[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
⊢ P f s x ↔ P f t x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨o, host, ho, hxo⟩ := mem_nhds_iff.mp hu.mem_iff
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
host : o ⊆ {x | (fun x => x ∈ s ↔ x ∈ t) x}
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
⊢ P f s x ↔ P f t x
[PROOFSTEP]
simp_rw [subset_def, mem_setOf, ← and_congr_left_iff, ← mem_inter_iff, ← Set.ext_iff] at host
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : s ∩ o = t ∩ o
⊢ P f s x ↔ P f t x
[PROOFSTEP]
rw [hG.is_local ho hxo, host, ← hG.is_local ho hxo]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x
⊢ P f s x ↔ P g s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [hG.is_local_nhds h1]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h1 : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
h2 : f x = g x
⊢ P f (s ∩ {x | f x = g x}) x ↔ P g (s ∩ {x | f x = g x}) x
[PROOFSTEP]
exact ⟨hG.congr_of_forall (fun y hy ↦ hy.2) h2, hG.congr_of_forall (fun y hy ↦ hy.2.symm) h2.symm⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
[PROOFSTEP]
have h2f := hfs.preimage_mem_nhdsWithin (e'.open_source.mem_nhds hxe')
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
[PROOFSTEP]
have h3f :=
  ((e'.continuousAt hxe').comp_continuousWithinAt hfs).preimage_mem_nhdsWithin <|
    e'.symm.open_source.mem_nhds <| e'.mapsTo hxe'
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P (↑e' ∘ f) s x → P f s x
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
h : P (↑e' ∘ f) s x
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
rw [hG.is_local_nhds h3f] at h
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
h : P (↑e' ∘ f) (s ∩ ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source) x
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
have h2 := hG.left_invariance' (G'.symm he') (inter_subset_right _ _) (e'.mapsTo hxe') h
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
h : P (↑e' ∘ f) (s ∩ ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source) x
h2 : P (↑(LocalHomeomorph.symm e') ∘ ↑e' ∘ f) (s ∩ ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source) x
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
rw [← hG.is_local_nhds h3f] at h2
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
h : P (↑e' ∘ f) (s ∩ ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source) x
h2 : P (↑(LocalHomeomorph.symm e') ∘ ↑e' ∘ f) s x
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
refine' hG.congr_nhdsWithin _ (e'.left_inv hxe') h2
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
h : P (↑e' ∘ f) (s ∩ ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source) x
h2 : P (↑(LocalHomeomorph.symm e') ∘ ↑e' ∘ f) s x
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ∘ ↑e' ∘ f =ᶠ[𝓝[s] x] f
[PROOFSTEP]
exact eventually_of_mem h2f fun x' ↦ e'.left_inv
[GOAL]
case mpr
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P f s x → P (↑e' ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [hG.is_local_nhds h2f]
[GOAL]
case mpr
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : LocalHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e').toLocalEquiv.source ∈ 𝓝[s] x
⊢ P f (s ∩ f ⁻¹' e'.source) x → P (↑e' ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' e'.source) x
[PROOFSTEP]
exact hG.left_invariance' he' (inter_subset_right _ _) hxe'
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
⊢ P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P f s x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h ↦ _, hG.right_invariance' he hxe⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
have := hG.right_invariance' (G.symm he) (e.mapsTo hxe) h
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this :
  P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e)) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s))
    (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x))
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
rw [e.symm_symm, e.left_inv hxe] at this
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) x
⊢ P f s x
[PROOFSTEP]
refine' hG.congr _ ((hG.congr_set _).mp this)
[GOAL]
case refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) x
⊢ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e =ᶠ[𝓝 x] f
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_mem (e.open_source.mem_nhds hxe) fun x' hx' ↦ _
[GOAL]
case refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) x
x' : H
hx' : x' ∈ e.source
⊢ ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) x' = f x'
[PROOFSTEP]
simp_rw [Function.comp_apply, e.left_inv hx']
[GOAL]
case refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) x
⊢ ↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) =ᶠ[𝓝 x] s
[PROOFSTEP]
rw [eventuallyEq_set]
[GOAL]
case refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) x
⊢ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x, x ∈ ↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ↔ x ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_mem (e.open_source.mem_nhds hxe) fun x' hx' ↦ _
[GOAL]
case refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : LocalInvariantProp G G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) x
x' : H
hx' : x' ∈ e.source
⊢ x' ∈ ↑e ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ↔ x' ∈ s
[PROOFSTEP]
simp_rw [mem_preimage, e.left_inv hx']
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
x : M
⊢ LiftPropAt P f x ↔
    ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) univ (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
rw [LiftPropAt, LiftPropWithinAt, continuousWithinAt_univ, preimage_univ]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
⊢ LiftProp P f ↔
    Continuous f ∧
      ∀ (x : M), P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) univ (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [LiftProp, liftPropAt_iff, forall_and, continuous_iff_continuousAt]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
⊢ LiftPropOn P g univ ↔ LiftProp P g
[PROOFSTEP]
simp [LiftPropOn, LiftProp, LiftPropAt]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
f : M → M'
⊢ LiftPropWithinAt P f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        ((chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩
          ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).toLocalEquiv.source))
        (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
refine' and_congr_right fun hf ↦ hG.congr_set _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
f : M → M'
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)]
    (chartAt H x).toLocalEquiv.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
exact
  LocalHomeomorph.preimage_eventuallyEq_target_inter_preimage_inter hf (mem_chart_source H x)
    (chart_source_mem_nhds H' (f x))
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ↔
    P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s) (↑e' x)
[PROOFSTEP]
rw [← hG.right_invariance (compatible_of_mem_maximalAtlas he he')]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')))
      (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s))
      (↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') (↑e x)) ↔
    P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s) (↑e' x)
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ ↑e x ∈ (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ ↑e x ∈ (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [xe, xe', mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')))
      (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s))
      (↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') (↑e x)) ↔
    P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s) (↑e' x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [LocalHomeomorph.trans_apply, e.left_inv xe]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')))
      (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔
    P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s) (↑e' x)
[PROOFSTEP]
rw [hG.congr_iff]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ P ?m.18141 (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔
    P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s) (↑e' x)
[PROOFSTEP]
refine' hG.congr_set _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) =ᶠ[𝓝 (↑e' x)]
    ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
refine' (eventually_of_mem _ fun y (hy : y ∈ e'.symm ⁻¹' e.source) ↦ _).set_eq
[GOAL]
case refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 (↑e' x)
[PROOFSTEP]
refine' (e'.symm.continuousAt <| e'.mapsTo xe').preimage_mem_nhds (e.open_source.mem_nhds _)
[GOAL]
case refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm e') (↑e' x) ∈ e.source
[PROOFSTEP]
simp_rw [e'.left_inv xe', xe]
[GOAL]
case refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
y : H
hy : y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' e.source
⊢ y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) ⁻¹' (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) ↔
    y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp_rw [mem_preimage, LocalHomeomorph.coe_trans_symm, LocalHomeomorph.symm_symm, Function.comp_apply, e.left_inv hy]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
⊢ (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e')) =ᶠ[𝓝 (↑e' x)]
    g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')
[PROOFSTEP]
refine' ((e'.eventually_nhds' _ xe').mpr <| e.eventually_left_inverse xe).mono fun y hy ↦ _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
y : H
hy : ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e (↑(LocalHomeomorph.symm e') y)) = ↑(LocalHomeomorph.symm e') y
⊢ ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e'))) y =
    (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
y : H
hy : ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e (↑(LocalHomeomorph.symm e') y)) = ↑(LocalHomeomorph.symm e') y
⊢ g (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e (↑(LocalHomeomorph.symm e') y))) = g (↑(LocalHomeomorph.symm e') y)
[PROOFSTEP]
rw [hy]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
[PROOFSTEP]
have hcont : ContinuousWithinAt (f ∘ g) s x := (f.continuousAt xf).comp_continuousWithinAt hgs
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
[PROOFSTEP]
rw [← hG.left_invariance (compatible_of_mem_maximalAtlas hf hf') hcont (by simp only [xf, xf', mfld_simps])]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ (↑f ∘ g) x ∈ (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [xf, xf', mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ P (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
[PROOFSTEP]
refine' hG.congr_iff_nhdsWithin _ (by simp only [xf, mfld_simps])
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) x = (↑f' ∘ g) x
[PROOFSTEP]
simp only [xf, mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] x] ↑f' ∘ g
[PROOFSTEP]
exact (hgs.eventually <| f.eventually_left_inverse xf).mono fun y ↦ congr_arg f'
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : X → M'
e : LocalHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ↔
    P (↑f' ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [← e.left_inv xe] at xf xf' hgs
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : X → M'
e : LocalHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x)) ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x)) ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x))
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ↔
    P (↑f' ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
refine' hG.liftPropWithinAt_indep_chart_target_aux2 (g ∘ e.symm) hf xf hf' xf' _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
g : X → M'
e : LocalHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x)) ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x)) ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑e x))
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
exact hgs.comp (e.symm.continuousAt <| e.mapsTo xe).continuousWithinAt Subset.rfl
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ↔
    P (↑f' ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s) (↑e' x)
[PROOFSTEP]
rw [← Function.comp.assoc, hG.liftPropWithinAt_indep_chart_source_aux (f ∘ g) he xe he' xe', Function.comp.assoc,
  hG.liftPropWithinAt_indep_chart_target_aux xe' hf xf hf' xf' hgs]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔ LiftPropWithinAt P (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [liftPropWithinAt_self_source, LiftPropWithinAt, e.symm.continuousWithinAt_iff_continuousWithinAt_comp_right xe,
  e.symm_symm]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
        (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e))
        (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
refine' and_congr Iff.rfl _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
      (↑(chartAt H x) x) ↔
    P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e))
      (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [Function.comp_apply, e.left_inv xe, ← Function.comp.assoc,
  hG.liftPropWithinAt_indep_chart_source_aux (chartAt _ (g x) ∘ g) (chart_mem_maximalAtlas G x) (mem_chart_source _ x)
    he xe,
  Function.comp.assoc]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g) s x
[PROOFSTEP]
rw [liftPropWithinAt_self_target, LiftPropWithinAt, and_congr_right_iff]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ ContinuousWithinAt g s x →
    (P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
        (↑(chartAt H x) x) ↔
      ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x ∧
        P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
          (↑(chartAt H x) x))
[PROOFSTEP]
intro hg
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
      (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x ∧
      P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
        (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [(f.continuousAt xf).comp_continuousWithinAt hg, true_and_iff]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M' G'
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hg : ContinuousWithinAt g s x
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
      (↑(chartAt H x) x) ↔
    P ((↑f ∘ g) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
      (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
exact
  hG.liftPropWithinAt_indep_chart_target_aux (mem_chart_source _ _) (chart_mem_maximalAtlas _ _) (mem_chart_source _ _)
    hf xf hg
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔
    ContinuousWithinAt g s x ∧
      LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [hG.liftPropWithinAt_indep_chart he xe hf xf, liftPropWithinAt_self, and_left_comm, Iff.comm, and_iff_right_iff_imp]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
⊢ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x) →
    ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
have h1 := (e.symm.continuousWithinAt_iff_continuousWithinAt_comp_right xe).mp h.1
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
h1 :
  ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)
    (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e)) x)
⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
have : ContinuousAt f ((g ∘ e.symm) (e x)) := by simp_rw [Function.comp, e.left_inv xe, f.continuousAt xf]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
h1 :
  ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)
    (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e)) x)
⊢ ContinuousAt (↑f) ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑e x))
[PROOFSTEP]
simp_rw [Function.comp, e.left_inv xe, f.continuousAt xf]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
h1 :
  ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s)
    (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.symm e)) x)
this : ContinuousAt (↑f) ((g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑e x))
⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
exact this.comp_continuousWithinAt h1
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
h : LiftPropOn P g s
y : H
hy : y ∈ e.target ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' (s ∩ g ⁻¹' f.source)
⊢ P (↑f ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) y
[PROOFSTEP]
convert ((hG.liftPropWithinAt_indep_chart he (e.symm_mapsTo hy.1) hf hy.2.2).1 (h _ hy.2.1)).2
[GOAL]
case h.e'_3
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
h : LiftPropOn P g s
y : H
hy : y ∈ e.target ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' (s ∩ g ⁻¹' f.source)
⊢ y = ↑e (↑(LocalHomeomorph.symm e) y)
[PROOFSTEP]
rw [e.right_inv hy.1]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
rw [LiftPropWithinAt, LiftPropWithinAt, continuousWithinAt_inter' ht, hG.congr_set]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp_rw [eventuallyEq_set, mem_preimage,
  (chartAt _ x).eventually_nhds' (fun x ↦ x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s) (mem_chart_source _ x)]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s
[PROOFSTEP]
exact (mem_nhdsWithin_iff_eventuallyEq.mp ht).symm.mem_iff
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ LiftPropAt P g x
[PROOFSTEP]
rwa [← univ_inter s, hG.liftPropWithinAt_inter hs] at h
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropAt P g x
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
rwa [← univ_inter s, hG.liftPropWithinAt_inter hs]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
⊢ LiftPropOn P g s
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
rcases h x hx with ⟨u, u_open, xu, hu⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
have := hu x ⟨hx, xu⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
rwa [hG.liftPropWithinAt_inter] at this
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), x ∈ s → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)
x : M
hx : x ∈ s
u : Set M
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)
this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x
⊢ u ∈ 𝓝 x
[PROOFSTEP]
exact IsOpen.mem_nhds u_open xu
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u
⊢ LiftProp P g
[PROOFSTEP]
rw [← liftPropOn_univ]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u
⊢ LiftPropOn P g univ
[PROOFSTEP]
refine' hG.liftPropOn_of_locally_liftPropOn fun x _ ↦ _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u
x : M
x✝ : x ∈ univ
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (univ ∩ u)
[PROOFSTEP]
simp [h x]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ LiftPropWithinAt P g' s x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨h.1.congr_of_eventuallyEq h₁ hx, _⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ P (↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s)
    (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
refine' hG.congr_nhdsWithin' _ (by simp_rw [Function.comp_apply, (chartAt H x).left_inv (mem_chart_source H x), hx]) h.2
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ (↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(chartAt H x) x) =
    (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Function.comp_apply, (chartAt H x).left_inv (mem_chart_source H x), hx]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ↑(chartAt H' (g' x)) ∘
      g' ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) =ᶠ[𝓝[↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x]
    ↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))
[PROOFSTEP]
simp_rw [EventuallyEq, Function.comp_apply]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : H) in 𝓝[↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x,
    ↑(chartAt H' (g' x)) (g' (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) x_1)) =
      ↑(chartAt H' (g x)) (g (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) x_1))
[PROOFSTEP]
rw [(chartAt H x).eventually_nhdsWithin' (fun y ↦ chartAt H' (g' x) (g' y) = chartAt H' (g x) (g y))
    (mem_chart_source H x)]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' x_1) = ↑(chartAt H' (g x)) (g x_1)
[PROOFSTEP]
exact h₁.mono fun y hy ↦ by rw [hx, hy]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
y : M
hy : g' y = g y
⊢ ↑(chartAt H' (g' x)) (g' y) = ↑(chartAt H' (g x)) (g y)
[PROOFSTEP]
rw [hx, hy]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
h₁ : g' =ᶠ[𝓝 x] g
⊢ g' =ᶠ[𝓝[univ] x] g
[PROOFSTEP]
simp_rw [nhdsWithin_univ, h₁]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ LiftPropWithinAt P g t x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨h.1.mono_of_mem hst, mono_of_mem _ h.2⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' t] ↑(chartAt H x) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [← mem_map, (chartAt H x).symm.map_nhdsWithin_preimage_eq (mem_chart_target H x),
  (chartAt H x).left_inv (mem_chart_source H x), hst]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hts : t ⊆ s
⊢ LiftPropWithinAt P g t x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨h.1.mono hts, mono (fun y hy ↦ _) h.2⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hts : t ⊆ s
y : H
hy : y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' t
⊢ y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g s x
hts : t ⊆ s
y : H
hy : ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) y ∈ t
⊢ y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp only [hy, hts _, mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropAt P g x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
rw [← liftPropWithinAt_univ] at h
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropWithinAt P g univ x
⊢ LiftPropWithinAt P g s x
[PROOFSTEP]
exact liftPropWithinAt_mono mono h (subset_univ _)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftProp P g
⊢ LiftPropOn P g s
[PROOFSTEP]
rw [← liftPropOn_univ] at h
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropOn P g univ
⊢ LiftPropOn P g s
[PROOFSTEP]
exact liftPropOn_mono mono h (subset_univ _)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.source
⊢ LiftPropAt Q (↑e) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [LiftPropAt, hG.liftPropWithinAt_indep_chart he hx G.id_mem_maximalAtlas (mem_univ _),
  (e.continuousAt hx).continuousWithinAt, true_and_iff]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.source
⊢ Q (↑(LocalHomeomorph.refl H) ∘ ↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' univ) (↑e x)
[PROOFSTEP]
exact hG.congr' (e.eventually_right_inverse' hx) (hQ _)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
⊢ LiftPropOn Q (↑e) e.source
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ LiftPropWithinAt Q (↑e) e.source x
[PROOFSTEP]
apply hG.liftPropWithinAt_of_liftPropAt_of_mem_nhds (hG.liftPropAt_of_mem_maximalAtlas hQ he hx)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ e.source ∈ 𝓝 x
[PROOFSTEP]
exact IsOpen.mem_nhds e.open_source hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
⊢ LiftPropAt Q (↑(LocalHomeomorph.symm e)) x
[PROOFSTEP]
suffices h : Q (e ∘ e.symm) univ x
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
h : Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x
⊢ LiftPropAt Q (↑(LocalHomeomorph.symm e)) x
[PROOFSTEP]
have : e.symm x ∈ e.source := by simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
h : Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x
⊢ ↑(LocalHomeomorph.symm e) x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
h : Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x
this : ↑(LocalHomeomorph.symm e) x ∈ e.source
⊢ LiftPropAt Q (↑(LocalHomeomorph.symm e)) x
[PROOFSTEP]
rw [LiftPropAt, hG.liftPropWithinAt_indep_chart G.id_mem_maximalAtlas (mem_univ _) he this]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
h : Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x
this : ↑(LocalHomeomorph.symm e) x ∈ e.source
⊢ ContinuousWithinAt (↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x ∧
    Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.refl H)))
      (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.refl H)) ⁻¹' univ) (↑(LocalHomeomorph.refl H) x)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(e.symm.continuousAt hx).continuousWithinAt, _⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
h : Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x
this : ↑(LocalHomeomorph.symm e) x ∈ e.source
⊢ Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.refl H)))
    (↑(LocalHomeomorph.symm (LocalHomeomorph.refl H)) ⁻¹' univ) (↑(LocalHomeomorph.refl H) x)
[PROOFSTEP]
simp only [h, mfld_simps]
[GOAL]
case h
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
x : H
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
hx : x ∈ e.target
⊢ Q (↑e ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) univ x
[PROOFSTEP]
exact hG.congr' (e.eventually_right_inverse hx) (hQ x)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
⊢ LiftPropOn Q (↑(LocalHomeomorph.symm e)) e.target
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ LiftPropWithinAt Q (↑(LocalHomeomorph.symm e)) e.target x
[PROOFSTEP]
apply hG.liftPropWithinAt_of_liftPropAt_of_mem_nhds (hG.liftPropAt_symm_of_mem_maximalAtlas hQ he hx)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ e.target ∈ 𝓝 x
[PROOFSTEP]
exact IsOpen.mem_nhds e.open_target hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ (chartAt H x).toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
⊢ LiftProp Q id
[PROOFSTEP]
simp_rw [liftProp_iff, continuous_id, true_and_iff]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
⊢ ∀ (x : M), Q (↑(chartAt H (id x)) ∘ id ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))) univ (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
exact fun x ↦ hG.congr' ((chartAt H x).eventually_right_inverse <| mem_chart_target H x) (hQ _)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : LocalInvariantProp G G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : { x // x ∈ V } → M'
x : { x // x ∈ U }
⊢ LiftPropAt P f (inclusion hUV x) ↔ LiftPropAt P (f ∘ inclusion hUV) x
[PROOFSTEP]
change (_ ∧ _) ↔ (_ ∧ _)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : LocalInvariantProp G G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : { x // x ∈ V } → M'
x : { x // x ∈ U }
⊢ ContinuousWithinAt f univ (inclusion hUV x) ∧
      P (↑(chartAt H' (f (inclusion hUV x))) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (inclusion hUV x))))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (inclusion hUV x))) ⁻¹' univ)
        (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x)) ↔
    ContinuousWithinAt (f ∘ inclusion hUV) univ x ∧
      P (↑(chartAt H' ((f ∘ inclusion hUV) x)) ∘ (f ∘ inclusion hUV) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
        (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
congr! 1
  -- Porting note: was `congrm _ ∧ _`
[GOAL]
case a.h.e'_1.a
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : LocalInvariantProp G G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : { x // x ∈ V } → M'
x : { x // x ∈ U }
⊢ ContinuousWithinAt f univ (inclusion hUV x) ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ inclusion hUV) univ x
[PROOFSTEP]
simp [continuousWithinAt_univ, (TopologicalSpace.Opens.openEmbedding_of_le hUV).continuousAt_iff]
[GOAL]
case a.h.e'_2.a
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : LocalInvariantProp G G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : { x // x ∈ V } → M'
x : { x // x ∈ U }
⊢ P (↑(chartAt H' (f (inclusion hUV x))) ∘ f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (inclusion hUV x))))
      (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (inclusion hUV x))) ⁻¹' univ)
      (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x)) ↔
    P (↑(chartAt H' ((f ∘ inclusion hUV) x)) ∘ (f ∘ inclusion hUV) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)))
      (↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)
[PROOFSTEP]
apply hG.congr_iff
[GOAL]
case a.h.e'_2.a
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : LocalInvariantProp G G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : { x // x ∈ V } → M'
x : { x // x ∈ U }
⊢ ↑(chartAt H' (f (inclusion hUV x))) ∘
      f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H (inclusion hUV x))) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x))]
    ↑(chartAt H' ((f ∘ inclusion hUV) x)) ∘ (f ∘ inclusion hUV) ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm (chartAt H x))
[PROOFSTEP]
exact
  (TopologicalSpace.Opens.chartAt_inclusion_symm_eventuallyEq hUV).fun_comp (chartAt H' (f (Set.inclusion hUV x)) ∘ f)
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
⊢ LiftProp Q (inclusion hUV)
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
⊢ LiftPropAt Q (inclusion hUV) x
[PROOFSTEP]
show LiftPropAt Q (id ∘ inclusion hUV) x
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
⊢ LiftPropAt Q (id ∘ inclusion hUV) x
[PROOFSTEP]
rw [← hG.liftPropAt_iff_comp_inclusion hUV]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : LocalInvariantProp G G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : LocalInvariantProp G G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
⊢ LiftPropAt Q id (inclusion hUV x)
[PROOFSTEP]
apply hG.liftProp_id hQ
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {u : Set H} {f : H → H},
    IsOpen u → x ∈ u → (IsLocalStructomorphWithinAt G f s x ↔ IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x)
[PROOFSTEP]
intro s x u f hu hux
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G f s x ↔ IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G f s x → IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
[PROOFSTEP]
rintro h hx
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s ∩ u
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rcases h hx.1 with ⟨e, heG, hef, hex⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s ∩ u
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have : s ∩ u ∩ e.source ⊆ s ∩ e.source := by mfld_set_tac
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s ∩ u
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ s ∩ u ∩ e.source ⊆ s ∩ e.source
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s ∩ u
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
this : s ∩ u ∩ e.source ⊆ s ∩ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
exact ⟨e, heG, hef.mono this, hex⟩
[GOAL]
case mpr
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x → IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
[PROOFSTEP]
rintro h hx
[GOAL]
case mpr
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rcases h ⟨hx, hux⟩ with ⟨e, heG, hef, hex⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨e.restr (interior u), _, _, _⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ LocalHomeomorph.restr e (interior u) ∈ G
[PROOFSTEP]
exact closedUnderRestriction' heG isOpen_interior
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn f (↑(LocalHomeomorph.restr e (interior u)).toLocalEquiv)
    (s ∩ (LocalHomeomorph.restr e (interior u)).toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
have : s ∩ u ∩ e.source = s ∩ (e.source ∩ u) := by mfld_set_tac
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ s ∩ u ∩ e.source = s ∩ (e.source ∩ u)
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
this : s ∩ u ∩ e.source = s ∩ (e.source ∩ u)
⊢ EqOn f (↑(LocalHomeomorph.restr e (interior u)).toLocalEquiv)
    (s ∩ (LocalHomeomorph.restr e (interior u)).toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
simpa only [this, interior_interior, hu.interior_eq, mfld_simps] using hef
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.refine'_3
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H
hu : IsOpen u
hux : x ∈ u
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f (s ∩ u) x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ u ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ x ∈ (LocalHomeomorph.restr e (interior u)).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [*, interior_interior, hu.interior_eq, mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {f : H → H} {e : LocalHomeomorph H H},
    e ∈ G →
      x ∈ e.source →
        IsLocalStructomorphWithinAt G f s x →
          IsLocalStructomorphWithinAt G (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e)) (↑(LocalHomeomorph.symm e) ⁻¹' s) (↑e x)
[PROOFSTEP]
intro s x f e' he'G he'x h hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
⊢ ∃ e,
    e ∈ G ∧
      EqOn (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑e.toLocalEquiv) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s ∩ e.source) ∧
        ↑e' x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
have hxs : x ∈ s := by simpa only [e'.left_inv he'x, mfld_simps] using hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
simpa only [e'.left_inv he'x, mfld_simps] using hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
⊢ ∃ e,
    e ∈ G ∧
      EqOn (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑e.toLocalEquiv) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s ∩ e.source) ∧
        ↑e' x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rcases h hxs with ⟨e, heG, hef, hex⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e,
    e ∈ G ∧
      EqOn (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑e.toLocalEquiv) (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s ∩ e.source) ∧
        ↑e' x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨e'.symm.trans e, G.trans (G.symm he'G) heG, _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) (↑(LocalHomeomorph.symm e' ≫ₕ e).toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s ∩ (LocalHomeomorph.symm e' ≫ₕ e).toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s ∩ (LocalHomeomorph.symm e' ≫ₕ e).toLocalEquiv.source
⊢ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) y = ↑(LocalHomeomorph.symm e' ≫ₕ e).toLocalEquiv y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : ↑(LocalHomeomorph.symm e') y ∈ s ∧ y ∈ e'.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm e') y ∈ e.source
⊢ (f ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e')) y = ↑(LocalHomeomorph.symm e' ≫ₕ e).toLocalEquiv y
[PROOFSTEP]
simp only [hef ⟨hy.1, hy.2.2⟩, mfld_simps]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
he'x : x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : ↑e' x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm e') ⁻¹' s
hxs : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ↑e' x ∈ (LocalHomeomorph.symm e' ≫ₕ e).toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [hex, he'x, mfld_simps]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {f g : H → H},
    (∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y) →
      f x = g x → IsLocalStructomorphWithinAt G f s x → IsLocalStructomorphWithinAt G g s x
[PROOFSTEP]
intro s x f g hfgs _ h hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f g : H → H
hfgs : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
a✝ : f x = g x
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn g (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rcases h hx with ⟨e, heG, hef, hex⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f g : H → H
hfgs : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
a✝ : f x = g x
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn g (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨e, heG, _, hex⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f g : H → H
hfgs : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
a✝ : f x = g x
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn g (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f g : H → H
hfgs : ∀ (y : H), y ∈ s → f y = g y
a✝ : f x = g x
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ s ∩ e.source
⊢ g y = ↑e.toLocalEquiv y
[PROOFSTEP]
rw [← hef hy, hfgs y hy.1]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
⊢ ∀ {s : Set H} {x : H} {f : H → H} {e' : LocalHomeomorph H H},
    e' ∈ G →
      s ⊆ f ⁻¹' e'.source →
        f x ∈ e'.source → IsLocalStructomorphWithinAt G f s x → IsLocalStructomorphWithinAt G (↑e' ∘ f) s x
[PROOFSTEP]
intro s x f e' he'G _ hfx h hx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn (↑e' ∘ f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rcases h hx with ⟨e, heG, hef, hex⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn (↑e' ∘ f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨e.trans e', G.trans heG he'G, _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn (↑e' ∘ f) (↑(e ≫ₕ e').toLocalEquiv) (s ∩ (e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
intro y hy
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ s ∩ (e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
⊢ (↑e' ∘ f) y = ↑(e ≫ₕ e').toLocalEquiv y
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hy
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ s ∧ y ∈ e.source ∧ ↑e y ∈ e'.source
⊢ (↑e' ∘ f) y = ↑(e ≫ₕ e').toLocalEquiv y
[PROOFSTEP]
simp only [hef ⟨hy.1, hy.2.1⟩, mfld_simps]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : LocalHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : IsLocalStructomorphWithinAt G f s x
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ x ∈ (e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simpa only [hex, hef ⟨hx, hex⟩, mfld_simps] using hfx
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x ↔
    x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x →
    x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
intro hf h2x
[GOAL]
case mp
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
obtain ⟨e, he, hfe, hxe⟩ := hf h2x
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' ⟨e.restr f.source, closedUnderRestriction' he f.open_source, _, _, hxe, _⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ (LocalHomeomorph.restr e f.source).toLocalEquiv.source ⊆ f.source
[PROOFSTEP]
simp_rw [LocalHomeomorph.restr_source]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.refine'_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ e.source ∩ interior f.source ⊆ f.source
[PROOFSTEP]
refine' (inter_subset_right _ _).trans interior_subset
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ EqOn (↑f) (↑(LocalHomeomorph.restr e f.source)) (s ∩ (LocalHomeomorph.restr e f.source).toLocalEquiv.source)
[PROOFSTEP]
intro x' hx'
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.refine'_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
x' : H
hx' : x' ∈ s ∩ (LocalHomeomorph.restr e f.source).toLocalEquiv.source
⊢ ↑f x' = ↑(LocalHomeomorph.restr e f.source) x'
[PROOFSTEP]
exact hfe ⟨hx'.1, hx'.2.1⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.refine'_3
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ x ∈ interior f.source
[PROOFSTEP]
rw [f.open_source.interior_eq]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.refine'_3
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ x ∈ f.source
[PROOFSTEP]
exact Or.resolve_right hx (not_not.mpr h2x)
[GOAL]
case mpr
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) →
    IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x
[PROOFSTEP]
intro hf hx
[GOAL]
case mpr
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx✝ : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
hx : x ∈ s
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
obtain ⟨e, he, _, hfe, hxe⟩ := hf hx
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro.intro
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx✝ : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
hx : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
he : e ∈ G
left✝ : e.source ⊆ f.source
hfe : EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ ∃ e, e ∈ G ∧ EqOn (↑f) (↑e.toLocalEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
exact ⟨e, he, hfe, hxe⟩
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ IsLocalStructomorphWithinAt G (↑f) s x ↔
    x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rw [f.isLocalStructomorphWithinAt_iff hx]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔
    x ∈ s → ∃ e, e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' imp_congr_right fun _ ↦ exists_congr fun e ↦ and_congr_right fun _ ↦ _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
⊢ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔
    e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
refine' and_congr_right fun h2e ↦ _
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : LocalHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
⊢ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
[PROOFSTEP]
rw [inter_eq_right_iff_subset.mpr (h2e.trans hs)]
[GOAL]
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H
f✝ f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : LocalHomeomorph H H
x : H
⊢ x ∈ f.source ∪ f.sourceᶜ
[PROOFSTEP]
simp_rw [union_compl_self, mem_univ]
[GOAL]
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e e' : LocalHomeomorph M H✝
f f' : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
⊢ ∀ {e e' : LocalHomeomorph H₃ H₁}, e ∈ atlas H₁ H₃ → e' ∈ atlas H₁ H₃ → LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ∈ G₁
[PROOFSTEP]
rintro _ _ ⟨e, f, he, hf, rfl⟩ ⟨e', f', he', hf', rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
⊢ LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f' ∈ G₁
[PROOFSTEP]
apply G₁.locality
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
⊢ ∀ (x : H₁),
    x ∈ (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source →
      ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : x ∈ (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps] at hx
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
have hxs : x ∈ f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source := by simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
⊢ x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
have hxs' : x ∈ f.target ∩ f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ e.symm ≫ₕ e' ⁻¹' f'.source) := by
  simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
⊢ x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
[PROOFSTEP]
simp only [hx, mfld_simps]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
obtain ⟨φ, hφG₁, hφ, hφ_dom⟩ :=
  LocalInvariantProp.liftPropOn_indep_chart (isLocalStructomorphWithinAt_localInvariantProp G₁)
    (G₁.subset_maximalAtlas hf) (G₁.subset_maximalAtlas hf') (H _ (G₂.compatible he he')) hxs' hxs
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ :
  EqOn (↑f' ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ∘ ↑(LocalHomeomorph.symm f)) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hφ_dom : x ∈ φ.source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
simp_rw [← LocalHomeomorph.coe_trans, LocalHomeomorph.trans_assoc] at hφ
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm (e ≫ₕ f) ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
simp_rw [LocalHomeomorph.trans_symm_eq_symm_trans_symm, LocalHomeomorph.trans_assoc]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
have hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source := (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').open_source
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f') s ∈ G₁
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, hs.inter φ.open_source, _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ x ∈ (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source ∩ φ.source
[PROOFSTEP]
simp only [hx, hφ_dom, mfld_simps]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')
      ((LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source ∩ φ.source) ∈
    G₁
[PROOFSTEP]
refine' G₁.eq_on_source (closedUnderRestriction' hφG₁ hs) _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')
      ((LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source ∩ φ.source) ≈
    LocalHomeomorph.restr φ (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
rw [LocalHomeomorph.restr_source_inter]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ LocalHomeomorph.restr (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f') φ.source ≈
    LocalHomeomorph.restr φ (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
[PROOFSTEP]
refine' LocalHomeomorph.Set.EqOn.restr_eqOn_source (hφ.mono _)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : LocalHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : LocalHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ (e : LocalHomeomorph H₂ H₂), e ∈ G₂ → LiftPropOn (IsLocalStructomorphWithinAt G₁) (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : LocalHomeomorph H₃ H₂
f : LocalHomeomorph H₂ H₁
he : e ∈ atlas H₂ H₃
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : LocalHomeomorph H₃ H₂
f' : LocalHomeomorph H₂ H₁
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx :
  (x ∈ f.target ∧ ↑(LocalHomeomorph.symm f) x ∈ e.target) ∧
    ↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x) ∈ e'.source ∧
      ↑e' (↑(LocalHomeomorph.symm e) (↑(LocalHomeomorph.symm f) x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source
hxs' :
  x ∈
    f.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹'
        ((LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ ↑(LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : LocalHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ :
  EqOn (↑(LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toLocalEquiv)
    (↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source
⊢ (LocalHomeomorph.symm f ≫ₕ LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e' ≫ₕ f').toLocalEquiv.source ∩ φ.source ⊆
    ↑(LocalHomeomorph.symm f) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e ≫ₕ e').toLocalEquiv.source ∩ φ.source
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac