContMDiff, contMDiffWithinAt_univ, forall_prop_of_true, mem_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContMDiffWithinAt, LiftPropWithinAt, ← and_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    (ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x) ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
        (↑(chartAt E' ((↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x)) ∘
          (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
have cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (extChartAt I' (f x) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x :=
  and_iff_left_of_imp <| (continuousAt_extChartAt _ _).comp_continuousWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    (ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x) ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
        (↑(chartAt E' ((↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x)) ∘
          (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [cont, ContDiffWithinAtProp, extChartAt, LocalHomeomorph.extend, LocalEquiv.coe_trans,
  ModelWithCorners.toLocalEquiv_coe, LocalHomeomorph.coe_coe, modelWithCornersSelf_coe, chartAt_self_eq,
  LocalHomeomorph.refl_apply, comp.left_id]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
cont : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) s x ↔ ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n
        (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
        (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) ∩ range ↑I)
        (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n
        ((((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
        (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) ∩ range ↑I)
        (↑I (↑(chartAt H x) x))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x
[PROOFSTEP]
rw [ContMDiffAt, ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_target, continuousWithinAt_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(LocalHomeomorph.extend e' I') ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
        (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas he he' hx hy, and_congr_right_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(LocalHomeomorph.extend e' I') ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
        (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(LocalHomeomorph.extend e' I') ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
        (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x))
[PROOFSTEP]
refine' fun _ => contDiffWithinAt_congr_nhds _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n : ℕ∞
x : M
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
x✝ : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(LocalHomeomorph.extend e I) x =
    𝓝[↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s] ↑(LocalHomeomorph.extend e I) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq, e.extend_symm_preimage_inter_range_eventuallyEq I hs hx]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')
[PROOFSTEP]
refine' (contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')
[PROOFSTEP]
rw [← extChartAt_source I] at hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')
[PROOFSTEP]
rw [← extChartAt_source I'] at hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x')
[PROOFSTEP]
rw [and_congr_right_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        (↑(extChartAt I x) x'))
[PROOFSTEP]
set e := extChartAt I x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑e x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
        (e.target ∩ ↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑e x'))
[PROOFSTEP]
set e' := extChartAt I' (f x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑e x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
        (e.target ∩ ↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) (↑e x'))
[PROOFSTEP]
refine' fun hc => contDiffWithinAt_congr_nhds _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x' =
    𝓝[e.target ∩ ↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)] ↑e x'
[PROOFSTEP]
rw [← e.image_source_inter_eq', ← map_extChartAt_nhdsWithin_eq_image' I x hx, ← map_extChartAt_nhdsWithin' I x hx,
  inter_comm, nhdsWithin_inter_of_mem]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'
[PROOFSTEP]
exact hc (extChartAt_source_mem_nhds' _ _ hy)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContinuousWithinAt f univ x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousAt f x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x')
[PROOFSTEP]
rw [continuousWithinAt_univ, preimage_univ, univ_inter]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContMDiffWithinAt]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
rw [(contDiffWithinAt_localInvariantProp I I' n).liftPropWithinAt_indep_chart_target (chart_mem_maximalAtlas I' y) hy,
  and_congr_right]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ↔
      LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x)
[PROOFSTEP]
intro hf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ↔
    LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [StructureGroupoid.liftPropWithinAt_self_target]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (↑(chartAt H' y) ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [((chartAt H' y).continuousAt hy).comp_continuousWithinAt hf]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
rw [← extChartAt_source I'] at hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I' y) ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [(continuousAt_extChartAt' I' _ hy).comp_continuousWithinAt hf]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    True ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) x
[PROOFSTEP]
rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_target_of_mem_source hy, continuousWithinAt_univ, ContMDiffAt]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
      (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
have h2x := hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx h2x : x ∈ e.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
      (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
rw [← e.extend_source I] at h2x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
h2x : x ∈ (LocalHomeomorph.extend e I).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
      (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContMDiffWithinAt, (contDiffWithinAt_localInvariantProp I I' n).liftPropWithinAt_indep_chart_source he hx,
  StructureGroupoid.liftPropWithinAt_self_source, e.extend_symm_continuousWithinAt_comp_right_iff,
  contDiffWithinAtProp_self_source, ContDiffWithinAtProp, Function.comp, e.left_inv hx, (e.extend I).left_inv h2x]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hx : x ∈ e.source
h2x : x ∈ (LocalHomeomorph.extend e I).source
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => f (↑(LocalHomeomorph.symm e) x)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n
        (fun x_1 => ↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(ModelWithCorners.symm I) x_1)))))
        (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x)) ↔
    ContinuousWithinAt (fun x => f (↑(LocalHomeomorph.symm e) x)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n
        (fun x_1 => ↑I' (↑(chartAt H' (f x)) (f (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) x_1))))
        (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_source_of_mem_source hx', preimage_univ, univ_inter]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : MapsTo f s e'.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
    ContinuousOn f s ∧
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(LocalHomeomorph.extend e' I') ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
        (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s)
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContinuousOn, ContDiffOn, Set.ball_image_iff, ← forall_and, ContMDiffOn]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : MapsTo f s e'.source
⊢ (∀ (x : M), x ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' n f s x) ↔
    ∀ (x : M),
      x ∈ s →
        ContinuousWithinAt f s x ∧
          ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(LocalHomeomorph.extend e' I') ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
            (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
exact forall₂_congr fun x hx => contMDiffWithinAt_iff_image he he' hs (hs hx) (h2s hx)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hs : s ⊆ (extChartAt I x).source
h2s : MapsTo f s (extChartAt I' y).source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (↑(extChartAt I x) '' s)
[PROOFSTEP]
rw [extChartAt_source] at hs h2s
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
hs : s ⊆ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
h2s : MapsTo f s (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (↑(extChartAt I x) '' s)
[PROOFSTEP]
exact contMDiffOn_iff_of_mem_maximalAtlas' (chart_mem_maximalAtlas I x) (chart_mem_maximalAtlas I' y) hs h2s
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
    ContinuousOn f s ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f s →
    ContinuousOn f s ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
⊢ ContinuousOn f s ∧
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun x hx => (h x hx).1, fun x y z hz => _⟩
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
x : M
y : M'
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hz
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
let w := (extChartAt I x).symm z
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
have : w ∈ s := by simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
⊢ w ∈ s
[PROOFSTEP]
simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
h : ContMDiffOn I I' n f s
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
specialize h w this
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
have w1 : w ∈ (chartAt H x).source := by simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
⊢ w ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
w1 : w ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
have w2 : f w ∈ (chartAt H' y).source := by simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
w1 : w ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
⊢ f w ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
w1 : w ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
w2 : f w ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) z
[PROOFSTEP]
convert ((contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source w1 w2).mp h).2.mono _
[GOAL]
case h.e'_12
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
w1 : w ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
w2 : f w ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ z = ↑(extChartAt I x) w
[PROOFSTEP]
simp only [hz, mfld_simps]
[GOAL]
case mp.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
y : M'
z : E
hz :
  (z ∈ range ↑I ∧ ↑(ModelWithCorners.symm I) z ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z) ∈ s ∧
      f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) z)) ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
w : M := ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) z
this : w ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s w
w1 : w ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source
w2 : f w ∈ (chartAt H' y).toLocalEquiv.source
⊢ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source) ⊆
    ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ (ContinuousOn f s ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))) →
    ContMDiffOn I I' n f s
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hcont, hdiff⟩ x hx
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hcont : ContinuousOn f s
hdiff :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
[PROOFSTEP]
refine' (contDiffWithinAt_localInvariantProp I I' n).liftPropWithinAt_iff.mpr _
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hcont : ContinuousOn f s
hdiff :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
      ((chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).toLocalEquiv.source))
      (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hcont x hx, _⟩
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hcont : ContinuousOn f s
hdiff :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    ((chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).toLocalEquiv.source))
    (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
dsimp [ContDiffWithinAtProp]
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hcont : ContinuousOn f s
hdiff :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n
    (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩
        (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) ∩
          ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹'
            (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).toLocalEquiv.source))) ∩
      range ↑I)
    (↑I (↑(chartAt H x) x))
[PROOFSTEP]
convert hdiff x (f x) (extChartAt I x x) (by simp only [hx, mfld_simps]) using 1
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hcont : ContinuousOn f s
hdiff :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
case h.e'_11
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
hcont : ContinuousOn f s
hdiff :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩
        (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) ∩
          ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹'
            (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).toLocalEquiv.source))) ∩
      range ↑I =
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
    ContinuousOn f s ∧
      ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
[PROOFSTEP]
simp only [contMDiffOn_iff, ModelWithCorners.source_eq, chartAt_self_eq, LocalHomeomorph.refl_localEquiv,
  LocalEquiv.refl_trans, extChartAt, LocalHomeomorph.extend, Set.preimage_univ, Set.inter_univ, and_congr_right_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousOn f s →
    ((∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 n
          (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
            f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
          (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
            ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
              (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))) ↔
      ∀ (y : M'),
        ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f)
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source) ∧
          ∀ (x : M),
            E' →
              ContDiffOn 𝕜 n
                (↑𝓘(𝕜, E').toLocalEquiv ∘
                  (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f) ∘
                    ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
                (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
                  ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
                    (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source)))
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n
        (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
          f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
        (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
          ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))) ↔
    ∀ (y : M'),
      ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M),
          E' →
            ContDiffOn 𝕜 n
              (↑𝓘(𝕜, E').toLocalEquiv ∘
                (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f) ∘
                  ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
              (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
                ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
                  (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n
        (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
          f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
        (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
          ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))) →
    ∀ (y : M'),
      ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M),
          E' →
            ContDiffOn 𝕜 n
              (↑𝓘(𝕜, E').toLocalEquiv ∘
                (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f) ∘
                  ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
              (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
                ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
                  (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))
[PROOFSTEP]
refine' fun h' y => ⟨_, fun x _ => h' x y⟩
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
h' :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n
      (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
        f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
      (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
        ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))
y : M'
⊢ ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f)
    (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source)
[PROOFSTEP]
have h'' : ContinuousOn _ univ := (ModelWithCorners.continuous I').continuousOn
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
h' :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n
      (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
        f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
      (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
        ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))
y : M'
h'' : ContinuousOn (↑I') univ
⊢ ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f)
    (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source)
[PROOFSTEP]
convert (h''.comp' (chartAt H' y).continuous_toFun).comp' h
[GOAL]
case h.e'_6.h.e'_4.h.e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
h' :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    ContDiffOn 𝕜 n
      (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
        f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
      (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
        ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))
y : M'
h'' : ContinuousOn (↑I') univ
⊢ ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source =
    (chartAt H' y).toLocalEquiv.source ∩ ↑(chartAt H' y).toLocalEquiv ⁻¹' univ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (y : M'),
      ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M),
          E' →
            ContDiffOn 𝕜 n
              (↑𝓘(𝕜, E').toLocalEquiv ∘
                (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘ f) ∘
                  ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
              (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
                ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
                  (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))) →
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n
        (↑((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv) ∘
          f ∘ ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)))
        (((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv).target ∩
          ↑(LocalEquiv.symm ((chartAt H x).toLocalEquiv ≫ I.toLocalEquiv)) ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toLocalEquiv ≫ I'.toLocalEquiv).source))
[PROOFSTEP]
exact fun h' x y => (h' y).2 x 0
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I' n f ↔
    Continuous f ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
[PROOFSTEP]
simp [← contMDiffOn_univ, contMDiffOn_iff, continuous_iff_continuousOn_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I I' n f ↔
    Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
[PROOFSTEP]
rw [← contMDiffOn_univ, contMDiffOn_iff_target]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ (ContinuousOn f univ ∧
      ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔
    Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
[PROOFSTEP]
simp [continuous_iff_continuousOn_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h m hm => h.of_le hm, fun h => _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
[PROOFSTEP]
cases' n with n
[GOAL]
case none
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ none → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' none f s x
[PROOFSTEP]
exact contMDiffWithinAt_top.2 fun n => h n le_top
[GOAL]
case some
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m : ℕ∞
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ some n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (some n) f s x
[PROOFSTEP]
exact h n le_rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
[PROOFSTEP]
simp only [contMDiffWithinAt_iff, continuousWithinAt_insert_self]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
refine Iff.rfl.and <| (contDiffWithinAt_congr_nhds ?_).trans contDiffWithinAt_insert_self
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ 𝓝[↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x =
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I)] ↑(extChartAt I x) x
[PROOFSTEP]
simp only [← map_extChartAt_nhdsWithin I, nhdsWithin_insert, Filter.map_sup, Filter.map_pure]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔
    ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I))) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s)
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContMDiffOn, Set.ball_image_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
⊢ (∀ (x : M), x ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' n f s x) ↔
    ∀ (x : M),
      x ∈ s →
        ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
          (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
refine' forall₂_congr fun x hx => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
      (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff_source_of_mem_maximalAtlas he (hs hx)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
      (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x) ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)))
      (↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s) (↑(LocalHomeomorph.extend e I) x)
[PROOFSTEP]
apply contMDiffWithinAt_congr_nhds
[GOAL]
case hst
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ 𝓝[↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I)) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(LocalHomeomorph.extend e I) x =
    𝓝[↑(LocalHomeomorph.extend e I) '' s] ↑(LocalHomeomorph.extend e I) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq, e.extend_symm_preimage_inter_range_eventuallyEq I hs (hs hx)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
wlog hxs : x ∈ s generalizing s
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
this : ∀ {s : Set M}, x ∈ s → (ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u)
hxs : ¬x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
rw [← contMDiffWithinAt_insert_self, this (mem_insert _ _), insert_idem]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
rw [insert_eq_of_mem hxs]
  -- The `←` implication is trivial
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
refine
  ⟨fun h ↦ ?_, fun ⟨u, hmem, hu⟩ ↦ (hu _ (mem_of_mem_nhdsWithin hxs hmem)).mono_of_mem hmem⟩
    -- The property is true in charts. Let `v` be a good neighborhood in the chart where the function
      -- is smooth.
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
rcases(contMDiffWithinAt_iff'.1 h).2.contDiffOn le_rfl with ⟨v, hmem, hsub, hv⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
have hxs' :
  extChartAt I x x ∈ (extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) :=
  ⟨(extChartAt I x).map_source (mem_extChartAt_source _ _), by rwa [extChartAt_to_inv], by rw [extChartAt_to_inv];
    apply mem_extChartAt_source⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) x) ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [extChartAt_to_inv]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) x) ∈ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
rw [extChartAt_to_inv]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
⊢ x ∈ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
apply mem_extChartAt_source
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
rw [insert_eq_of_mem hxs'] at hmem hsub
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
refine ⟨(extChartAt I x).symm '' v, ?_, ?_⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ∈ 𝓝[s] x
[PROOFSTEP]
rw [← map_extChartAt_symm_nhdsWithin I, h.1.nhdsWithin_extChartAt_symm_preimage_inter_range I I']
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ∈
    map (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
        ↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
exact image_mem_map hmem
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ContMDiffOn I I' (↑n) f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v)
[PROOFSTEP]
have hv₁ : (extChartAt I x).symm '' v ⊆ (extChartAt I x).source :=
  image_subset_iff.2 fun y hy ↦ (extChartAt I x).map_target (hsub hy).1
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv₁ : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ⊆ (extChartAt I x).source
⊢ ContMDiffOn I I' (↑n) f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v)
[PROOFSTEP]
have hv₂ : MapsTo f ((extChartAt I x).symm '' v) (extChartAt I' (f x)).source :=
  by
  rintro _ ⟨y, hy, rfl⟩
  exact (hsub hy).2.2
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv₁ : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ⊆ (extChartAt I x).source
⊢ MapsTo f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v) (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨y, hy, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv₁ : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ⊆ (extChartAt I x).source
y : E
hy : y ∈ v
⊢ f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∈ (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
exact (hsub hy).2.2
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv₁ : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ⊆ (extChartAt I x).source
hv₂ : MapsTo f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v) (extChartAt I' (f x)).source
⊢ ContMDiffOn I I' (↑n) f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v)
[PROOFSTEP]
rwa [contMDiffOn_iff_of_subset_source' hv₁ hv₂, LocalEquiv.image_symm_image_of_subset_target]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine_2.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv₁ : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v ⊆ (extChartAt I x).source
hv₂ : MapsTo f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) '' v) (extChartAt I' (f x)).source
⊢ v ⊆ (extChartAt I x).target
[PROOFSTEP]
exact hsub.trans (inter_subset_left _ _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u
[PROOFSTEP]
simp [← contMDiffWithinAt_univ, contMDiffWithinAt_iff_contMDiffOn_nhds, nhdsWithin_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, fun h => h.self_of_nhds⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffAt_iff_contMDiffOn_nhds]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ContMDiffOn I I' (↑n) f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
[PROOFSTEP]
rintro ⟨u, hu, h⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 x
h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u
⊢ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
[PROOFSTEP]
refine' (eventually_mem_nhds.mpr hu).mono fun x' hx' => _
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 x
h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u
x' : M
hx' : u ∈ 𝓝 x'
⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
[PROOFSTEP]
exact (h x' <| mem_of_mem_nhds hx').contMDiffAt hx'
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff] at hg hf ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))) ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x)) (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
st : MapsTo f s t
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hg.1.comp hf.1 st, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))) ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x)) (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
st : MapsTo f s t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
set e := extChartAt I x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))) ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x)) (f x))
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
    (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
[PROOFSTEP]
set e' := extChartAt I' (f x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑e' (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
    (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
[PROOFSTEP]
have : e' (f x) = (writtenInExtChartAt I I' x f) (e x) := by simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑e' (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
⊢ ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑e' (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
    (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [this] at hg
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
    (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
[PROOFSTEP]
have A : ∀ᶠ y in 𝓝[e.symm ⁻¹' s ∩ range I] e x, f (e.symm y) ∈ t ∧ f (e.symm y) ∈ e'.source :=
  by
  simp only [← map_extChartAt_nhdsWithin, eventually_map]
  filter_upwards [hf.1.tendsto (extChartAt_source_mem_nhds I' (f x)),
    inter_mem_nhdsWithin s (extChartAt_source_mem_nhds I x)]
  rintro x' (hfx' : f x' ∈ e'.source) ⟨hx's, hx'⟩
  simp only [e.map_source hx', true_and_iff, e.left_inv hx', st hx's, *]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
[PROOFSTEP]
simp only [← map_extChartAt_nhdsWithin, eventually_map]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ∀ᶠ (a : M) in 𝓝[s] x,
    f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) a)) ∈ t ∧
      f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) a)) ∈ (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hf.1.tendsto (extChartAt_source_mem_nhds I' (f x)),
  inter_mem_nhdsWithin s (extChartAt_source_mem_nhds I x)]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ∀ (a : M),
    a ∈ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source →
      a ∈ s ∩ (extChartAt I x).source →
        f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) a)) ∈ t ∧
          f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) a)) ∈ (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
rintro x' (hfx' : f x' ∈ e'.source) ⟨hx's, hx'⟩
[GOAL]
case h.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
x' : M
hfx' : f x' ∈ e'.source
hx's : x' ∈ s
hx' : x' ∈ (extChartAt I x).source
⊢ f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) x')) ∈ t ∧
    f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) x')) ∈ (extChartAt I' (f x)).source
[PROOFSTEP]
simp only [e.map_source hx', true_and_iff, e.left_inv hx', st hx's, *]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e))
    (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
[PROOFSTEP]
refine'
  ((hg.2.comp _ (hf.2.mono (inter_subset_right _ _)) (inter_subset_left _ _)).mono_of_mem
        (inter_mem _ self_mem_nhdsWithin)).congr_of_eventuallyEq
    _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f ⁻¹' (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') ∈
    𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x
[PROOFSTEP]
filter_upwards [A]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
⊢ ∀ (a : E),
    f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) a) ∈ t ∧
        f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) a) ∈ (extChartAt I' (f x)).source →
      a ∈ writtenInExtChartAt I I' x f ⁻¹' (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))) ⁻¹' t ∩ range ↑I')
[PROOFSTEP]
rintro x' ⟨ht, hfx'⟩
[GOAL]
case h.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
x' : E
ht : f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) x') ∈ t
hfx' : f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) x') ∈ (extChartAt I' (f x)).source
⊢ x' ∈ writtenInExtChartAt I I' x f ⁻¹' (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x))) ⁻¹' t ∩ range ↑I')
[PROOFSTEP]
simp only [*, mem_preimage, writtenInExtChartAt, (· ∘ ·), mem_inter_iff, e'.left_inv, true_and_iff]
[GOAL]
case h.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
x' : E
ht : f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) x') ∈ t
hfx' : f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) x') ∈ (extChartAt I' (f x)).source
⊢ ↑(extChartAt I' (f x)) (f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) x')) ∈ range ↑I'
[PROOFSTEP]
exact mem_range_self _
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
⊢ ↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e) =ᶠ[𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x]
    (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e')) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f
[PROOFSTEP]
filter_upwards [A]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
⊢ ∀ (a : E),
    f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) a) ∈ t ∧
        f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) a) ∈ (extChartAt I' (f x)).source →
      (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) a =
        ((↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x)))) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) a
[PROOFSTEP]
rintro x' ⟨-, hfx'⟩
[GOAL]
case h.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
x' : E
hfx' : f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) x') ∈ (extChartAt I' (f x)).source
⊢ (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) x' =
    ((↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I' (f x)))) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) x'
[PROOFSTEP]
simp only [*, (· ∘ ·), writtenInExtChartAt, e'.left_inv]
[GOAL]
case refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e'✝ : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : LocalEquiv M E := extChartAt I x
e' : LocalEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e'))
      (↑(LocalEquiv.symm e') ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
A :
  ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑(LocalEquiv.symm e) ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x,
    f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ t ∧ f (↑(LocalEquiv.symm e) y) ∈ e'.source
⊢ (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm e)) (↑e x) =
    ((↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm e')) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (↑e x)
[PROOFSTEP]
simp only [writtenInExtChartAt, (· ∘ ·), mem_extChartAt_source, e.left_inv, e'.left_inv]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t y
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
hx : f x = y
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
subst hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
exact hg.comp x hf st
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
hg : ContMDiff I' I'' n g
hf : ContMDiff I I' n f
⊢ ContMDiff I I'' n (g ∘ f)
[PROOFSTEP]
rw [← contMDiffOn_univ] at hf hg ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
hg : ContMDiffOn I' I'' n g univ
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
⊢ ContMDiffOn I I'' n (g ∘ f) univ
[PROOFSTEP]
exact hg.comp hf subset_preimage_univ
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffAt I' I'' n g y
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hx : f x = y
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
[PROOFSTEP]
subst hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
[PROOFSTEP]
exact hg.comp x hf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, E) n ↑I
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E) n (↑I) x
[PROOFSTEP]
refine' (contMDiffAt_iff _ _).mpr ⟨I.continuousAt, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) (↑I x)) ∘ ↑I ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I) (↑I x)
[PROOFSTEP]
refine' contDiffWithinAt_id.congr_of_eventuallyEq _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ ↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑I x] id
[PROOFSTEP]
exact eventuallyEq_of_mem self_mem_nhdsWithin fun x₂ => I.right_inv
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
⊢ (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I x) = id (↑I x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Function.comp_apply, I.left_inv, id_def]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I)
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffOn_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
⊢ ContinuousOn (↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I) ∧
    ∀ (x : E) (y : H),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt 𝓘(𝕜, E) x)))
        ((extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).target ∩
          ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt 𝓘(𝕜, E) x)) ⁻¹'
            (range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (extChartAt I y).source))
[PROOFSTEP]
refine' ⟨I.continuousOn_symm, fun x y => _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : E
y : H
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt 𝓘(𝕜, E) x)))
    ((extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt 𝓘(𝕜, E) x)) ⁻¹' (range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (extChartAt I y).source))
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : E
y : H
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I)
[PROOFSTEP]
exact contDiffOn_id.congr fun x' => I.right_inv
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(LocalEquiv.symm (LocalHomeomorph.extend e I))) (↑I '' e.target)
[PROOFSTEP]
refine (contMDiffOn_symm_of_mem_maximalAtlas he).comp (contMDiffOn_model_symm.mono <| image_subset_range _ _) ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
⊢ ↑I '' e.target ⊆ (fun x => ↑(LocalEquiv.symm (LocalEquiv.restr I.toLocalEquiv e.target)) x) ⁻¹' e.target
[PROOFSTEP]
simp_rw [image_subset_iff, LocalEquiv.restr_coe_symm, I.toLocalEquiv_coe_symm, preimage_preimage, I.left_inv,
  preimage_id']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
⊢ e.target ⊆ e.target
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
⊢ ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x))) (extChartAt I x).target
[PROOFSTEP]
convert contMDiffOn_extend_symm (chart_mem_maximalAtlas I x)
[GOAL]
case h.e'_23
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M
⊢ (extChartAt I x).target = ↑I '' (chartAt H x).toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
rw [extChartAt_target, I.image_eq]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
⊢ ContMDiff I I' n fun x => c
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
c : M'
x : M
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x => c) x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨continuousWithinAt_const, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
c : M'
x : M
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' n (↑(chartAt H' ((fun x => c) x)) ∘ (fun x => c) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp only [ContDiffWithinAtProp, (· ∘ ·)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
c : M'
x : M
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ↑I' (↑(chartAt H' c) c))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' univ) ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
[PROOFSTEP]
exact contDiffWithinAt_const
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³³ : ChartedSpace H M
inst✝³² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²² : TopologicalSpace M''
inst✝²¹ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁶ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝² : NormedAddCommGroup F₄
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
inst✝ : One M'
⊢ ContMDiff I I' n 1
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.one_def, contMDiff_const]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³³ : ChartedSpace H M
inst✝³² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²² : TopologicalSpace M''
inst✝²¹ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁶ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝² : NormedAddCommGroup F₄
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
inst✝ : One M'
⊢ Smooth I I' 1
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.one_def, smooth_const]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → F
hf : ∀ (x : M), x ∈ tsupport f → ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
⊢ ContMDiff I 𝓘(𝕜, F) n f
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → F
hf : ∀ (x : M), x ∈ tsupport f → ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
x : M
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x ∈ tsupport f
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → F
hf : ∀ (x : M), x ∈ tsupport f → ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
x : M
hx : x ∈ tsupport f
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
[PROOFSTEP]
exact hf x hx
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → F
hf : ∀ (x : M), x ∈ tsupport f → ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
x : M
hx : ¬x ∈ tsupport f
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
[PROOFSTEP]
refine' ContMDiffAt.congr_of_eventuallyEq _ (eventuallyEq_zero_nhds.2 hx)
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → F
hf : ∀ (x : M), x ∈ tsupport f → ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n f x
x : M
hx : ¬x ∈ tsupport f
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n 0 x
[PROOFSTEP]
exact contMDiffAt_const
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
⊢ ContMDiff I I n (inclusion h)
[PROOFSTEP]
rintro ⟨x, hx : x ∈ U⟩
[GOAL]
case mk
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
⊢ ContMDiffAt I I n (inclusion h) { val := x, property := hx }
[PROOFSTEP]
apply (contDiffWithinAt_localInvariantProp I I n).liftProp_inclusion
[GOAL]
case mk.hQ
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
⊢ ∀ (y : H), ContDiffWithinAtProp I I n id univ y
[PROOFSTEP]
intro y
[GOAL]
case mk.hQ
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ContDiffWithinAtProp I I n id univ y
[PROOFSTEP]
dsimp [ContDiffWithinAtProp]
[GOAL]
case mk.hQ
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (univ ∩ range ↑I) (↑I y)
[PROOFSTEP]
rw [Set.univ_inter]
[GOAL]
case mk.hQ
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (range ↑I) (↑I y)
[PROOFSTEP]
refine' contDiffWithinAt_id.congr _ _
[GOAL]
case mk.hQ.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ ∀ (y : E), y ∈ range ↑I → (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) y = id y
[PROOFSTEP]
exact I.rightInvOn
[GOAL]
case mk.hQ.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ n : ℕ∞
U V : Opens M
h : U ≤ V
x : M
hx : x ∈ U
y : H
⊢ (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑I y) = id (↑I y)
[PROOFSTEP]
exact congr_arg I (I.left_inv y)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
[PROOFSTEP]
simp (config := { contextual := true }) only [ContMDiffWithinAt, LiftPropWithinAt, ContDiffWithinAtProp, iff_def,
  mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContinuousWithinAt f s x
[PROOFSTEP]
exact ContDiffWithinAt.continuousWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
x : E
⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
[PROOFSTEP]
rw [← contMDiffWithinAt_univ, contMDiffWithinAt_iff_contDiffWithinAt, contDiffWithinAt_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
⊢ ∀ (a : E), a ∈ s → ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s a ↔ a ∈ s → ContDiffWithinAt 𝕜 n f s a
[PROOFSTEP]
simp [contMDiffWithinAt_iff_contDiffWithinAt]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f ↔ ContDiff 𝕜 n f
[PROOFSTEP]
rw [← contDiffOn_univ, ← contMDiffOn_univ, contMDiffOn_iff_contDiffOn]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I J' n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I (ModelWithCorners.prod I' J') n (fun x => (f x, g x)) s x
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg :
  ContinuousWithinAt g s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n
      (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I' J') (f x, g x)) ∘
        (fun x => (f x, g x)) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
exact ⟨hf.1.prod hg.1, hf.2.prod hg.2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F') n g s x
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' × F') n (fun x => (f x, g x)) s x
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E') (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg :
  ContinuousWithinAt g s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F') (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n
      (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E' × F') (f x, g x)) ∘ (fun x => (f x, g x)) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
exact ⟨hf.1.prod hg.1, hf.2.prod hg.2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContMDiffWithinAt (ModelWithCorners.prod I J) I n Prod.fst s p
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.fst s p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n
      (↑(extChartAt I p.fst) ∘ Prod.fst ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)))
      ((extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p).target ∩
        ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)) ⁻¹'
          (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.fst).source))
      (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p) p)
[PROOFSTEP]
refine ⟨continuousWithinAt_fst, contDiffWithinAt_fst.congr (fun y hy => ?_) ?_⟩
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
y : E × F
hy :
  y ∈
    (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)) ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.fst).source)
⊢ (↑(extChartAt I p.fst) ∘ Prod.fst ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p))) y = y.fst
[PROOFSTEP]
exact (extChartAt I p.1).right_inv ⟨hy.1.1.1, hy.1.2.1⟩
[GOAL]
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ (↑(extChartAt I p.fst) ∘ Prod.fst ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)))
      (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p) p) =
    (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p) p).fst
[PROOFSTEP]
exact (extChartAt I p.1).right_inv <| (extChartAt I p.1).map_source (mem_extChartAt_source _ _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContMDiffWithinAt (ModelWithCorners.prod I J) J n Prod.snd s p
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.snd s p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n
      (↑(extChartAt J p.snd) ∘ Prod.snd ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)))
      ((extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p).target ∩
        ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)) ⁻¹'
          (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.snd).source))
      (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p) p)
[PROOFSTEP]
refine ⟨continuousWithinAt_snd, contDiffWithinAt_snd.congr (fun y hy => ?_) ?_⟩
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
y : E × F
hy :
  y ∈
    (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)) ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.snd).source)
⊢ (↑(extChartAt J p.snd) ∘ Prod.snd ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p))) y = y.snd
[PROOFSTEP]
exact (extChartAt J p.2).right_inv ⟨hy.1.1.2, hy.1.2.2⟩
[GOAL]
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ (↑(extChartAt J p.snd) ∘ Prod.snd ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p)))
      (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p) p) =
    (↑(extChartAt (ModelWithCorners.prod I J) p) p).snd
[PROOFSTEP]
exact (extChartAt J p.2).right_inv <| (extChartAt J p.2).map_source (mem_extChartAt_source _ _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
s : Set M
x : M
⊢ ContMDiffWithinAt I (ModelWithCorners.prod I' J') n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt I I' n (Prod.fst ∘ f) s x ∧ ContMDiffWithinAt I J' n (Prod.snd ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => ⟨h.fst, h.snd⟩, fun h => _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
s : Set M
x : M
h : ContMDiffWithinAt I I' n (Prod.fst ∘ f) s x ∧ ContMDiffWithinAt I J' n (Prod.snd ∘ f) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I (ModelWithCorners.prod I' J') n f s x
[PROOFSTEP]
simpa only [Prod.mk.eta] using h.1.prod_mk h.2
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
x : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I' J') n f x ↔
    ContMDiffAt I I' n (Prod.fst ∘ f) x ∧ ContMDiffAt I J' n (Prod.snd ∘ f) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [← contMDiffWithinAt_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
x : M
⊢ ContMDiffWithinAt I (ModelWithCorners.prod I' J') n f univ x ↔
    ContMDiffWithinAt I I' n (Prod.fst ∘ f) univ x ∧ ContMDiffWithinAt I J' n (Prod.snd ∘ f) univ x
[PROOFSTEP]
exact contMDiffWithinAt_prod_iff f
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M' × N'
h : ContMDiff I I' n (Prod.fst ∘ f) ∧ ContMDiff I J' n (Prod.snd ∘ f)
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I' J') n f
[PROOFSTEP]
convert h.1.prod_mk h.2
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt J J' n g y
⊢ ContMDiffAt (ModelWithCorners.prod I J) (ModelWithCorners.prod I' J') n (Prod.map f g) (x, y)
[PROOFSTEP]
rw [← contMDiffWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x
hg : ContMDiffWithinAt J J' n g univ y
⊢ ContMDiffWithinAt (ModelWithCorners.prod I J) (ModelWithCorners.prod I' J') n (Prod.map f g) univ (x, y)
[PROOFSTEP]
convert hf.prod_map hg
[GOAL]
case h.e'_23
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x
hg : ContMDiffWithinAt J J' n g univ y
⊢ univ = univ ×ˢ univ
[PROOFSTEP]
exact univ_prod_univ.symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
p : M × N
hf : ContMDiffAt I I' n f p.fst
hg : ContMDiffAt J J' n g p.snd
⊢ ContMDiffAt (ModelWithCorners.prod I J) (ModelWithCorners.prod I' J') n (Prod.map f g) p
[PROOFSTEP]
rcases p with ⟨⟩
[GOAL]
case mk
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
fst✝ : M
snd✝ : N
hf : ContMDiffAt I I' n f (fst✝, snd✝).fst
hg : ContMDiffAt J J' n g (fst✝, snd✝).snd
⊢ ContMDiffAt (ModelWithCorners.prod I J) (ModelWithCorners.prod I' J') n (Prod.map f g) (fst✝, snd✝)
[PROOFSTEP]
exact hf.prod_map hg
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiff I I' n f
hg : ContMDiff J J' n g
⊢ ContMDiff (ModelWithCorners.prod I J) (ModelWithCorners.prod I' J') n (Prod.map f g)
[PROOFSTEP]
intro p
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : N → N'
r : Set N
y : N
hf : ContMDiff I I' n f
hg : ContMDiff J J' n g
p : M × N
⊢ ContMDiffAt (ModelWithCorners.prod I J) (ModelWithCorners.prod I' J') n (Prod.map f g) p
[PROOFSTEP]
exact (hf p.1).prod_map' (hg p.2)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
ι : Type u_21
inst✝² : Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) n φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, Fi i) n (fun x => φ x i) s x
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
ι : Type u_21
inst✝² : Fintype ι
Fi : ι → Type u_22
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fi i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fi i)
φ : M → (i : ι) → Fi i
⊢ ContinuousWithinAt φ s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, (i : ι) → Fi i) (φ x)) ∘ φ ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔
    ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, Fi i) n (fun x => φ x i) s x
[PROOFSTEP]
simp only [contMDiffWithinAt_iff, continuousWithinAt_pi, contDiffWithinAt_pi, forall_and, writtenInExtChartAt,
  extChartAt_model_space_eq_id, (· ∘ ·), LocalEquiv.refl_coe, id]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => ↑x.fst x.snd) (?m.1222478 hg hf) ((fun x => (g x, f x)) x)
[PROOFSTEP]
apply ContDiff.contDiffAt
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => ↑x.fst x.snd
[PROOFSTEP]
exact contDiff_fst.clm_apply contDiff_snd
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
⊢ s ⊆ (fun x => (g x, f x)) ⁻¹' univ
[PROOFSTEP]
simp_rw [preimage_univ, subset_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
⊢ SmoothOn I I (↑f) f.source
[PROOFSTEP]
apply contMDiffOn_of_locally_contMDiffOn
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
⊢ ∀ (x : M), x ∈ f.source → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
let c := chartAt H x
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
let c' := chartAt H (f x)
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨-, hxf⟩ := hf x hx
[GOAL]
case h.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨e, he, he' : EqOn (c' ∘ f ∘ c.symm) e (c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source), hex : c x ∈ e.source⟩ :=
  hxf
    (by simp only [hx, mfld_simps])
      -- We choose a convenient set `s` in `M`.
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
let s : Set M := (f.trans c').source ∩ ((c.trans e).trans c'.symm).source
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨s, (f.trans c').open_source.inter ((c.trans e).trans c'.symm).open_source, _, _⟩
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ x ∈ f.source ∧ ↑(chartAt H x) x ∈ e.source ∧ ↑e (↑(chartAt H x) x) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
rw [← he']
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ x ∈ f.source ∧
    ↑(chartAt H x) x ∈ e.source ∧
      (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑(chartAt H x) x) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
simp only [hx, hex, mfld_simps]
  -- We need to show `f` is `ContMDiffOn` the domain `s ∩ f.source`.  We show this in two
    -- steps: `f` is equal to `c'.symm ∘ e ∘ c` on that domain and that function is
    -- `ContMDiffOn` it.
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, hex, mfld_simps]
  -- We need to show `f` is `ContMDiffOn` the domain `s ∩ f.source`.  We show this in two
    -- steps: `f` is equal to `c'.symm ∘ e ∘ c` on that domain and that function is
    -- `ContMDiffOn` it.
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ s)
[PROOFSTEP]
have H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (c'.symm ∘ e ∘ c) s :=
  by
  have hc' : ContMDiffOn I I ⊤ c'.symm _ := contMDiffOn_chart_symm
  have he'' : ContMDiffOn I I ⊤ e _ := contMDiffOn_of_mem_contDiffGroupoid he
  have hc : ContMDiffOn I I ⊤ c _ := contMDiffOn_chart
  refine' (hc'.comp' (he''.comp' hc)).mono _
  mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
[PROOFSTEP]
have hc' : ContMDiffOn I I ⊤ c'.symm _ := contMDiffOn_chart_symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
hc' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c')) (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
[PROOFSTEP]
have he'' : ContMDiffOn I I ⊤ e _ := contMDiffOn_of_mem_contDiffGroupoid he
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
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N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
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inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
hc' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c')) (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
he'' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑e) e.source
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
[PROOFSTEP]
have hc : ContMDiffOn I I ⊤ c _ := contMDiffOn_chart
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
hc' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c')) (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
he'' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑e) e.source
hc : ContMDiffOn I I ⊤ (↑c) (chartAt H x).toLocalEquiv.source
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
[PROOFSTEP]
refine' (hc'.comp' (he''.comp' hc)).mono _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
hc' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c')) (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
he'' : ContMDiffOn I I ⊤ (↑e) e.source
hc : ContMDiffOn I I ⊤ (↑c) (chartAt H x).toLocalEquiv.source
⊢ s ⊆ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∩ ↑c ⁻¹' e.source ∩ ↑e ∘ ↑c ⁻¹' (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ s)
[PROOFSTEP]
have H₂ : EqOn f (c'.symm ∘ e ∘ c) s := by
  intro y hy
  simp only [mfld_simps] at hy
  have hy₁ : f y ∈ c'.source := by simp only [hy, mfld_simps]
  have hy₂ : y ∈ c.source := by simp only [hy, mfld_simps]
  have hy₃ : c y ∈ c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source := by simp only [hy, mfld_simps]
  calc
    f y = c'.symm (c' (f y)) := by rw [c'.left_inv hy₁]
    _ = c'.symm (c' (f (c.symm (c y)))) := by rw [c.left_inv hy₂]
    _ = c'.symm (e (c y)) := by rw [← he' hy₃]; rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ EqOn (↑f) (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy : y ∈ s
⊢ ↑f y = (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
⊢ ↑f y = (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) y
[PROOFSTEP]
have hy₁ : f y ∈ c'.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
⊢ ↑f y ∈ c'.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
⊢ ↑f y = (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) y
[PROOFSTEP]
have hy₂ : y ∈ c.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
⊢ y ∈ c.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
⊢ ↑f y = (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) y
[PROOFSTEP]
have hy₃ : c y ∈ c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
⊢ ↑c y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
hy₃ : ↑c y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
⊢ ↑f y = (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) y
[PROOFSTEP]
calc
  f y = c'.symm (c' (f y)) := by rw [c'.left_inv hy₁]
  _ = c'.symm (c' (f (c.symm (c y)))) := by rw [c.left_inv hy₂]
  _ = c'.symm (e (c y)) := by rw [← he' hy₃]; rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
hy₃ : ↑c y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
⊢ ↑f y = ↑(LocalHomeomorph.symm c') (↑c' (↑f y))
[PROOFSTEP]
rw [c'.left_inv hy₁]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
hy₃ : ↑c y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm c') (↑c' (↑f y)) = ↑(LocalHomeomorph.symm c') (↑c' (↑f (↑(LocalHomeomorph.symm c) (↑c y))))
[PROOFSTEP]
rw [c.left_inv hy₂]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
hy₃ : ↑c y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm c') (↑c' (↑f (↑(LocalHomeomorph.symm c) (↑c y)))) = ↑(LocalHomeomorph.symm c') (↑e (↑c y))
[PROOFSTEP]
rw [← he' hy₃]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy :
  (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    (y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.source ∧ ↑(chartAt H x) y ∈ e.source) ∧
      ↑e (↑(chartAt H x) y) ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
hy₃ : ↑c y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm c') (↑c' (↑f (↑(LocalHomeomorph.symm c) (↑c y)))) =
    ↑(LocalHomeomorph.symm c') ((↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑c y))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
H₂ : EqOn (↑f) (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ s)
[PROOFSTEP]
refine' (H₁.congr H₂).mono _
[GOAL]
case h.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ LocalHomeomorph.symm c').toLocalEquiv.source
H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
H₂ : EqOn (↑f) (↑(LocalHomeomorph.symm c') ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ f.source ∩ s ⊆ s
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
⊢ LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source ↔
    SmoothOn I I (↑f) f.source ∧ SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
⊢ LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source →
    SmoothOn I I (↑f) f.source ∧ SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
⊢ SmoothOn I I (↑f) f.source ∧ SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨isLocalStructomorphOn_contDiffGroupoid_iff_aux h, isLocalStructomorphOn_contDiffGroupoid_iff_aux _⟩
    -- todo: we can generalize this part of the proof to a lemma
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
⊢ LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
intro X hX
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source X
[PROOFSTEP]
let x := f.symm X
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source X
[PROOFSTEP]
have hx : x ∈ f.source := f.symm.mapsTo hX
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source X
[PROOFSTEP]
let c := chartAt H x
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source X
[PROOFSTEP]
let c' := chartAt H X
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source X
[PROOFSTEP]
obtain ⟨-, hxf⟩ := h x hx
[GOAL]
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑(LocalHomeomorph.symm f))
    (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source X
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(f.symm.continuousAt hX).continuousWithinAt, fun h2x => _⟩
[GOAL]
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      EqOn
          (↑(chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) ∘
            ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)))
          (↑e.toLocalEquiv)
          (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source ∩ e.source) ∧
        ↑(chartAt H X) X ∈ e.source
[PROOFSTEP]
obtain ⟨e, he, h2e, hef, hex⟩ :
  ∃ e : LocalHomeomorph H H,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source ∧ EqOn (c' ∘ f ∘ c.symm) e e.source ∧ c x ∈ e.source :=
  by
  have h1 : c' = chartAt H (f x) := by simp only [f.right_inv hX]
  have h2 : c' ∘ f ∘ c.symm = ⇑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') := rfl
  have hcx : c x ∈ c.symm ⁻¹' f.source := by simp only [hx, mfld_simps]
  rw [h2]
  rw [← h1, h2, LocalHomeomorph.isLocalStructomorphWithinAt_iff'] at hxf
  · exact hxf hcx
  · mfld_set_tac
  · apply Or.inl
    simp only [hx, h1, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
        EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source ∧ ↑c x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have h1 : c' = chartAt H (f x) := by simp only [f.right_inv hX]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
⊢ c' = chartAt H (↑f x)
[PROOFSTEP]
simp only [f.right_inv hX]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
        EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source ∧ ↑c x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have h2 : c' ∘ f ∘ c.symm = ⇑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') := rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
        EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source ∧ ↑c x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have hcx : c x ∈ c.symm ⁻¹' f.source := by simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
⊢ ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
hcx : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
        EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source ∧ ↑c x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rw [h2]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
hcx : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
        EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')) (↑e) e.source ∧ ↑c x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rw [← h1, h2, LocalHomeomorph.isLocalStructomorphWithinAt_iff'] at hxf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  ↑(chartAt H x) x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source →
    ∃ e,
      e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
        e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
          EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')) (↑e) e.source ∧ ↑(chartAt H x) x ∈ e.source
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
hcx : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∧
        EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')) (↑e) e.source ∧ ↑c x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
exact hxf hcx
[GOAL]
case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I) (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
hcx : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ⊆ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I) (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
hcx : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈
    (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∪ (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source)ᶜ
[PROOFSTEP]
apply Or.inl
[GOAL]
case hx.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I) (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
h1 : c' = chartAt H (↑f x)
h2 : ↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c) = ↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')
hcx : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, h1, mfld_simps]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      EqOn
          (↑(chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) ∘
            ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)))
          (↑e.toLocalEquiv)
          (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source ∩ e.source) ∧
        ↑(chartAt H X) X ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have h2X : c' X = e (c (f.symm X)) := by
  rw [← hef hex]
  dsimp only [Function.comp]
  have hfX : f.symm X ∈ c.source := by simp only [hX, mfld_simps]
  rw [c.left_inv hfX, f.right_inv hX]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
⊢ ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
[PROOFSTEP]
rw [← hef hex]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
⊢ ↑c' X = (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑c x)
[PROOFSTEP]
dsimp only [Function.comp]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
⊢ ↑(chartAt H X) X =
    ↑(chartAt H X)
      (↑f
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)))
          (↑(chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))))
[PROOFSTEP]
have hfX : f.symm X ∈ c.source := by simp only [hX, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm f) X ∈ c.source
[PROOFSTEP]
simp only [hX, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
hfX : ↑(LocalHomeomorph.symm f) X ∈ c.source
⊢ ↑(chartAt H X) X =
    ↑(chartAt H X)
      (↑f
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)))
          (↑(chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))))
[PROOFSTEP]
rw [c.left_inv hfX, f.right_inv hX]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      EqOn
          (↑(chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) ∘
            ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)))
          (↑e.toLocalEquiv)
          (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source ∩ e.source) ∧
        ↑(chartAt H X) X ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have h3e : EqOn (c ∘ f.symm ∘ c'.symm) e.symm (c'.symm ⁻¹' f.target ∩ e.target) :=
  by
  have h1 : EqOn (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm e.symm (e.target ∩ e.target) :=
    by
    apply EqOn.symm
    refine' e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn _ _
    · rw [inter_self, inter_eq_right_iff_subset.mpr h2e]
    · rw [inter_self]; exact hef.symm
  have h2 : e.target ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target := by
    intro x hx; rw [← e.right_inv hx, ← hef (e.symm.mapsTo hx)]
    exact LocalHomeomorph.mapsTo _ (h2e <| e.symm.mapsTo hx)
  rw [inter_self] at h1
  rwa [inter_eq_right_iff_subset.mpr]
  refine' h2.trans _
  mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
[PROOFSTEP]
have h1 : EqOn (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm e.symm (e.target ∩ e.target) :=
  by
  apply EqOn.symm
  refine' e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn _ _
  · rw [inter_self, inter_eq_right_iff_subset.mpr h2e]
  · rw [inter_self]; exact hef.symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (e.target ∩ e.target)
[PROOFSTEP]
apply EqOn.symm
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (e.target ∩ e.target)
[PROOFSTEP]
refine' e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn _ _
[GOAL]
case h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ e.source ∩ e.source = (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ e.source
[PROOFSTEP]
rw [inter_self, inter_eq_right_iff_subset.mpr h2e]
[GOAL]
case h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ EqOn (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')) (e.source ∩ e.source)
[PROOFSTEP]
rw [inter_self]
[GOAL]
case h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
⊢ EqOn (↑e) (↑(LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c')) e.source
[PROOFSTEP]
exact hef.symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (e.target ∩ e.target)
⊢ EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
[PROOFSTEP]
have h2 : e.target ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target := by
  intro x hx; rw [← e.right_inv hx, ← hef (e.symm.mapsTo hx)]
  exact LocalHomeomorph.mapsTo _ (h2e <| e.symm.mapsTo hx)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (e.target ∩ e.target)
⊢ e.target ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x✝ : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx✝ : x✝ ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x✝
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x✝)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x✝)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x✝)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x✝) x✝)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x✝ ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (e.target ∩ e.target)
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ x ∈ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
rw [← e.right_inv hx, ← hef (e.symm.mapsTo hx)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x✝ : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx✝ : x✝ ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x✝
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x✝)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x✝)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x✝)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x✝) x✝)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x✝ ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (e.target ∩ e.target)
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) x) ∈
    (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
exact LocalHomeomorph.mapsTo _ (h2e <| e.symm.mapsTo hx)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) (e.target ∩ e.target)
h2 : e.target ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
⊢ EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
[PROOFSTEP]
rw [inter_self] at h1
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 : EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) e.target
h2 : e.target ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
⊢ EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
[PROOFSTEP]
rwa [inter_eq_right_iff_subset.mpr]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 : EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) e.target
h2 : e.target ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
⊢ e.target ⊆ ↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target
[PROOFSTEP]
refine' h2.trans _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h1 : EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c'))) (↑(LocalHomeomorph.symm e)) e.target
h2 : e.target ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
⊢ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ⊆ ↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h3e :
  EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      EqOn
          (↑(chartAt H (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) ∘
            ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)))
          (↑e.toLocalEquiv)
          (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source ∩ e.source) ∧
        ↑(chartAt H X) X ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨e.symm, StructureGroupoid.symm _ he, h3e, _⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h3e :
  EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
⊢ ↑(chartAt H X) X ∈ (LocalHomeomorph.symm e).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
rw [h2X]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e✝ : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
X : M'
hX : X ∈ (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
x : M := ↑(LocalHomeomorph.symm f) X
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
h2x : ↑(chartAt H X) X ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H X)) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f).toLocalEquiv.source
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
h2e : e.source ⊆ (LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
hef : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑e) e.source
hex : ↑c x ∈ e.source
h2X : ↑c' X = ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X))
h3e :
  EqOn (↑c ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c')) (↑(LocalHomeomorph.symm e))
    (↑(LocalHomeomorph.symm c') ⁻¹' f.target ∩ e.target)
⊢ ↑e (↑c (↑(LocalHomeomorph.symm f) X)) ∈ (LocalHomeomorph.symm e).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
exact e.mapsTo hex
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
⊢ SmoothOn I I (↑f) f.source ∧ SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target →
    LiftPropOn (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source
[PROOFSTEP]
rintro ⟨h₁, h₂⟩ x hx
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ LiftPropWithinAt (StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)) (↑f) f.source x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(h₁ x hx).continuousWithinAt, _⟩
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
let c := chartAt H x
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
⊢ StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
let c' := chartAt H (f x)
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
⊢ StructureGroupoid.IsLocalStructomorphWithinAt (contDiffGroupoid ⊤ I)
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
rintro
  (hx' : c x ∈ c.symm ⁻¹' f.source)
    -- propose `(c.symm.trans f).trans c'` as a candidate for a local structomorphism of `H`
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ∧
      EqOn (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑e.toLocalEquiv)
          (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source ∩ e.source) ∧
        ↑(chartAt H x) x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(c.symm.trans f).trans c', ⟨_, _⟩, (_ : EqOn (c' ∘ f ∘ c.symm) _ _), _⟩
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ Pregroupoid.property
    {
      property := fun f s =>
        ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I),
      comp :=
        (_ :
          ∀ {f g : H → H} {u v : Set H},
            ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I) →
              ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' v ∩ range ↑I) →
                IsOpen u →
                  IsOpen v →
                    IsOpen (u ∩ f ⁻¹' v) →
                      (fun f s =>
                          ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
                            (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I))
                        (g ∘ f) (u ∩ f ⁻¹' v)),
      id_mem :=
        (_ : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ id ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' univ ∩ range ↑I)),
      locality :=
        (_ :
          ∀ {f : H → H} {u : Set H},
            IsOpen u →
              (∀ (x : H),
                  x ∈ u →
                    ∃ v,
                      IsOpen v ∧
                        x ∈ v ∧
                          (fun f s =>
                              ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
                                (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I))
                            f (u ∩ v)) →
                ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I)),
      congr :=
        (_ :
          ∀ {f g : H → H} {u : Set H},
            IsOpen u →
              (∀ (x : H), x ∈ u → g x = f x) →
                ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I) →
                  ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I)) }
    (↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy : y ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c') ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c') ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
have H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ f (f ≫ₕ c').source ((extChartAt I x).symm y) :=
  by
  refine' (h₁ ((extChartAt I x).symm y) _).mono _
  · simp only [hy, mfld_simps]
  · mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
[PROOFSTEP]
refine' (h₁ ((extChartAt I x).symm y) _).mono _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ f.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ⊆ f.source
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c') ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
have hy' : (extChartAt I x).symm y ∈ c.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c') ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
have hy'' : f ((extChartAt I x).symm y) ∈ c'.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
⊢ ↑f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∈ c'.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∈ c'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c') ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hy' hy''] at H
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y))
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∈ c'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c') ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
convert H.2.mono _
[GOAL]
case h.e'_12
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y))
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∈ c'.source
⊢ y = ↑(extChartAt I x) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_1.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  ((↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.source) ∧
      ↑f (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ x)) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
        (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f) (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y))
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y) ∈ c'.source
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I ⊆
    ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (f ≫ₕ c').toLocalEquiv.source ∩ range ↑I
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ Pregroupoid.property
    {
      property := fun f s =>
        ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I),
      comp :=
        (_ :
          ∀ {f g : H → H} {u v : Set H},
            ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I) →
              ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' v ∩ range ↑I) →
                IsOpen u →
                  IsOpen v →
                    IsOpen (u ∩ f ⁻¹' v) →
                      (fun f s =>
                          ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
                            (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I))
                        (g ∘ f) (u ∩ f ⁻¹' v)),
      id_mem :=
        (_ : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ id ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' univ ∩ range ↑I)),
      locality :=
        (_ :
          ∀ {f : H → H} {u : Set H},
            IsOpen u →
              (∀ (x : H),
                  x ∈ u →
                    ∃ v,
                      IsOpen v ∧
                        x ∈ v ∧
                          (fun f s =>
                              ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
                                (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' s ∩ range ↑I))
                            f (u ∩ v)) →
                ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I)),
      congr :=
        (_ :
          ∀ {f g : H → H} {u : Set H},
            IsOpen u →
              (∀ (x : H), x ∈ u → g x = f x) →
                ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ f ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I) →
                  ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ g ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I)) (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' u ∩ range ↑I)) }
    (↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')))
    ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy : y ∈ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
have H : ContMDiffWithinAt I I ⊤ f.symm (f.symm ≫ₕ c).source ((extChartAt I (f x)).symm y)
[GOAL]
case H
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
[PROOFSTEP]
refine' (h₂ ((extChartAt I (f x)).symm y) _).mono _
[GOAL]
case H.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ f.target
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case H.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
⊢ (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source ⊆ f.target
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
have hy' : (extChartAt I (f x)).symm y ∈ c'.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
have hy'' : f.symm ((extChartAt I (f x)).symm y) ∈ c.source := by simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∈ c.source
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContMDiffWithinAt I I ⊤ (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
    (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
hy'' : ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∈ c.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hy' hy''] at H
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y))
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
hy'' : ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∈ c.source
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c')) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm I))
    (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I) y
[PROOFSTEP]
convert H.2.mono _
[GOAL]
case h.e'_12
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y))
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
hy'' : ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∈ c.source
⊢ y = ↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y)
[PROOFSTEP]
simp only [hy, mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_2.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H✝ M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H✝
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : LocalHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑(ModelWithCorners.symm I) y ∈ (chartAt H✝ (↑f x)).toLocalEquiv.target ∧
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y) ∈ f.target ∧
        ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H✝ (↑f x))) (↑(ModelWithCorners.symm I) y)) ∈
          (chartAt H✝ x).toLocalEquiv.source) ∧
    y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑(LocalHomeomorph.symm f)) (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))))
      (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y))
hy' : ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y ∈ c'.source
hy'' : ↑(LocalHomeomorph.symm f) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) y) ∈ c.source
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.target ∩ range ↑I ⊆
    ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I (↑f x))) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ c).toLocalEquiv.source ∩ range ↑I
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
  -- now check the candidate local structomorphism agrees with `f` where it is supposed to
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm c)) (↑((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source ∩ ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ EqOn (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source ∩
      ((chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' f.source ∩
        ↑f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (chartAt H (↑f x)).toLocalEquiv.source))
[PROOFSTEP]
apply eqOn_refl
[GOAL]
case mpr.intro.refine'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³⁶ : TopologicalSpace M
inst✝³⁵ : ChartedSpace H M
inst✝³⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝²³ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝²² : NormedAddCommGroup F
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝²⁰ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁸ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹³ : TopologicalSpace N'
inst✝¹² : ChartedSpace G' N'
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : LocalHomeomorph M H
e' : LocalHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
V : Type u_21
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'
f : LocalHomeomorph M M'
h₁ : SmoothOn I I (↑f) f.source
h₂ : SmoothOn I I (↑(LocalHomeomorph.symm f)) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : LocalHomeomorph M H := chartAt H x
c' : LocalHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm c) ⁻¹' f.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ((LocalHomeomorph.symm c ≫ₕ f) ≫ₕ c').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx', mfld_simps]