[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W
f : V → W
M : ℝ
h : ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
x : V
⊢ M * ‖x‖ ≤ max M 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W
f : V → W
M : ℝ
h : ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
x : V
⊢ M ≤ max M 1
[PROOFSTEP]
apply le_max_left
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K ↑f
x : V₁
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [map_zero, dist_zero_right] using
  h.dist_le_mul x
    0
      -- porting note: moved this declaration up so we could get a `FunLike` instance sooner.
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : f.toFun = g.toFun
⊢ f = g
[PROOFSTEP]
cases f
[GOAL]
case mk
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
toFun✝ : V₁ → V₂
map_add'✝ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), toFun✝ (v₁ + v₂) = toFun✝ v₁ + toFun✝ v₂
bound'✝ : ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖toFun✝ v‖ ≤ C * ‖v‖
h : { toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ }.toFun = g.toFun
⊢ { toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ } = g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case mk.mk
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
toFun✝¹ : V₁ → V₂
map_add'✝¹ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), toFun✝¹ (v₁ + v₂) = toFun✝¹ v₁ + toFun✝¹ v₂
bound'✝¹ : ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖toFun✝¹ v‖ ≤ C * ‖v‖
toFun✝ : V₁ → V₂
map_add'✝ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), toFun✝ (v₁ + v₂) = toFun✝ v₁ + toFun✝ v₂
bound'✝ : ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖toFun✝ v‖ ≤ C * ‖v‖
h :
  { toFun := toFun✝¹, map_add' := map_add'✝¹, bound' := bound'✝¹ }.toFun =
    { toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, map_add' := map_add'✝¹, bound' := bound'✝¹ } =
    { toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
H : ↑f = ↑g
⊢ f = g
[PROOFSTEP]
cases f
[GOAL]
case mk
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
toFun✝ : V₁ → V₂
map_add'✝ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), toFun✝ (v₁ + v₂) = toFun✝ v₁ + toFun✝ v₂
bound'✝ : ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖toFun✝ v‖ ≤ C * ‖v‖
H : ↑{ toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ } = ↑g
⊢ { toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ } = g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case mk.mk
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
toFun✝¹ : V₁ → V₂
map_add'✝¹ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), toFun✝¹ (v₁ + v₂) = toFun✝¹ v₁ + toFun✝¹ v₂
bound'✝¹ : ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖toFun✝¹ v‖ ≤ C * ‖v‖
toFun✝ : V₁ → V₂
map_add'✝ : ∀ (v₁ v₂ : V₁), toFun✝ (v₁ + v₂) = toFun✝ v₁ + toFun✝ v₂
bound'✝ : ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖toFun✝ v‖ ≤ C * ‖v‖
H :
  ↑{ toFun := toFun✝¹, map_add' := map_add'✝¹, bound' := bound'✝¹ } =
    ↑{ toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ }
⊢ { toFun := toFun✝¹, map_add' := map_add'✝¹, bound' := bound'✝¹ } =
    { toFun := toFun✝, map_add' := map_add'✝, bound' := bound'✝ }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ Function.Injective toFun
[PROOFSTEP]
apply coe_inj
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ f = g → ∀ (x : V₁), ↑f x = ↑g x
[PROOFSTEP]
rintro rfl x
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
⊢ ↑f x = ↑f x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : toAddMonoidHom f = toAddMonoidHom g
⊢ ↑f = ↑g
[PROOFSTEP]
rw [← coe_toAddMonoidHom f, ← coe_toAddMonoidHom g, h]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : V₁), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖↑f x‖
x y : V₁
⊢ dist x y ≤ ↑K * dist (↑f x) (↑f y)
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_eq_norm, map_sub] using h (x - y)
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
⊢ SurjectiveOnWith f K C'
[PROOFSTEP]
intro k k_in
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
k : V₂
k_in : k ∈ K
⊢ ∃ g, ↑f g = k ∧ ‖g‖ ≤ C' * ‖k‖
[PROOFSTEP]
rcases h k k_in with ⟨g, rfl, hg⟩
[GOAL]
case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : ↑f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖↑f g‖
⊢ ∃ g_1, ↑f g_1 = ↑f g ∧ ‖g_1‖ ≤ C' * ‖↑f g‖
[PROOFSTEP]
use g, rfl
[GOAL]
case right
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : ↑f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖↑f g‖
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖↑f g‖
[PROOFSTEP]
by_cases Hg : ‖f g‖ = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : ↑f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖↑f g‖
Hg : ‖↑f g‖ = 0
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖↑f g‖
[PROOFSTEP]
simpa [Hg] using hg
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : ↑f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖↑f g‖
Hg : ¬‖↑f g‖ = 0
⊢ ‖g‖ ≤ C' * ‖↑f g‖
[PROOFSTEP]
exact hg.trans (by gcongr)
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : ↑f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖↑f g‖
Hg : ¬‖↑f g‖ = 0
⊢ C * ‖↑f g‖ ≤ C' * ‖↑f g‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
⊢ ∃ C', C' > 0 ∧ SurjectiveOnWith f K C'
[PROOFSTEP]
refine' ⟨|C| + 1, _, _⟩
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
⊢ |C| + 1 > 0
[PROOFSTEP]
linarith [abs_nonneg C]
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
⊢ SurjectiveOnWith f K (|C| + 1)
[PROOFSTEP]
apply h.mono
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C : ℝ
h : SurjectiveOnWith f K C
⊢ C ≤ |C| + 1
[PROOFSTEP]
linarith [le_abs_self C]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
obtain ⟨C, _Cpos, hC⟩ := f.bound
[GOAL]
case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
replace hC := hC x
[GOAL]
case intro.intro
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
by_cases h : ‖x‖ = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rwa [h, mul_zero] at hC ⊢
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have hlt : 0 < ‖x‖ := lt_of_le_of_ne (norm_nonneg x) (Ne.symm h)
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact (div_le_iff hlt).mp (le_csInf bounds_nonempty fun c ⟨_, hc⟩ => (div_le_iff hlt).mpr <| by apply hc)
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
c : ℝ
x✝ : c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : V₁), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖}
left✝ : 0 ≤ c
hc : ∀ (x : V₁), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖
[PROOFSTEP]
apply hc
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ ≤ ‖f‖ * c
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case a0
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c
⊢ 0 ≤ ‖f‖
[PROOFSTEP]
exact f.opNorm_nonneg
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
h : ‖f‖ ≤ c
x : V₁
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ ≤ c * ‖x‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x y : V₁
⊢ dist (↑f x) (↑f y) ≤ ↑{ val := ‖f‖, property := (_ : 0 ≤ ‖f‖) } * dist x y
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm, dist_eq_norm, ← map_sub]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x y : V₁
⊢ ‖↑f (x - y)‖ ≤ ↑{ val := ‖f‖, property := (_ : 0 ≤ ‖f‖) } * ‖x - y‖
[PROOFSTEP]
apply le_opNorm
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ↑f
x : V₁
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_zero_right, map_zero] using hf.dist_le_mul x 0
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
h : ∀ (x : V₁), ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : V₁
⊢ C * ‖x‖ ≤ max C 0 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
h : ∀ (x : V₁), ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : V₁
⊢ C ≤ max C 0
[PROOFSTEP]
apply le_max_left
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖↑f v‖ + ‖↑g v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ + ‖g‖ * ‖v‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h₁
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖↑f v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
[PROOFSTEP]
apply le_opNorm
[GOAL]
case h₂
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖↑g v‖ ≤ ‖g‖ * ‖v‖
[PROOFSTEP]
apply le_opNorm
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖f‖ * ‖v‖ + ‖g‖ * ‖v‖ = (‖f‖ + ‖g‖) * ‖v‖
[PROOFSTEP]
rw [add_mul]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∀ (v : V₁), ‖↑0 v‖ ≤ 0 * ‖v‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ‖↑0 x✝‖ = 0 * ‖x✝‖
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ‖↑0 x✝‖ = 0
[PROOFSTEP]
exact norm_zero
[GOAL]
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hn : ‖f‖ = 0
x : V₁
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [hn, zero_mul]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hf : f = 0
⊢ ‖f‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [hf, opNorm_zero]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∀ (v : V), ‖↑(AddMonoidHom.id V) v‖ ≤ 1 * ‖v‖
[PROOFSTEP]
simp [le_refl]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V
⊢ ‖↑(id V) x‖ ≤ 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖id V‖
[PROOFSTEP]
let ⟨x, hx⟩ := h
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖id V‖
[PROOFSTEP]
have := (id V).ratio_le_opNorm x
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖↑(id V) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id V‖
⊢ 1 ≤ ‖id V‖
[PROOFSTEP]
rwa [id_apply, div_self hx] at this
[GOAL]
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
⊢ ‖id V‖ = 1
[PROOFSTEP]
refine' norm_id_of_nontrivial_seminorm V _
[GOAL]
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx⟩ := exists_ne (0 : V)
[GOAL]
case intro
V✝ : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V✝
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨x, ne_of_gt (norm_pos_iff.2 hx)⟩
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖↑(-toAddMonoidHom f) v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
[PROOFSTEP]
simp [le_opNorm f v]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
[PROOFSTEP]
simp only [norm_def, coe_neg, norm_neg, Pi.neg_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
src✝ : V₁ →+ V₂ := toAddMonoidHom f - toAddMonoidHom g
⊢ ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖ZeroHom.toFun (↑src✝) v‖ ≤ C * ‖v‖
[PROOFSTEP]
simp only [AddMonoidHom.sub_apply, AddMonoidHom.toFun_eq_coe, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
src✝ : V₁ →+ V₂ := toAddMonoidHom f - toAddMonoidHom g
⊢ ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖↑(toAddMonoidHom f + -toAddMonoidHom g) v‖ ≤ C * ‖v‖
[PROOFSTEP]
exact (f + -g).bound'
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
R : Type u_5
R' : Type u_6
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : DistribMulAction R V₂
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace R
inst✝⁴ : BoundedSMul R V₂
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : DistribMulAction R' V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R'
inst✝ : BoundedSMul R' V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
x : V₁
⊢ ‖(r • ↑f) x‖ ≤ dist r 0 * b * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have := dist_smul_pair r (f x) (f 0)
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
R : Type u_5
R' : Type u_6
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : DistribMulAction R V₂
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace R
inst✝⁴ : BoundedSMul R V₂
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : DistribMulAction R' V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R'
inst✝ : BoundedSMul R' V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
x : V₁
this : dist (r • ↑f x) (r • ↑f 0) ≤ dist r 0 * dist (↑f x) (↑f 0)
⊢ ‖(r • ↑f) x‖ ≤ dist r 0 * b * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [map_zero, smul_zero, dist_zero_right, dist_zero_right] at this
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
R : Type u_5
R' : Type u_6
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : DistribMulAction R V₂
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace R
inst✝⁴ : BoundedSMul R V₂
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : DistribMulAction R' V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R'
inst✝ : BoundedSMul R' V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
x : V₁
this : ‖r • ↑f x‖ ≤ dist r 0 * ‖↑f x‖
⊢ ‖(r • ↑f) x‖ ≤ dist r 0 * b * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
R : Type u_5
R' : Type u_6
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : DistribMulAction R V₂
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace R
inst✝⁴ : BoundedSMul R V₂
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : DistribMulAction R' V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R'
inst✝ : BoundedSMul R' V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
x : V₁
this : ‖r • ↑f x‖ ≤ dist r 0 * ‖↑f x‖
⊢ ‖(r • ↑f) x‖ ≤ dist r 0 * (b * ‖x‖)
[PROOFSTEP]
refine' this.trans _
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
R : Type u_5
R' : Type u_6
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : DistribMulAction R V₂
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace R
inst✝⁴ : BoundedSMul R V₂
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : DistribMulAction R' V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R'
inst✝ : BoundedSMul R' V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
x : V₁
this : ‖r • ↑f x‖ ≤ dist r 0 * ‖↑f x‖
⊢ dist r 0 * ‖↑f x‖ ≤ dist r 0 * (b * ‖x‖)
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
R : Type u_5
R' : Type u_6
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : DistribMulAction R V₂
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace R
inst✝⁴ : BoundedSMul R V₂
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : DistribMulAction R' V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace R'
inst✝ : BoundedSMul R' V₂
r : R
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
x : V₁
this : ‖r • ↑f x‖ ≤ dist r 0 * ‖↑f x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ b * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact hb x
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
n : ℕ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖(n • ↑f) v‖ ≤ n • b * ‖v‖
[PROOFSTEP]
rw [Pi.smul_apply, nsmul_eq_mul, mul_assoc]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
n : ℕ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖n • ↑f v‖ ≤ ↑n * (b * ‖v‖)
[PROOFSTEP]
exact (norm_nsmul_le _ _).trans (by gcongr; apply hb)
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
n : ℕ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ↑n * ‖↑f v‖ ≤ ↑n * (b * ‖v‖)
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
n : ℕ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖↑f v‖ ≤ b * ‖v‖
[PROOFSTEP]
apply hb
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
z : ℤ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖(z • ↑f) v‖ ≤ ‖z‖ • b * ‖v‖
[PROOFSTEP]
rw [Pi.smul_apply, smul_eq_mul, mul_assoc]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
z : ℤ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖z • ↑f v‖ ≤ ‖z‖ * (b * ‖v‖)
[PROOFSTEP]
exact (norm_zsmul_le _ _).trans (by gcongr; apply hb)
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
z : ℤ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖z‖ * ‖↑f v‖ ≤ ‖z‖ * (b * ‖v‖)
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
z : ℤ
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
b : ℝ
hb : ∀ (v : V₁), ‖toFun f v‖ ≤ b * ‖v‖
v : V₁
⊢ ‖↑f v‖ ≤ b * ‖v‖
[PROOFSTEP]
apply hb
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ↑(∑ i in s, f i) v = ∑ i in s, ↑(f i) v
[PROOFSTEP]
simp only [coe_sum, Finset.sum_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖g‖ * ‖↑f v‖ ≤ ‖g‖ * (‖f‖ * ‖v‖)
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖↑f v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
[PROOFSTEP]
apply le_opNorm
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
⊢ ‖g‖ * (‖f‖ * ‖v‖) = ‖g‖ * ‖f‖ * ‖v‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ : ℝ
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ ‖g‖ * ‖f‖ ≤ C₂ * C₁
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case b0
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ : ℝ
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ 0 ≤ C₂
[PROOFSTEP]
exact le_trans (norm_nonneg _) hg
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ C₃ : ℝ
h : C₃ = C₂ * C₁
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ ‖NormedAddGroupHom.comp g f‖ ≤ C₃
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ C₃ : ℝ
h : C₃ = C₂ * C₁
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
⊢ ‖NormedAddGroupHom.comp g f‖ ≤ C₂ * C₁
[PROOFSTEP]
exact norm_comp_le_of_le hg hf
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
    (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
      (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
a✝ b✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a✝ + b✝) =
    (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a✝ + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b✝
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
a✝ b✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ↑((fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a✝ + b✝)) x✝ =
    ↑((fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a✝ + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b✝) x✝
[PROOFSTEP]
exact map_add g _ _
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₂ V₃),
    (fun g =>
          AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
            (_ :
              ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                  (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
        (a + b) =
      (fun g =>
            AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
              (_ :
                ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                  (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                    (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
          a +
        (fun g =>
            AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
              (_ :
                ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                  (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                    (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
          b
[PROOFSTEP]
intros
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
a✝ b✝ : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ (fun g =>
        AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
          (_ :
            ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
              (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
      (a✝ + b✝) =
    (fun g =>
          AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
            (_ :
              ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                  (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
        a✝ +
      (fun g =>
          AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
            (_ :
              ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                  (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
        b✝
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.H
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
a✝ b✝ : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝¹ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ↑(↑((fun g =>
                AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
                  (_ :
                    ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                      (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                        (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
              (a✝ + b✝))
          x✝¹)
      x✝ =
    ↑(↑((fun g =>
                  AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
                    (_ :
                      ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                        (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                          (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
                a✝ +
              (fun g =>
                  AddMonoidHom.mk' (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f)
                    (_ :
                      ∀ (a b : NormedAddGroupHom V₁ V₂),
                        (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) (a + b) =
                          (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) a + (fun f => NormedAddGroupHom.comp g f) b))
                b✝)
          x✝¹)
      x✝
[PROOFSTEP]
simp only [comp_apply, Pi.add_apply, Function.comp_apply, AddMonoidHom.add_apply, AddMonoidHom.mk'_apply, coe_add]
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ NormedAddGroupHom.comp f 0 = 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.comp f 0) x✝ = ↑0 x✝
[PROOFSTEP]
exact map_zero f
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ NormedAddGroupHom.comp 0 f = 0
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.comp 0 f) x✝ = ↑0 x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V₄ : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₄
h : NormedAddGroupHom V₃ V₄
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
⊢ NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp h g) f = NormedAddGroupHom.comp h (NormedAddGroupHom.comp g f)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
V₄ : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₄
h : NormedAddGroupHom V₃ V₄
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp h g) f) x✝ =
    ↑(NormedAddGroupHom.comp h (NormedAddGroupHom.comp g f)) x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
s : AddSubgroup V
v : { x // x ∈ s }
⊢ ‖↑v‖ ≤ 1 * ‖v‖
[PROOFSTEP]
rw [one_mul, AddSubgroup.coe_norm]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
v : V₁
⊢ v ∈ ker f ↔ ↑f v = 0
[PROOFSTEP]
erw [f.toAddMonoidHom.mem_ker, coe_toAddMonoidHom]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : NormedAddGroupHom.comp g f = 0
v : V₁
⊢ ↑f v ∈ ker g
[PROOFSTEP]
rw [g.mem_ker, ← comp_apply g f, h, zero_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : NormedAddGroupHom.comp g f = 0
v w : V₁
⊢ (fun v => { val := ↑f v, property := (_ : ↑f v ∈ ker g) }) (v + w) =
    (fun v => { val := ↑f v, property := (_ : ↑f v ∈ ker g) }) v +
      (fun v => { val := ↑f v, property := (_ : ↑f v ∈ ker g) }) w
[PROOFSTEP]
simp only [map_add, AddSubmonoid.mk_add_mk]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : NormedAddGroupHom.comp g f = 0
⊢ NormedAddGroupHom.comp (incl (ker g)) (lift f g h) = f
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : NormedAddGroupHom.comp g f = 0
x✝ : V₁
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.comp (incl (ker g)) (lift f g h)) x✝ = ↑f x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ ker 0 = ⊤
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁
⊢ x✝ ∈ ker 0 ↔ x✝ ∈ ⊤
[PROOFSTEP]
simp [mem_ker]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ range (NormedAddGroupHom.comp g f) = AddSubgroup.map (toAddMonoidHom g) (range f)
[PROOFSTEP]
erw [AddMonoidHom.map_range]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ range (NormedAddGroupHom.comp g f) = AddMonoidHom.range (AddMonoidHom.comp (toAddMonoidHom g) (toAddMonoidHom f))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
s : AddSubgroup V₁
⊢ range (incl s) = s
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
s : AddSubgroup V₁
x : V₁
⊢ x ∈ range (incl s) ↔ x ∈ s
[PROOFSTEP]
exact ⟨fun ⟨y, hy⟩ => by rw [← hy]; simp, fun hx => ⟨⟨x, hx⟩, by simp⟩⟩
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
s : AddSubgroup V₁
x : V₁
x✝ : x ∈ range (incl s)
y : { x // x ∈ s }
hy : ↑(toAddMonoidHom (incl s)) y = x
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [← hy]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
s : AddSubgroup V₁
x : V₁
x✝ : x ∈ range (incl s)
y : { x // x ∈ s }
hy : ↑(toAddMonoidHom (incl s)) y = x
⊢ ↑(toAddMonoidHom (incl s)) y ∈ s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
s : AddSubgroup V₁
x : V₁
hx : x ∈ s
⊢ ↑(toAddMonoidHom (incl s)) { val := x, property := hx } = x
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ range (NormedAddGroupHom.comp f (incl ⊤)) = range f
[PROOFSTEP]
simp [comp_range, incl_range, ← AddMonoidHom.range_eq_map]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
⊢ AddMonoidHom.range (toAddMonoidHom f) = range f
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
⊢ NormNoninc f ↔ ‖f‖ ≤ 1
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => fun v => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
h : NormNoninc f
⊢ ‖f‖ ≤ 1
[PROOFSTEP]
refine' opNorm_le_bound _ zero_le_one fun v => _
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
h : NormNoninc f
v : V
⊢ ‖↑f v‖ ≤ 1 * ‖v‖
[PROOFSTEP]
simpa [one_mul] using h v
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
h : ‖f‖ ≤ 1
v : V
⊢ ‖↑f v‖ ≤ ‖v‖
[PROOFSTEP]
simpa using le_of_opNorm_le f h v
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
v : V₁
⊢ ‖↑0 v‖ ≤ ‖v‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ : NormedAddGroupHom V W
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : NormNoninc (-f)
x : V₁
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa using h x
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
⊢ NormedAddGroupHom.comp f (ι f g) = NormedAddGroupHom.comp g (ι f g)
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case H
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
x : { x // x ∈ equalizer f g }
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.comp f (ι f g)) x = ↑(NormedAddGroupHom.comp g (ι f g)) x
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply, comp_apply, ← sub_eq_zero, ← NormedAddGroupHom.sub_apply]
[GOAL]
case H
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
x : { x // x ∈ equalizer f g }
⊢ ↑(f - g) (↑(ι f g) x) = 0
[PROOFSTEP]
exact x.2
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
v : V₁
⊢ ↑(f - g) (↑φ v) = 0
[PROOFSTEP]
rw [NormedAddGroupHom.sub_apply, sub_eq_zero, ← comp_apply, h, comp_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
v₁ v₂ : V₁
⊢ (fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) (v₁ + v₂) =
    (fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) v₁ +
      (fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) v₂
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case a
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
v₁ v₂ : V₁
⊢ ↑((fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) (v₁ + v₂)) =
    ↑((fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) v₁ +
        (fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) v₂)
[PROOFSTEP]
simp only [map_add, AddSubgroup.coe_add, Subtype.coe_mk]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
⊢ ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖(fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) v‖ ≤ C * ‖v‖
[PROOFSTEP]
obtain ⟨C, _C_pos, hC⟩ := φ.bound
[GOAL]
case intro.intro
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
C : ℝ
_C_pos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖↑φ x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ∃ C, ∀ (v : V₁), ‖(fun v => { val := ↑φ v, property := (_ : ↑(f - g) (↑φ v) = 0) }) v‖ ≤ C * ‖v‖
[PROOFSTEP]
exact ⟨C, hC⟩
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
⊢ NormedAddGroupHom.comp (ι f g) (lift φ h) = φ
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V
h : NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ
x✝ : V₁
⊢ ↑(NormedAddGroupHom.comp (ι f g) (lift φ h)) x✝ = ↑φ x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
ψ : NormedAddGroupHom V₁ { x // x ∈ equalizer f g }
⊢ NormedAddGroupHom.comp f (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ) =
    NormedAddGroupHom.comp g (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ)
[PROOFSTEP]
rw [← comp_assoc, ← comp_assoc, comp_ι_eq]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : { φ // NormedAddGroupHom.comp f φ = NormedAddGroupHom.comp g φ }
⊢ (fun ψ =>
        { val := NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ,
          property :=
            (_ :
              NormedAddGroupHom.comp f (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ) =
                NormedAddGroupHom.comp g (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ)) })
      ((fun φ => lift ↑φ (_ : NormedAddGroupHom.comp f ↑φ = NormedAddGroupHom.comp g ↑φ)) φ) =
    φ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
ψ : NormedAddGroupHom V₁ { x // x ∈ equalizer f g }
⊢ (fun φ => lift ↑φ (_ : NormedAddGroupHom.comp f ↑φ = NormedAddGroupHom.comp g ↑φ))
      ((fun ψ =>
          { val := NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ,
            property :=
              (_ :
                NormedAddGroupHom.comp f (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ) =
                  NormedAddGroupHom.comp g (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ)) })
        ψ) =
    ψ
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H.a
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
ψ : NormedAddGroupHom V₁ { x // x ∈ equalizer f g }
x✝ : V₁
⊢ ↑(↑((fun φ => lift ↑φ (_ : NormedAddGroupHom.comp f ↑φ = NormedAddGroupHom.comp g ↑φ))
            ((fun ψ =>
                { val := NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ,
                  property :=
                    (_ :
                      NormedAddGroupHom.comp f (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ) =
                        NormedAddGroupHom.comp g (NormedAddGroupHom.comp (ι f g) ψ)) })
              ψ))
        x✝) =
    ↑(↑ψ x✝)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
hf : NormedAddGroupHom.comp ψ f₁ = NormedAddGroupHom.comp f₂ φ
hg : NormedAddGroupHom.comp ψ g₁ = NormedAddGroupHom.comp g₂ φ
⊢ NormedAddGroupHom.comp f₂ (NormedAddGroupHom.comp φ (ι f₁ g₁)) =
    NormedAddGroupHom.comp g₂ (NormedAddGroupHom.comp φ (ι f₁ g₁))
[PROOFSTEP]
simp only [← comp_assoc, ← hf, ← hg]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
hf : NormedAddGroupHom.comp ψ f₁ = NormedAddGroupHom.comp f₂ φ
hg : NormedAddGroupHom.comp ψ g₁ = NormedAddGroupHom.comp g₂ φ
⊢ NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ f₁) (ι f₁ g₁) =
    NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ g₁) (ι f₁ g₁)
[PROOFSTEP]
simp only [comp_assoc, comp_ι_eq f₁ g₁]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
⊢ map (id V₁) (id W₁) (_ : NormedAddGroupHom.comp (id W₁) f₁ = NormedAddGroupHom.comp (id W₁) f₁)
      (_ : NormedAddGroupHom.comp (id W₁) g₁ = NormedAddGroupHom.comp (id W₁) g₁) =
    id { x // x ∈ equalizer f₁ g₁ }
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H.a
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
x✝ : { x // x ∈ equalizer f₁ g₁ }
⊢ ↑(↑(map (id V₁) (id W₁) (_ : NormedAddGroupHom.comp (id W₁) f₁ = NormedAddGroupHom.comp (id W₁) f₁)
            (_ : NormedAddGroupHom.comp (id W₁) g₁ = NormedAddGroupHom.comp (id W₁) g₁))
        x✝) =
    ↑(↑(id { x // x ∈ equalizer f₁ g₁ }) x✝)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : NormedAddGroupHom.comp ψ f₁ = NormedAddGroupHom.comp f₂ φ
hf' : NormedAddGroupHom.comp ψ' f₂ = NormedAddGroupHom.comp f₃ φ'
⊢ NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ) f₁ = NormedAddGroupHom.comp f₃ (NormedAddGroupHom.comp φ' φ)
[PROOFSTEP]
rw [comp_assoc, hf, ← comp_assoc, hf', comp_assoc]
[GOAL]
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : NormedAddGroupHom.comp ψ f₁ = NormedAddGroupHom.comp f₂ φ
hg : NormedAddGroupHom.comp ψ g₁ = NormedAddGroupHom.comp g₂ φ
hf' : NormedAddGroupHom.comp ψ' f₂ = NormedAddGroupHom.comp f₃ φ'
hg' : NormedAddGroupHom.comp ψ' g₂ = NormedAddGroupHom.comp g₃ φ'
⊢ NormedAddGroupHom.comp (map φ' ψ' hf' hg') (map φ ψ hf hg) =
    map (NormedAddGroupHom.comp φ' φ) (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ)
      (_ :
        NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ) f₁ =
          NormedAddGroupHom.comp f₃ (NormedAddGroupHom.comp φ' φ))
      (_ :
        NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ) g₁ =
          NormedAddGroupHom.comp g₃ (NormedAddGroupHom.comp φ' φ))
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case H.a
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : NormedAddGroupHom.comp ψ f₁ = NormedAddGroupHom.comp f₂ φ
hg : NormedAddGroupHom.comp ψ g₁ = NormedAddGroupHom.comp g₂ φ
hf' : NormedAddGroupHom.comp ψ' f₂ = NormedAddGroupHom.comp f₃ φ'
hg' : NormedAddGroupHom.comp ψ' g₂ = NormedAddGroupHom.comp g₃ φ'
x✝ : { x // x ∈ equalizer f₁ g₁ }
⊢ ↑(↑(NormedAddGroupHom.comp (map φ' ψ' hf' hg') (map φ ψ hf hg)) x✝) =
    ↑(↑(map (NormedAddGroupHom.comp φ' φ) (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ)
            (_ :
              NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ) f₁ =
                NormedAddGroupHom.comp f₃ (NormedAddGroupHom.comp φ' φ))
            (_ :
              NormedAddGroupHom.comp (NormedAddGroupHom.comp ψ' ψ) g₁ =
                NormedAddGroupHom.comp g₃ (NormedAddGroupHom.comp φ' φ)))
        x✝)
[PROOFSTEP]
rfl