[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [← mem_closure_zero_iff_norm, ← specializes_iff_mem_closure, ← map_zero f] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ↑f
x : E
hx : 0 ⤳ x
⊢ ↑f 0 ⤳ ↑f x
[PROOFSTEP]
exact hx.map hf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
v : E
hv : ‖v‖ = 1
src✝ : 𝕜 →ₗ[𝕜] E := LinearMap.toSpanSingleton 𝕜 E v
x : 𝕜
⊢ ‖↑{ toAddHom := src✝.toAddHom,
            map_smul' :=
              (_ : ∀ (r x : 𝕜), AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id 𝕜) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }
        x‖ =
    ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp [norm_smul, hv]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : E), ‖x‖ ≠ 0 → ‖↑f x‖ ≤ M * ‖x‖
x : E
h : ‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ M * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp only [h, mul_zero, norm_image_of_norm_zero f f.2 h, le_refl]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ↑f
x : E
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_zero_right, f.map_zero] using hf.dist_le_mul x 0
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
[PROOFSTEP]
simp only [norm_def, neg_apply, norm_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
obtain ⟨C, _, hC⟩ := f.bound
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
C : ℝ
left✝ : 0 < C
hC : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
replace hC := hC x
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
C : ℝ
left✝ : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
by_cases h : ‖x‖ = 0
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x : E
C : ℝ
left✝ : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rwa [h, mul_zero] at hC ⊢
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x : E
C : ℝ
left✝ : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have hlt : 0 < ‖x‖ := lt_of_le_of_ne (norm_nonneg x) (Ne.symm h)
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x : E
C : ℝ
left✝ : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact (div_le_iff hlt).mp (le_csInf bounds_nonempty fun c ⟨_, hc⟩ => (div_le_iff hlt).mpr <| by apply hc)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x : E
C : ℝ
left✝¹ : 0 < C
hC : ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖
c : ℝ
x✝ : c ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖}
left✝ : 0 ≤ c
hc : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖
[PROOFSTEP]
apply hc
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x y : E
⊢ dist (↑f x) (↑f y) ≤ ‖f‖ * dist x y
[PROOFSTEP]
simp_rw [dist_eq_norm, ← map_sub, f.le_op_norm]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x : E
a b : ℝ
hf : ‖f‖ ≤ a
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ ≤ a * b
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case b0
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x : E
a b : ℝ
hf : ‖f‖ ≤ a
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ 0 ≤ a
[PROOFSTEP]
exact (op_norm_nonneg f).trans hf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), x ∈ ball 0 ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rcases NormedField.exists_one_lt_norm 𝕜 with ⟨c, hc⟩
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), x ∈ ball 0 ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_of_shell ε_pos hC hc fun x _ hx => hf x _
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝¹ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), x ∈ ball 0 ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
x✝ : ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖
hx : ‖x‖ < ε
⊢ x ∈ ball 0 ε
[PROOFSTEP]
rwa [ball_zero_eq]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
by_cases h0 : c = 0
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : c = 0
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_of_ball ε_pos hC fun x hx => hf x _ _
[GOAL]
case pos.refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : c = 0
x : E
hx : x ∈ ball 0 ε
⊢ ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp [h0]
[GOAL]
case pos.refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : c = 0
x : E
hx : x ∈ ball 0 ε
⊢ ‖x‖ < ε
[PROOFSTEP]
rwa [ball_zero_eq] at hx
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rw [← inv_inv c, norm_inv, inv_lt_one_iff_of_pos (norm_pos_iff.2 <| inv_ne_zero h0)] at hc
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c⁻¹‖
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_of_shell ε_pos hC hc _
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c⁻¹‖
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ∀ (x : E), ε / ‖c⁻¹‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rwa [norm_inv, div_eq_mul_inv, inv_inv]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_bound' f hC fun x hx => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1 := by rw [norm_smul, norm_inv, norm_norm, inv_mul_cancel hx]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul, norm_inv, norm_norm, inv_mul_cancel hx]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have H₂ := hf _ H₁
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖↑f (‖x‖⁻¹ • x)‖ ≤ C
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rwa [map_smul, norm_smul, norm_inv, norm_norm, ← div_eq_inv_mul, _root_.div_le_iff] at H₂
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖↑f x‖ / ‖x‖ ≤ C
⊢ 0 < ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact (norm_nonneg x).lt_of_ne' hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x x✝ : E
⊢ ‖↑0 x✝‖ = 0 * ‖x✝‖
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x x✝ : E
⊢ ‖↑0 x✝‖ = 0
[PROOFSTEP]
exact norm_zero
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x : E
⊢ ‖↑(id 𝕜 E) x‖ ≤ 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖id 𝕜 E‖
[PROOFSTEP]
let ⟨x, hx⟩ := h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ 1 ≤ ‖id 𝕜 E‖
[PROOFSTEP]
have := (id 𝕜 E).ratio_le_op_norm x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖↑(id 𝕜 E) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id 𝕜 E‖
⊢ 1 ≤ ‖id 𝕜 E‖
[PROOFSTEP]
rwa [id_apply, div_self hx] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
𝕜' : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' F
c : 𝕜'
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ ‖↑(c • f) x✝‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x✝‖
[PROOFSTEP]
erw [norm_smul, mul_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
𝕜' : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' F
c : 𝕜'
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ ‖c‖ * ‖↑↑f x✝‖ ≤ ‖c‖ * (‖f‖ * ‖x✝‖)
[PROOFSTEP]
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (le_op_norm _ _) (norm_nonneg _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ closedBall 0 (a / b) ⊆ {f | ∀ (x : E), x ∈ closedBall 0 b → ↑f x ∈ closedBall 0 a}
[PROOFSTEP]
intro f hf x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : f ∈ closedBall 0 (a / b)
x : E
hx : x ∈ closedBall 0 b
⊢ ↑f x ∈ closedBall 0 a
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall_zero_iff] at hf hx ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ‖f‖ ≤ a / b
x : E
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ ‖↑f x‖ ≤ a
[PROOFSTEP]
calc
  ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ := le_op_norm _ _
  _ ≤ a / b * b := by gcongr
  _ = a := div_mul_cancel a hb.ne.symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ‖f‖ ≤ a / b
x : E
hx : ‖x‖ ≤ b
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ ≤ a / b * b
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ContinuousLinearMap.tmpTopologicalSpace = topologicalSpace
[PROOFSTEP]
refine'
  ContinuousLinearMap.tmpTopologicalAddGroup.ext inferInstance
    ((@Metric.nhds_basis_closedBall _ ContinuousLinearMap.tmpPseudoMetricSpace 0).ext
      (ContinuousLinearMap.hasBasis_nhds_zero_of_basis Metric.nhds_basis_closedBall) _ _)
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ i',
        (Bornology.IsVonNBounded 𝕜 i'.fst ∧ 0 < i'.snd) ∧
          {f | ∀ (x : E), x ∈ i'.fst → ↑f x ∈ closedBall 0 i'.snd} ⊆ closedBall 0 i
[PROOFSTEP]
rcases NormedField.exists_norm_lt_one 𝕜 with ⟨c, hc₀, hc₁⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
⊢ ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ i',
        (Bornology.IsVonNBounded 𝕜 i'.fst ∧ 0 < i'.snd) ∧
          {f | ∀ (x : E), x ∈ i'.fst → ↑f x ∈ closedBall 0 i'.snd} ⊆ closedBall 0 i
[PROOFSTEP]
intro ε hε
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ i',
    (Bornology.IsVonNBounded 𝕜 i'.fst ∧ 0 < i'.snd) ∧
      {f | ∀ (x : E), x ∈ i'.fst → ↑f x ∈ closedBall 0 i'.snd} ⊆ closedBall 0 ε
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨closedBall 0 (1 / ‖c‖), ε⟩, ⟨⟨_, hε⟩, _⟩⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (closedBall 0 (1 / ‖c‖), ε).fst
[PROOFSTEP]
exact NormedSpace.isVonNBounded_closedBall _ _ _
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ {f | ∀ (x : E), x ∈ (closedBall 0 (1 / ‖c‖), ε).fst → ↑f x ∈ closedBall 0 (closedBall 0 (1 / ‖c‖), ε).snd} ⊆
    closedBall 0 ε
[PROOFSTEP]
intro f (hf : ∀ x, _)
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ∀ (x : E), x ∈ (closedBall 0 (1 / ‖c‖), ε).fst → ↑f x ∈ closedBall 0 (closedBall 0 (1 / ‖c‖), ε).snd
⊢ f ∈ closedBall 0 ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [mem_closedBall_zero_iff] at hf
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ 1 / ‖c‖ → ‖↑f x‖ ≤ ε
⊢ f ∈ closedBall 0 ε
[PROOFSTEP]
convert
  (@mem_closedBall_zero_iff _ (_) f ε).2
    _
      -- Porting note: needed `convert`
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_2.convert_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ 1 / ‖c‖ → ‖↑f x‖ ≤ ε
⊢ ‖f‖ ≤ ε
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_of_shell' (div_pos one_pos hc₀) hε.le hc₁ fun x hx₁ hxc => _
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_2.convert_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ 1 / ‖c‖ → ‖↑f x‖ ≤ ε
x : E
hx₁ : 1 / ‖c‖ * ‖c‖ ≤ ‖x‖
hxc : ‖x‖ < 1 / ‖c‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ε * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [div_mul_cancel 1 hc₀.ne.symm] at hx₁
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.refine'_2.convert_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
c : 𝕜
hc₀ : 0 < ‖c‖
hc₁ : ‖c‖ < 1
ε : ℝ
hε : 0 < ε
f : E →SL[σ₁₂] F
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ 1 / ‖c‖ → ‖↑f x‖ ≤ ε
x : E
hx₁ : 1 ≤ ‖x‖
hxc : ‖x‖ < 1 / ‖c‖
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ε * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact (hf x hxc.le).trans (le_mul_of_one_le_right hε.le hx₁)
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ∀ (i' : Set E × ℝ),
    Bornology.IsVonNBounded 𝕜 i'.fst ∧ 0 < i'.snd →
      ∃ i, 0 < i ∧ closedBall 0 i ⊆ {f | ∀ (x : E), x ∈ i'.fst → ↑f x ∈ closedBall 0 i'.snd}
[PROOFSTEP]
rintro ⟨S, ε⟩ ⟨hS, hε⟩
[GOAL]
case refine'_2.mk.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
S : Set E
ε : ℝ
hS : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (S, ε).fst
hε : 0 < (S, ε).snd
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ closedBall 0 i ⊆ {f | ∀ (x : E), x ∈ (S, ε).fst → ↑f x ∈ closedBall 0 (S, ε).snd}
[PROOFSTEP]
rw [NormedSpace.isVonNBounded_iff, ← bounded_iff_isBounded] at hS
[GOAL]
case refine'_2.mk.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
S : Set E
ε : ℝ
hS : Metric.Bounded (S, ε).fst
hε : 0 < (S, ε).snd
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ closedBall 0 i ⊆ {f | ∀ (x : E), x ∈ (S, ε).fst → ↑f x ∈ closedBall 0 (S, ε).snd}
[PROOFSTEP]
rcases hS.subset_ball_lt 0 0 with ⟨δ, hδ, hSδ⟩
[GOAL]
case refine'_2.mk.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
S : Set E
ε : ℝ
hS : Metric.Bounded (S, ε).fst
hε : 0 < (S, ε).snd
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hSδ : (S, ε).fst ⊆ closedBall 0 δ
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ closedBall 0 i ⊆ {f | ∀ (x : E), x ∈ (S, ε).fst → ↑f x ∈ closedBall 0 (S, ε).snd}
[PROOFSTEP]
exact
  ⟨ε / δ, div_pos hε hδ, (ContinuousLinearMap.tmp_closedBall_div_subset hε hδ).trans fun f hf x hx => hf x <| hSδ hx⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ContinuousLinearMap.tmpUniformSpace = uniformSpace
[PROOFSTEP]
rw [← @UniformAddGroup.toUniformSpace_eq _ ContinuousLinearMap.tmpUniformSpace, ←
  @UniformAddGroup.toUniformSpace_eq _ ContinuousLinearMap.uniformSpace]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ TopologicalAddGroup.toUniformSpace (E →SL[σ₁₂] F) = TopologicalAddGroup.toUniformSpace (E →SL[σ₁₂] F)
[PROOFSTEP]
congr! 1
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ UniformSpace.toTopologicalSpace = UniformSpace.toTopologicalSpace
[PROOFSTEP]
exact ContinuousLinearMap.tmp_topology_eq
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖f‖₊ = sInf {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ↑‖f‖₊ = ↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})
[PROOFSTEP]
rw [NNReal.coe_sInf, coe_nnnorm, norm_def, NNReal.coe_image]
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖} =
    sInf {x | ∃ h, { val := x, property := h } ∈ {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
[PROOFSTEP]
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ≥0
hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖↑f x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖x‖₊ ≠ 0
[PROOFSTEP]
rwa [← NNReal.coe_ne_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ≥0
hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖↑f x‖₊ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ = 1
⊢ ‖x‖₊ = 1
[PROOFSTEP]
rwa [← NNReal.coe_eq_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖↑(comp h f) x‖ ≤ ‖h‖ * ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖↑(comp h f) x‖ ≤ ‖h‖ * (‖f‖ * ‖x‖)
[PROOFSTEP]
exact h.le_op_norm_of_le (f.le_op_norm x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
src✝ : Algebra 𝕜 (E →L[𝕜] E) := algebra
⊢ ∀ (r : 𝕜) (x : E →L[𝕜] E), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
intro c f
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
src✝ : Algebra 𝕜 (E →L[𝕜] E) := algebra
c : 𝕜
f : E →L[𝕜] E
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
[PROOFSTEP]
apply op_norm_smul_le c f
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
⊢ ∃ x, r * ‖x‖₊ < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
simpa only [not_forall, not_le, Set.mem_setOf] using
  not_mem_of_lt_csInf (nnnorm_def f ▸ hr : r < sInf {c : ℝ≥0 | ∀ x, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}) (OrderBot.bddBelow _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr₀ : 0 ≤ r
hr : r < ‖f‖
⊢ ∃ x, r * ‖x‖ < ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
lift r to ℝ≥0 using hr₀
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖
⊢ ∃ x, ↑r * ‖x‖ < ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
exact f.exists_mul_lt_apply_of_lt_op_nnnorm hr
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, hy⟩ := f.exists_mul_lt_apply_of_lt_op_nnnorm hr
[GOAL]
case intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖↑f y‖₊
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
have hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 := nnnorm_ne_zero_iff.2 fun heq => by simp [heq, nnnorm_zero, map_zero, not_lt_zero'] at hy
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖↑f y‖₊
heq : y = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [heq, nnnorm_zero, map_zero, not_lt_zero'] at hy
[GOAL]
case intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖↑f y‖₊
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
have hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0 := (zero_le'.trans_lt hy).ne'
[GOAL]
case intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖↑f y‖₊
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖↑f y‖₊ ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ←
  NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy
[GOAL]
case intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖↑f y‖₊ ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
obtain ⟨k, hk₁, hk₂⟩ := NormedField.exists_lt_nnnorm_lt 𝕜 hy
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖↑f y‖₊ ≠ 0
k : 𝕜
hk₁ : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊
hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹
⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖₊
[PROOFSTEP]
refine' ⟨k • y, (nnnorm_smul k y).symm ▸ (NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy').1 hk₂, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖↑f y‖₊ ≠ 0
k : 𝕜
hk₁ : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊
hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹
⊢ r < ‖↑f (k • y)‖₊
[PROOFSTEP]
have : ‖σ₁₂ k‖₊ = ‖k‖₊ := Subtype.ext RingHomIsometric.is_iso
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖↑f y‖₊ ≠ 0
k : 𝕜
hk₁ : r * ‖↑f y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊
hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹
this : ‖↑σ₁₂ k‖₊ = ‖k‖₊
⊢ r < ‖↑f (k • y)‖₊
[PROOFSTEP]
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← NNReal.div_lt_iff hfy, div_eq_mul_inv, this]
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
by_cases hr₀ : r < 0
[GOAL]
case pos
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
exact ⟨0, by simpa using hr₀⟩
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : r < 0
⊢ ‖0‖ < 1 ∧ r < ‖↑f 0‖
[PROOFSTEP]
simpa using hr₀
[GOAL]
case neg
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : ¬r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
lift r to ℝ≥0 using not_lt.1 hr₀
[GOAL]
case neg.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖
hr₀ : ¬↑r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ ↑r < ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
exact f.exists_lt_apply_of_lt_op_nnnorm hr
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
refine' csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) _ fun ub hub => _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∀ (a : ℝ≥0), a ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1 → a ≤ ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
rintro - ⟨x, hx, rfl⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
hx : x ∈ ball 0 1
⊢ (fun x => ‖↑f x‖₊) x ≤ ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
simpa only [mul_one] using f.le_op_norm_of_le (mem_ball_zero_iff.1 hx).le
[GOAL]
case refine'_2
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
⊢ ∃ a, a ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1 ∧ ub < a
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, hxf⟩ := f.exists_lt_apply_of_lt_op_nnnorm hub
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
x : E
hx : ‖x‖₊ < 1
hxf : ub < ‖↑f x‖₊
⊢ ∃ a, a ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1 ∧ ub < a
[PROOFSTEP]
exact ⟨_, ⟨x, mem_ball_zero_iff.2 hx, rfl⟩, hxf⟩
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖) '' ball 0 1) = ‖f‖
[PROOFSTEP]
simpa only [NNReal.coe_sSup, Set.image_image] using NNReal.coe_eq.2 f.sSup_unit_ball_eq_nnnorm
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
have hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊ :=
  by
  rintro - ⟨x, hx, rfl⟩
  exact f.unit_le_op_norm x (mem_closedBall_zero_iff.1 hx)
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∀ (y : ℝ≥0), y ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1 → y ≤ ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
rintro - ⟨x, hx, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
hx : x ∈ closedBall 0 1
⊢ (fun x => ‖↑f x‖₊) x ≤ ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
exact f.unit_le_op_norm x (mem_closedBall_zero_iff.1 hx)
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ (y : ℝ≥0), y ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1 → y ≤ ‖f‖₊
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
[PROOFSTEP]
refine' le_antisymm (csSup_le ((nonempty_closedBall.mpr zero_le_one).image _) hbdd) _
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ (y : ℝ≥0), y ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1 → y ≤ ‖f‖₊
⊢ ‖f‖₊ ≤ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1)
[PROOFSTEP]
rw [← sSup_unit_ball_eq_nnnorm]
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ (y : ℝ≥0), y ∈ (fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1 → y ≤ ‖f‖₊
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' ball 0 1) ≤ sSup ((fun x => ‖↑f x‖₊) '' closedBall 0 1)
[PROOFSTEP]
exact csSup_le_csSup ⟨‖f‖₊, hbdd⟩ ((nonempty_ball.2 zero_lt_one).image _) (Set.image_subset _ ball_subset_closedBall)
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖↑f x‖) '' closedBall 0 1) = ‖f‖
[PROOFSTEP]
simpa only [NNReal.coe_sSup, Set.image_image] using NNReal.coe_eq.2 f.sSup_closed_unit_ball_eq_nnnorm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = ‖↑g x‖
x : E
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [h x]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = ‖↑g x‖
x : E
⊢ ‖↑g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact le_op_norm _ _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = ‖↑g x‖
c : ℝ
hc : c ≥ 0
h₂ : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖
z : E
⊢ ‖↑g z‖ ≤ c * ‖z‖
[PROOFSTEP]
rw [← h z]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = ‖↑g x‖
c : ℝ
hc : c ≥ 0
h₂ : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖
z : E
⊢ ‖↑f z‖ ≤ c * ‖z‖
[PROOFSTEP]
exact h₂ z
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : E →L[𝕜] Fₗ
g : E →L[𝕜] Gₗ
x : E
⊢ ‖↑(ContinuousLinearMap.prod f g) x‖ ≤ ‖(f, g)‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [prod_apply, Prod.norm_def, max_mul_of_nonneg, norm_nonneg] using
  max_le_max (le_op_norm f x) (le_op_norm g x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
⊢ ‖f‖ = 0
[PROOFSTEP]
refine' le_antisymm _ (norm_nonneg _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
⊢ ‖f‖ ≤ 0
[PROOFSTEP]
apply op_norm_le_bound _ rfl.ge
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
⊢ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ 0 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
x : E
⊢ ‖↑f x‖ ≤ 0 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp [Subsingleton.elim x 0]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖↑(toContinuousLinearMap f) x‖ ≤ 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
h : ∀ (x : E) (y : F), ‖↑(↑f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x : E
⊢ max (C * ‖x‖) 0 = max C 0 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [max_mul_of_nonneg _ _ (norm_nonneg x), zero_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
h : ∃ C, ∀ (x : E) (y : F), ‖↑(↑f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x y : E
⊢ (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) (x + y) =
    (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) x +
      (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) y
[PROOFSTEP]
ext z
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
h : ∃ C, ∀ (x : E) (y : F), ‖↑(↑f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x y : E
z : F
⊢ ↑((fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) (x + y)) z =
    ↑((fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) x +
          (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) y)
      z
[PROOFSTEP]
rw [ContinuousLinearMap.add_apply, mkContinuousOfExistsBound_apply, mkContinuousOfExistsBound_apply,
  mkContinuousOfExistsBound_apply, map_add, add_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
h : ∃ C, ∀ (x : E) (y : F), ‖↑(↑f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
c : 𝕜
x : E
⊢ AddHom.toFun
      { toFun := fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖),
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (x y : E),
              (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) (x + y) =
                (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) x +
                  (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) y) }
      (c • x) =
    ↑σ₁₃ c •
      AddHom.toFun
        { toFun := fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖),
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (x y : E),
                (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) (x + y) =
                  (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) x +
                    (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) y) }
        x
[PROOFSTEP]
ext z
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
h : ∃ C, ∀ (x : E) (y : F), ‖↑(↑f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
c : 𝕜
x : E
z : F
⊢ ↑(AddHom.toFun
          { toFun := fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖),
            map_add' :=
              (_ :
                ∀ (x y : E),
                  (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖))
                      (x + y) =
                    (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) x +
                      (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) y) }
          (c • x))
      z =
    ↑(↑σ₁₃ c •
          AddHom.toFun
            { toFun := fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖),
              map_add' :=
                (_ :
                  ∀ (x y : E),
                    (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖))
                        (x + y) =
                      (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖)) x +
                        (fun x => mkContinuousOfExistsBound (↑f x) (_ : ∃ C, ∀ (x_1 : F), ‖↑(↑f x) x_1‖ ≤ C * ‖x_1‖))
                          y) }
            x)
      z
[PROOFSTEP]
rw [ContinuousLinearMap.smul_apply, mkContinuousOfExistsBound_apply, mkContinuousOfExistsBound_apply, map_smulₛₗ,
  smul_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
z : F
x y : E
⊢ (fun y x => ↑(↑f x) y) z (x + y) = (fun y x => ↑(↑f x) y) z x + (fun y x => ↑(↑f x) y) z y
[PROOFSTEP]
simp only [f.map_add, add_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
c : 𝕜
y : F
x : E
⊢ (fun y x => ↑(↑f x) y) y (c • x) = ↑σ₁₃ c • (fun y x => ↑(↑f x) y) y x
[PROOFSTEP]
simp only [f.map_smulₛₗ, smul_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
y : F
x : E
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ * ‖y‖ = ‖f‖ * ‖y‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp only [mul_right_comm]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
⊢ ‖↑(↑f x) y‖ ≤ ‖flip f‖ * ‖x‖ * ‖y‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_right_comm]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
⊢ ‖↑(↑f x) y‖ ≤ ‖flip f‖ * ‖y‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact (flip f).le_op_norm₂ y x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ flip (flip f) = f
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x✝¹ : E
x✝ : F
⊢ ↑(↑(flip (flip f)) x✝¹) x✝ = ↑(↑f x✝¹) x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
⊢ ‖flip f‖ ≤ ‖f‖
[PROOFSTEP]
simpa only [flip_flip] using le_norm_flip f.flip
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
c : 𝕜₂
f : F →SL[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
⊢ comp f (c • g) = ↑σ₂₃ c • comp f g
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
c : 𝕜₂
f : F →SL[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ ↑(comp f (c • g)) x✝ = ↑(↑σ₂₃ c • comp f g) x✝
[PROOFSTEP]
simp only [ContinuousLinearMap.map_smulₛₗ, coe_smul', coe_comp', Function.comp_apply, Pi.smul_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : F →SL[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖↑(↑(LinearMap.mk₂'ₛₗ (RingHom.id 𝕜₃) σ₂₃ comp
                (_ : ∀ (g₁ g₂ : F →SL[σ₂₃] G) (f : E →SL[σ₁₂] F), comp (g₁ + g₂) f = comp g₁ f + comp g₂ f)
                (_ : ∀ (c : 𝕜₃) (h : F →SL[σ₂₃] G) (f : E →SL[σ₁₂] F), comp (c • h) f = c • comp h f)
                (_ : ∀ (g : F →SL[σ₂₃] G) (f₁ f₂ : E →SL[σ₁₂] F), comp g (f₁ + f₂) = comp g f₁ + comp g f₂)
                (_ : ∀ (c : 𝕜₂) (f : F →SL[σ₂₃] G) (g : E →SL[σ₁₂] F), comp f (c • g) = ↑σ₂₃ c • comp f g))
            f)
        g‖ ≤
    1 * ‖f‖ * ‖g‖
[PROOFSTEP]
simpa only [one_mul] using op_norm_comp_le f g
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ 1 * ‖L‖ = ‖L‖
[PROOFSTEP]
rw [one_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ ‖precompL Eₗ L‖ ≤ ‖L‖
[PROOFSTEP]
rw [precompL, op_norm_flip, ← op_norm_flip L]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ ‖precompR Eₗ (flip L)‖ ≤ ‖flip L‖
[PROOFSTEP]
exact norm_precompR_le _ L.flip
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
⊢ (fun p => prodMap p.fst p.snd) =
    ↑(let_fun Φ₁ := ↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄);
      let_fun Φ₂ := ↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄);
      let_fun Φ₁' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃);
      let_fun Φ₂' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃);
      let_fun Ψ₁ := fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
      let_fun Ψ₂ := snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
      comp Φ₁' (comp Φ₁ Ψ₁) + comp Φ₂' (comp Φ₂ Ψ₂))
[PROOFSTEP]
apply funext
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
⊢ ∀ (x : (M₁ →L[𝕜] M₂) × (M₃ →L[𝕜] M₄)),
    prodMap x.fst x.snd =
      ↑(let_fun Φ₁ := ↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄);
          let_fun Φ₂ := ↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄);
          let_fun Φ₁' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃);
          let_fun Φ₂' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃);
          let_fun Ψ₁ := fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
          let_fun Ψ₂ := snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
          comp Φ₁' (comp Φ₁ Ψ₁) + comp Φ₂' (comp Φ₂ Ψ₂))
        x
[PROOFSTEP]
rintro ⟨φ, ψ⟩
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
⊢ prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd =
    ↑(let_fun Φ₁ := ↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄);
        let_fun Φ₂ := ↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄);
        let_fun Φ₁' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃);
        let_fun Φ₂' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃);
        let_fun Ψ₁ := fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
        let_fun Ψ₂ := snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
        comp Φ₁' (comp Φ₁ Ψ₁) + comp Φ₂' (comp Φ₂ Ψ₂))
      (φ, ψ)
[PROOFSTEP]
refine'
  ContinuousLinearMap.ext fun ⟨x₁, x₂⟩ =>
    _
      -- Porting note: mathport suggested:
            -- ```
            -- simp only [add_apply, coe_comp', coe_fst', Function.comp_apply, compL_apply, flip_apply,
            --   coe_snd', inl_apply, inr_apply, Prod.mk_add_mk, add_zero, zero_add, coe_prodMap'
            --   Prod_map, Prod.mk.inj_iff, eq_self_iff_true, and_self_iff]
            -- rfl
            -- ```
            -- Frustratingly, in `mathlib3` we can use:
            -- ```
            -- dsimp   -- ⊢ (⇑φ x.fst, ⇑ψ x.snd) = (⇑φ x.fst + 0, 0 + ⇑ψ x.snd)
            -- simp
            -- ```
            -- Here neither `dsimp` or `simp` seem to make progress.
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(let_fun Φ₁ := ↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄);
            let_fun Φ₂ := ↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄);
            let_fun Φ₁' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃);
            let_fun Φ₂' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃);
            let_fun Ψ₁ := fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
            let_fun Ψ₂ := snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
            comp Φ₁' (comp Φ₁ Ψ₁) + comp Φ₂' (comp Φ₂ Ψ₂))
          (φ, ψ))
      (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
repeat
  first
  | rw [add_apply]
  | rw [comp_apply]
  | rw [flip_apply]
  | rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(let_fun Φ₁ := ↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄);
            let_fun Φ₂ := ↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄);
            let_fun Φ₁' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃);
            let_fun Φ₂' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃);
            let_fun Ψ₁ := fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
            let_fun Ψ₂ := snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
            comp Φ₁' (comp Φ₁ Ψ₁) + comp Φ₂' (comp Φ₂ Ψ₂))
          (φ, ψ))
      (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(let_fun Φ₁ := ↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄);
            let_fun Φ₂ := ↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄);
            let_fun Φ₁' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃);
            let_fun Φ₂' := ↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃);
            let_fun Ψ₁ := fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
            let_fun Ψ₂ := snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄);
            comp Φ₁' (comp Φ₁ Ψ₁) + comp Φ₂' (comp Φ₂ Ψ₂))
          (φ, ψ))
      (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(comp (↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
                (comp (↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))))
            (φ, ψ) +
          ↑(comp (↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
                (comp (↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))))
            (φ, ψ))
      (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(comp (↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
                (comp (↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))))
            (φ, ψ) +
          ↑(comp (↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
                (comp (↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))))
            (φ, ψ))
      (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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            (φ, ψ))
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            (φ, ψ))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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            (φ, ψ))
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            (φ, ψ))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
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            (φ, ψ))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
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inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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            (φ, ψ))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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E : Type u_4
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
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| rw [flip_apply]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(comp (↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
                (comp (↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))))
            (φ, ψ))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(comp (↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
                (comp (↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))))
            (φ, ψ))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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            (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(comp (↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))) (φ, ψ)))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
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φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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            (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(comp (↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄))) (φ, ψ)))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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Fₗ : Type u_7
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
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𝓕 : Type u_10
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inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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𝕜 : Type u_1
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
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inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
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M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
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        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [flip_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
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inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))
                (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
            (fst 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))
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            (fst 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(flip (compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
            (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [flip_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))
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            (snd 𝕜 M₁ M₃))
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[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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E : Type u_4
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inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
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inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
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rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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E : Type u_4
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
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inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
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M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [flip_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
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M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
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M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₁ (M₂ × M₄))
                (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
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E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(comp (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))
                (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
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inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(comp (↑(↑(compL 𝕜 M₁ M₂ (M₂ × M₄)) (inl 𝕜 M₂ M₄)) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (fst 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂) +
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            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
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M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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M₁ : Type u₁
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
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        (x₁, x₂)
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rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
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x✝ : M₁ × M₃
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[GOAL]
case h.mk
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𝕜₃ : Type u_3
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
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rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
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E : Type u_4
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Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(comp (inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))
                (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(comp (inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))
                (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(comp (inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 (M₁ × M₃) M₃ (M₂ × M₄))
                (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))))
            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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Gₗ : Type u_9
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
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inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
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inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
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M₄ : Type u₄
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φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
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M₁ : Type u₁
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φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
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            (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [flip_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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E : Type u_4
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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M₁ : Type u₁
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M₂ : Type u₂
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inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
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E : Type u_4
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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M₄ : Type u₄
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
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x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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      ↑(comp (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
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𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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M₁ : Type u₁
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inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(comp (↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ))) (snd 𝕜 M₁ M₃))
        (x₁, x₂)
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)))
        (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))
[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)))
        (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
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Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
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inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)))
        (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))
[PROOFSTEP]
rw [flip_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
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inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
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inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(↑(↑(compL 𝕜 M₃ M₄ (M₂ × M₄)) (inr 𝕜 M₂ M₄)) (↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)))
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[PROOFSTEP]
rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
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inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
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[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
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E : Type u_4
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
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M₂ : Type u₂
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inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
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⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
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[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
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M₂ : Type u₂
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M₃ : Type u₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
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x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
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inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
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M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
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[PROOFSTEP]
first
| rw [add_apply]
| rw [comp_apply]
| rw [flip_apply]
| rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
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𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
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inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
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M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(inr 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)))
[PROOFSTEP]
rw [add_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(inr 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)))
[PROOFSTEP]
rw [comp_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(inr 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)))
[PROOFSTEP]
rw [flip_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(inr 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)))
[PROOFSTEP]
rw [compL_apply]
[GOAL]
case h.mk
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
M₁ : Type u₁
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 M₁
M₂ : Type u₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup M₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 M₂
M₃ : Type u₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup M₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 M₃
M₄ : Type u₄
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 M₄
φ : M₁ →L[𝕜] M₂
ψ : M₃ →L[𝕜] M₄
x✝ : M₁ × M₃
x₁ : M₁
x₂ : M₃
⊢ ↑(prodMap (φ, ψ).fst (φ, ψ).snd) (x₁, x₂) =
    ↑(inl 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(fst 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(fst 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂))) +
      ↑(inr 𝕜 M₂ M₄) (↑(↑(snd 𝕜 (M₁ →L[𝕜] M₂) (M₃ →L[𝕜] M₄)) (φ, ψ)) (↑(snd 𝕜 M₁ M₃) (x₁, x₂)))
[PROOFSTEP]
simp only [coe_prodMap', Prod_map, coe_fst', inl_apply, coe_snd', inr_apply, Prod.mk_add_mk, add_zero, zero_add]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' 𝕜'
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' 𝕜'
x y : 𝕜'
⊢ ‖↑(↑(LinearMap.mul 𝕜 𝕜') x) y‖ ≤ 1 * ‖x‖ * ‖y‖
[PROOFSTEP]
simpa using norm_mul_le x y
[GOAL]
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜'✝ : Type u_11
inst✝⁷ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜'✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜✝ 𝕜'✝
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜✝ 𝕜'✝ 𝕜'✝
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜✝ 𝕜'✝ 𝕜'✝
𝕜 : Type ?u.2283380
𝕜' : Type ?u.2283383
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜'
⊢ ‖x‖ ≤ ‖↑(mul 𝕜 𝕜') x‖
[PROOFSTEP]
convert ratio_le_op_norm ((mul 𝕜 𝕜') x) (1 : 𝕜')
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜✝ E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜'✝ : Type u_11
inst✝⁷ : NonUnitalSeminormedRing 𝕜'✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜✝ 𝕜'✝
inst✝⁵ : IsScalarTower 𝕜✝ 𝕜'✝ 𝕜'✝
inst✝⁴ : SMulCommClass 𝕜✝ 𝕜'✝ 𝕜'✝
𝕜 : Type ?u.2283380
𝕜' : Type ?u.2283383
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜'
⊢ ‖x‖ = ‖↑(↑(mul 𝕜 𝕜') x) 1‖ / ‖1‖
[PROOFSTEP]
simp [norm_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
c : 𝕜'
x : E
⊢ ‖↑(↑(AlgHom.toLinearMap (Algebra.lsmul 𝕜 𝕜 E)) c) x‖ ≤ 1 * ‖c‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [one_mul] using norm_smul_le c x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
⊢ ‖toSpanSingleton 𝕜 x‖ = ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_eq_of_bounds (norm_nonneg _) (fun x => _) fun N _ h => _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x✝ : E
x : 𝕜
⊢ ‖↑(toSpanSingleton 𝕜 x✝) x‖ ≤ ‖x✝‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [toSpanSingleton_apply, norm_smul, mul_comm]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x_1 : 𝕜), ‖↑(toSpanSingleton 𝕜 x) x_1‖ ≤ N * ‖x_1‖
⊢ ‖x‖ ≤ N
[PROOFSTEP]
specialize h 1
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ‖↑(toSpanSingleton 𝕜 x) 1‖ ≤ N * ‖1‖
⊢ ‖x‖ ≤ N
[PROOFSTEP]
rw [toSpanSingleton_apply, norm_smul, mul_comm] at h
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ‖x‖ * ‖1‖ ≤ N * ‖1‖
⊢ ‖x‖ ≤ N
[PROOFSTEP]
exact (mul_le_mul_right (by simp)).mp h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ‖x‖ * ‖1‖ ≤ N * ‖1‖
⊢ 0 < ‖1‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
⊢ ‖lsmul 𝕜 𝕜'‖ ≤ 1
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.op_norm_le_bound _ zero_le_one fun x => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : 𝕜'
⊢ ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [one_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
𝕜' : Type u_11
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : 𝕜'
⊢ ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact op_norm_lsmul_apply_le _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ
⊢ ↑(↑f (x + x')) (y + y') = ↑(↑f x) y + ↑(↑(deriv₂ f) (x, y)) (x', y') + ↑(↑f x') y'
[PROOFSTEP]
simp only [map_add, add_apply, coe_deriv₂, add_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ
⊢ ↑(↑f x) y + (↑(↑f x') y + (↑(↑f x) y' + ↑(↑f x') y')) = ↑(↑f x) y + (↑(↑f x) y' + (↑(↑f x') y + ↑(↑f x') y'))
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁶ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ
⊢ ↑(↑f x) y + (↑(↑f x') y + (↑(↑f x) y' + ↑(↑f x') y')) = ↑(↑f x) y + (↑(↑f x) y' + (↑(↑f x') y + ↑(↑f x') y'))
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
hx : x = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
hx : ¬x = 0
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact SemilinearMapClass.bound_of_shell_semi_normed f ε_pos hc hf (ne_of_lt (norm_pos_iff.2 hx)).symm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
⊢ ∃ C, ∀ (z : E), ‖↑f z‖ ≤ C * ‖z‖
[PROOFSTEP]
cases' @NontriviallyNormedField.non_trivial 𝕜 _ with k hk
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
⊢ ∃ C, ∀ (z : E), ‖↑f z‖ ≤ C * ‖z‖
[PROOFSTEP]
use c * (‖k‖ / r)
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
⊢ ∀ (z : E), ‖↑f z‖ ≤ c * (‖k‖ / r) * ‖z‖
[PROOFSTEP]
intro z
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z : E
⊢ ‖↑f z‖ ≤ c * (‖k‖ / r) * ‖z‖
[PROOFSTEP]
refine' bound_of_shell _ r_pos hk (fun x hko hxo => _) _
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ ‖↑f x‖ ≤ c * (‖k‖ / r) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
calc
  ‖f x‖ ≤ c := h _ (mem_ball_zero_iff.mpr hxo)
  _ ≤ c * (‖x‖ * ‖k‖ / r) := (le_mul_of_one_le_right ?_ ?_)
  _ = _ := by ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ c * (‖x‖ * ‖k‖ / r) = c * (‖k‖ / r) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case h.calc_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 0 ≤ c
[PROOFSTEP]
exact le_trans (norm_nonneg _) (h 0 (by simp [r_pos]))
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 0 ∈ ball 0 r
[PROOFSTEP]
simp [r_pos]
[GOAL]
case h.calc_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 1 ≤ ‖x‖ * ‖k‖ / r
[PROOFSTEP]
rw [div_le_iff (zero_lt_one.trans hk)] at hko
[GOAL]
case h.calc_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z✝ : E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ (z : E), z ∈ ball 0 r → ‖↑f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r ≤ ‖x‖ * ‖k‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 1 ≤ ‖x‖ * ‖k‖ / r
[PROOFSTEP]
exact (one_le_div r_pos).mpr hko
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ↑f
[PROOFSTEP]
rcases((nhds_basis_ball.comap _).le_basis_iff nhds_basis_ball).1 hf 1 one_pos with ⟨ε, ε0, hε⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ↑f ⁻¹' ball 0 ε ⊆ ball 0 1
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ↑f
[PROOFSTEP]
simp only [Set.subset_def, Set.mem_preimage, mem_ball_zero_iff] at hε
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ε → ‖x‖ < 1
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ↑f
[PROOFSTEP]
lift ε to ℝ≥0 using ε0.le
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ↑f
[PROOFSTEP]
rcases NormedField.exists_one_lt_norm 𝕜 with ⟨c, hc⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
⊢ ∃ K, AntilipschitzWith K ↑f
[PROOFSTEP]
refine' ⟨ε⁻¹ * ‖c‖₊, AddMonoidHomClass.antilipschitz_of_bound f fun x => _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
by_cases hx : f x = 0
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ↑f x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
rw [← hx] at hf
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 (↑f x)) ≤ 𝓝 0
hx : ↑f x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
obtain rfl : x = 0 :=
  Specializes.eq
    (specializes_iff_pure.2 <| ((Filter.tendsto_pure_pure _ _).mono_right (pure_le_nhds _)).le_comap.trans hf)
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 (↑f 0)) ≤ 𝓝 0
hx : ↑f 0 = 0
⊢ ‖0‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f 0‖
[PROOFSTEP]
exact norm_zero.trans_le (mul_nonneg (NNReal.coe_nonneg _) (norm_nonneg _))
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
have hc₀ : c ≠ 0 := norm_pos_iff.1 (one_pos.trans hc)
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
rw [← h.1] at hc
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖↑σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
rcases rescale_to_shell_zpow hc ε0 hx with ⟨n, -, hlt, -, hle⟩
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖↑σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖↑σ₁₂ c ^ n • ↑f x‖ < ↑ε
hle : ‖↑σ₁₂ c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖↑σ₁₂ c‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
simp only [← map_zpow₀, h.1, ← map_smulₛₗ] at hlt hle
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖↑σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖↑f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
calc
  ‖x‖ = ‖c ^ n‖⁻¹ * ‖c ^ n • x‖ := by rwa [← norm_inv, ← norm_smul, inv_smul_smul₀ (zpow_ne_zero _ _)]
  _ ≤ ‖c ^ n‖⁻¹ * 1 := (mul_le_mul_of_nonneg_left (hε _ hlt).le (inv_nonneg.2 (norm_nonneg _)))
  _ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖ := by rwa [mul_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖↑σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖↑f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖x‖ = ‖c ^ n‖⁻¹ * ‖c ^ n • x‖
[PROOFSTEP]
rwa [← norm_inv, ← norm_smul, inv_smul_smul₀ (zpow_ne_zero _ _)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (↑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖↑σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬↑f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖↑f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖c ^ n‖⁻¹ * 1 ≤ ↑ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖↑f x‖
[PROOFSTEP]
rwa [mul_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hn : ‖f‖ = 0
x : E
⊢ ‖f‖ * ‖x‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [hn, zero_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ f = 0 → ‖f‖ = 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ ‖0‖ = 0
[PROOFSTEP]
exact op_norm_zero
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖id 𝕜 E‖ = 1
[PROOFSTEP]
refine' norm_id_of_nontrivial_seminorm _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx⟩ := exists_ne (0 : E)
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨x, ne_of_gt (norm_pos_iff.2 hx)⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = a * ‖x‖
⊢ ‖f‖ = a
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx⟩ : ∃ x : E, x ≠ 0 := exists_ne 0
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ‖f‖ = a
[PROOFSTEP]
rw [← norm_pos_iff] at hx
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
⊢ ‖f‖ = a
[PROOFSTEP]
have ha : 0 ≤ a := by simpa only [hf, hx, zero_le_mul_right] using norm_nonneg (f x)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
⊢ 0 ≤ a
[PROOFSTEP]
simpa only [hf, hx, zero_le_mul_right] using norm_nonneg (f x)
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
ha : 0 ≤ a
⊢ ‖f‖ = a
[PROOFSTEP]
apply le_antisymm (f.op_norm_le_bound ha fun y => le_of_eq (hf y))
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
ha : 0 ≤ a
⊢ a ≤ ‖f‖
[PROOFSTEP]
simpa only [hf, hx, mul_le_mul_right] using f.le_op_norm x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
⊢ E' →SL[σ₁₂] F
[PROOFSTEP]
refine' (linearMapOfMemClosureRangeCoe f _).mkContinuousOfExistsBound _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
⊢ f ∈ closure (range FunLike.coe)
[PROOFSTEP]
refine' closure_mono (image_subset_iff.2 fun g _ => _) hf
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
g : E' →SL[σ₁₂] F
x✝ : g ∈ s
⊢ g ∈ FunLike.coe ⁻¹' range FunLike.coe
[PROOFSTEP]
exact ⟨g, rfl⟩
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
⊢ ∃ C, ∀ (x : E'), ‖↑(linearMapOfMemClosureRangeCoe f (_ : f ∈ closure (range FunLike.coe))) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rcases bounded_iff_forall_norm_le.1 hs with
  ⟨C, hC⟩
    -- Then `‖g x‖ ≤ C * ‖x‖` for all `g ∈ s`, `x : E`, hence `‖f x‖ ≤ C * ‖x‖` for all `x`.
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
C : ℝ
hC : ∀ (x : E' →SL[σ₁₂] F), x ∈ s → ‖x‖ ≤ C
⊢ ∃ C, ∀ (x : E'), ‖↑(linearMapOfMemClosureRangeCoe f (_ : f ∈ closure (range FunLike.coe))) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have : ∀ x, IsClosed {g : E' → F | ‖g x‖ ≤ C * ‖x‖} := fun x =>
  isClosed_Iic.preimage (@continuous_apply E' (fun _ => F) _ x).norm
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
C : ℝ
hC : ∀ (x : E' →SL[σ₁₂] F), x ∈ s → ‖x‖ ≤ C
this : ∀ (x : E'), IsClosed {g | ‖g x‖ ≤ C * ‖x‖}
⊢ ∃ C, ∀ (x : E'), ‖↑(linearMapOfMemClosureRangeCoe f (_ : f ∈ closure (range FunLike.coe))) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine' ⟨C, fun x => (this x).closure_subset_iff.2 (image_subset_iff.2 fun g hg => _) hf⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E' → F
s : Set (E' →SL[σ₁₂] F)
hs : Metric.Bounded s
hf : f ∈ closure (FunLike.coe '' s)
C : ℝ
hC : ∀ (x : E' →SL[σ₁₂] F), x ∈ s → ‖x‖ ≤ C
this : ∀ (x : E'), IsClosed {g | ‖g x‖ ≤ C * ‖x‖}
x : E'
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : g ∈ s
⊢ g ∈ FunLike.coe ⁻¹' {g | ‖g x‖ ≤ C * ‖x‖}
[PROOFSTEP]
exact g.le_of_op_norm_le (hC _ hg) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
rcases cauchySeq_iff_le_tendsto_0.1 hf with
  ⟨b, hb₀, hfb, hb_lim⟩
    -- Since `b → 0`, it suffices to show that `‖f n x - g x‖ ≤ b n * ‖x‖` for all `n` and `x`.
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 g)
[PROOFSTEP]
suffices : ∀ n x, ‖f n x - g x‖ ≤ b n * ‖x‖
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
this : ∀ (n : ℕ) (x : E'), ‖↑(f n) x - ↑g x‖ ≤ b n * ‖x‖
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 g)
case this
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n : ℕ) (x : E'), ‖↑(f n) x - ↑g x‖ ≤ b n * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact
  tendsto_iff_norm_tendsto_zero.2
    (squeeze_zero (fun n => norm_nonneg _) (fun n => op_norm_le_bound _ (hb₀ n) (this n)) hb_lim)
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (n : ℕ) (x : E'), ‖↑(f n) x - ↑g x‖ ≤ b n * ‖x‖
[PROOFSTEP]
intro n x
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : E'
⊢ ‖↑(f n) x - ↑g x‖ ≤ b n * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have : Tendsto (fun m => ‖f n x - f m x‖) atTop (𝓝 ‖f n x - g x‖) :=
  (tendsto_const_nhds.sub <| tendsto_pi_nhds.1 hg _).norm
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : E'
this : Tendsto (fun m => ‖↑(f n) x - ↑(f m) x‖) atTop (𝓝 ‖↑(f n) x - ↑g x‖)
⊢ ‖↑(f n) x - ↑g x‖ ≤ b n * ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine'
  le_of_tendsto this
    (eventually_atTop.2 ⟨n, fun m hm => _⟩)
      -- This inequality follows from `‖f n - f m‖ ≤ b n`.
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : Tendsto (fun n x => ↑(f n) x) atTop (𝓝 ↑g)
hf : CauchySeq f
b : ℕ → ℝ
hb₀ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hfb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n) (f m) ≤ b N
hb_lim : Tendsto b atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : E'
this : Tendsto (fun m => ‖↑(f n) x - ↑(f m) x‖) atTop (𝓝 ‖↑(f n) x - ↑g x‖)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ‖↑(f n) x - ↑(f m) x‖ ≤ b n * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact (f n - f m).le_of_op_norm_le (hfb _ _ _ le_rfl hm) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : CompleteSpace F
⊢ CompleteSpace (E' →SL[σ₁₂] F)
[PROOFSTEP]
refine'
  Metric.complete_of_cauchySeq_tendsto fun f hf =>
    _
      -- The evaluation at any point `v : E` is Cauchy.
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
hf : CauchySeq f
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
[PROOFSTEP]
have cau : ∀ v, CauchySeq fun n => f n v := fun v => hf.map (lipschitz_apply v).uniformContinuous
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
hf : CauchySeq f
cau : ∀ (v : E'), CauchySeq fun n => ↑(f n) v
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
[PROOFSTEP]
choose G hG using fun v =>
  cauchySeq_tendsto_of_complete
    (cau v)
      -- Next, we show that this `G` is a continuous linear map.
        -- This is done in `ContinuousLinearMap.ofTendstoOfBoundedRange`.
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G✝ : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G✝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
hf : CauchySeq f
cau : ∀ (v : E'), CauchySeq fun n => ↑(f n) v
G : (v : E') → (fun x => F) v
hG : ∀ (v : E'), Tendsto (fun n => ↑(f n) v) atTop (𝓝 (G v))
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
[PROOFSTEP]
set Glin : E' →SL[σ₁₂] F := ofTendstoOfBoundedRange _ _ (tendsto_pi_nhds.mpr hG) hf.bounded_range
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G✝ : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G✝
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G✝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ → E' →SL[σ₁₂] F
hf : CauchySeq f
cau : ∀ (v : E'), CauchySeq fun n => ↑(f n) v
G : (v : E') → (fun x => F) v
hG : ∀ (v : E'), Tendsto (fun n => ↑(f n) v) atTop (𝓝 (G v))
Glin : E' →SL[σ₁₂] F :=
  ofTendstoOfBoundedRange (fun x => G x) (fun i => f i) (_ : Tendsto (fun a x => ↑(f a) x) atTop (𝓝 fun x => G x))
    (_ : Metric.Bounded (range f))
⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
[PROOFSTEP]
exact ⟨Glin, tendsto_of_tendsto_pointwise_of_cauchySeq (tendsto_pi_nhds.2 hG) hf⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ↑f ∈ closure (FunLike.coe '' closedBall f₀ r)
⊢ f ∈ closedBall f₀ r
[PROOFSTEP]
have hr : 0 ≤ r := nonempty_closedBall.1 (nonempty_image_iff.1 (closure_nonempty_iff.1 ⟨_, hf⟩))
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ↑f ∈ closure (FunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
⊢ f ∈ closedBall f₀ r
[PROOFSTEP]
refine' mem_closedBall_iff_norm.2 (op_norm_le_bound _ hr fun x => _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ↑f ∈ closure (FunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
⊢ ‖↑(f - f₀) x‖ ≤ r * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have : IsClosed {g : E' → F | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖} :=
  isClosed_Iic.preimage ((@continuous_apply E' (fun _ => F) _ x).sub continuous_const).norm
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ↑f ∈ closure (FunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
this : IsClosed {g | ‖g x - ↑f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}
⊢ ‖↑(f - f₀) x‖ ≤ r * ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine' this.closure_subset_iff.2 (image_subset_iff.2 fun g hg => _) hf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ↑f ∈ closure (FunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
this : IsClosed {g | ‖g x - ↑f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : g ∈ closedBall f₀ r
⊢ g ∈ FunLike.coe ⁻¹' {g | ‖g x - ↑f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}
[PROOFSTEP]
exact (g - f₀).le_of_op_norm_le (mem_closedBall_iff_norm.1 hg) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
⊢ ∀ (x y : Fₗ),
    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (x + y) =
      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) x + DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) y
[PROOFSTEP]
refine' h_dense.induction_on₂ _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
⊢ IsClosed
    {q |
      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (q.fst + q.snd) =
        DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) q.fst + DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) q.snd}
[PROOFSTEP]
exact isClosed_eq (cont.comp continuous_add) ((cont.comp continuous_fst).add (cont.comp continuous_snd))
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
⊢ ∀ (a₁ a₂ : E),
    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e a₁ + ↑e a₂) =
      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e a₁) +
        DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e a₂)
[PROOFSTEP]
intro x y
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y✝ z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
x y : E
⊢ DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e x + ↑e y) =
    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e x) + DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e y)
[PROOFSTEP]
simp only [eq, ← e.map_add]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y✝ z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
x y : E
⊢ ↑f (x + y) = ↑f x + ↑f y
[PROOFSTEP]
exact f.map_add _ _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
k : 𝕜
⊢ ∀ (x : Fₗ),
    AddHom.toFun
        { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
        (k • x) =
      ↑σ₁₂ k •
        AddHom.toFun
          { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
            map_add' :=
              (_ :
                ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
          x
[PROOFSTEP]
refine' fun b => h_dense.induction_on b _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
k : 𝕜
b : Fₗ
⊢ IsClosed
    {b |
      AddHom.toFun
          { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
            map_add' :=
              (_ :
                ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
          (k • b) =
        ↑σ₁₂ k •
          AddHom.toFun
            { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
              map_add' :=
                (_ :
                  ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                        DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
            b}
[PROOFSTEP]
exact isClosed_eq (cont.comp (continuous_const_smul _)) ((continuous_const_smul _).comp cont)
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
k : 𝕜
b : Fₗ
⊢ ∀ (a : E),
    AddHom.toFun
        { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
        (k • ↑e a) =
      ↑σ₁₂ k •
        AddHom.toFun
          { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
            map_add' :=
              (_ :
                ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                      DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
          (↑e a)
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
k : 𝕜
b : Fₗ
x : E
⊢ AddHom.toFun
      { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
              DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
      (k • ↑e x) =
    ↑σ₁₂ k •
      AddHom.toFun
        { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
        (↑e x)
[PROOFSTEP]
rw [← map_smul]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
k : 𝕜
b : Fₗ
x : E
⊢ AddHom.toFun
      { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
        map_add' :=
          (_ :
            ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
              DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
      (↑e (k • x)) =
    ↑σ₁₂ k •
      AddHom.toFun
        { toFun := DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f,
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (b₁ b₂ : Fₗ),
                DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (b₁ + b₂) =
                  DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₁ +
                    DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) b₂) }
        (↑e x)
[PROOFSTEP]
simp only [eq]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
h_e : UniformInducing ↑e
cont : Continuous (DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) ↑f)
eq : ∀ (b : E), DenseInducing.extend (_ : DenseInducing ↑e) (↑f) (↑e b) = ↑f b
k : 𝕜
b : Fₗ
x : E
⊢ ↑f (k • x) = ↑σ₁₂ k • ↑f x
[PROOFSTEP]
exact ContinuousLinearMap.map_smulₛₗ _ _ _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ ‖extend f e h_dense (_ : UniformInducing ↑e)‖ ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]
refine op_norm_le_bound _ ?_ (isClosed_property h_dense (isClosed_le ?_ ?_) fun x ↦ ?_)
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]
cases le_total 0 N with
| inl hN => exact mul_nonneg hN (norm_nonneg _)
|
  inr hN =>
  have : Unique E :=
    ⟨⟨0⟩, fun x ↦ norm_le_zero_iff.mp <| (h_e x).trans (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hN (norm_nonneg _))⟩
  obtain rfl : f = 0 := Subsingleton.elim ..
  simp
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
x✝ : 0 ≤ N ∨ N ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]
cases le_total 0 N with
| inl hN => exact mul_nonneg hN (norm_nonneg _)
|
  inr hN =>
  have : Unique E :=
    ⟨⟨0⟩, fun x ↦ norm_le_zero_iff.mp <| (h_e x).trans (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hN (norm_nonneg _))⟩
  obtain rfl : f = 0 := Subsingleton.elim ..
  simp
[GOAL]
case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hN : 0 ≤ N
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]

| inl hN => exact mul_nonneg hN (norm_nonneg _)
[GOAL]
case refine_1.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hN : 0 ≤ N
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]
exact mul_nonneg hN (norm_nonneg _)
[GOAL]
case refine_1.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hN : N ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]

|
  inr hN =>
  have : Unique E :=
    ⟨⟨0⟩, fun x ↦ norm_le_zero_iff.mp <| (h_e x).trans (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hN (norm_nonneg _))⟩
  obtain rfl : f = 0 := Subsingleton.elim ..
  simp
[GOAL]
case refine_1.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hN : N ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]
have : Unique E :=
  ⟨⟨0⟩, fun x ↦ norm_le_zero_iff.mp <| (h_e x).trans (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hN (norm_nonneg _))⟩
[GOAL]
case refine_1.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hN : N ≤ 0
this : Unique E
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
[PROOFSTEP]
obtain rfl : f = 0 := Subsingleton.elim ..
[GOAL]
case refine_1.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hN : N ≤ 0
this : Unique E
⊢ 0 ≤ ↑N * ‖0‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ Continuous fun x => ‖↑(extend f e h_dense (_ : UniformInducing ↑e)) x‖
[PROOFSTEP]
exact (cont _).norm
[GOAL]
case refine_3
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
⊢ Continuous fun x => ↑N * ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact continuous_const.mul continuous_norm
[GOAL]
case refine_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
x : E
⊢ ‖↑(extend f e h_dense (_ : UniformInducing ↑e)) (↑e x)‖ ≤ ↑N * ‖f‖ * ‖↑e x‖
[PROOFSTEP]
rw [extend_eq]
[GOAL]
case refine_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
x : E
⊢ ‖↑f x‖ ≤ ↑N * ‖f‖ * ‖↑e x‖
[PROOFSTEP]
calc
  ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ := le_op_norm _ _
  _ ≤ ‖f‖ * (N * ‖e x‖) := (mul_le_mul_of_nonneg_left (h_e x) (norm_nonneg _))
  _ ≤ N * ‖f‖ * ‖e x‖ := by rw [mul_comm ↑N ‖f‖, mul_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ↑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖↑e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
x : E
⊢ ‖f‖ * (↑N * ‖↑e x‖) ≤ ↑N * ‖f‖ * ‖↑e x‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm ↑N ‖f‖, mul_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] F
⊢ ∀ (x : E), ‖↑(toContinuousLinearMap f) x‖ = 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : F →ₛₗᵢ[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
x : E
⊢ ‖↑(ContinuousLinearMap.comp (toContinuousLinearMap f) g) x‖ = ‖↑g x‖
[PROOFSTEP]
simp only [norm_map, coe_toContinuousLinearMap, coe_comp', Function.comp_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ = ‖f‖
[PROOFSTEP]
cases subsingleton_or_nontrivial F'
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Subsingleton F'
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ = ‖f‖
[PROOFSTEP]
haveI := g.symm.toLinearEquiv.toEquiv.subsingleton
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Subsingleton F'
this : Subsingleton F
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ = ‖f‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ = ‖f‖
[PROOFSTEP]
refine' le_antisymm _ _
[GOAL]
case inr.refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ ≤ ‖f‖
[PROOFSTEP]
convert f.op_norm_comp_le g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖f‖ = ‖f‖ * ‖LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g)‖
[PROOFSTEP]
simp [g.toLinearIsometry.norm_toContinuousLinearMap]
[GOAL]
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖f‖ ≤ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖
[PROOFSTEP]
convert (f.comp g.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).op_norm_comp_le g.symm.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ f =
    comp (comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g)))
      (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry (LinearIsometryEquiv.symm g)))
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
x✝ : F
⊢ ↑f x✝ =
    ↑(comp (comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g)))
          (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry (LinearIsometryEquiv.symm g))))
      x✝
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ =
    ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ *
      ‖LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry (LinearIsometryEquiv.symm g))‖
[PROOFSTEP]
haveI := g.symm.surjective.nontrivial
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
f : F →SL[σ₂₃] G
g : F' ≃ₛₗᵢ[σ₂'] F
h✝ : Nontrivial F'
this : Nontrivial F
⊢ ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ =
    ‖comp f (LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry g))‖ *
      ‖LinearIsometry.toContinuousLinearMap (LinearIsometryEquiv.toLinearIsometry (LinearIsometryEquiv.symm g))‖
[PROOFSTEP]
simp [g.symm.toLinearIsometry.norm_toContinuousLinearMap]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖smulRight c f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
[PROOFSTEP]
refine' le_antisymm _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖smulRight c f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_bound _ (mul_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)) fun x => _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
x : E
⊢ ‖↑(smulRight c f) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
calc
  ‖c x • f‖ = ‖c x‖ * ‖f‖ := norm_smul _ _
  _ ≤ ‖c‖ * ‖x‖ * ‖f‖ := (mul_le_mul_of_nonneg_right (le_op_norm _ _) (norm_nonneg _))
  _ = ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖ := by ring
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
x : E
⊢ ‖c‖ * ‖x‖ * ‖f‖ = ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
[PROOFSTEP]
by_cases h : f = 0
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : f = 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
[PROOFSTEP]
have : 0 < ‖f‖ := norm_pos_iff.2 h
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
[PROOFSTEP]
rw [← le_div_iff this]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
⊢ ‖c‖ ≤ ‖smulRight c f‖ / ‖f‖
[PROOFSTEP]
refine' op_norm_le_bound _ (div_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg f)) fun x => _
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖↑c x‖ ≤ ‖smulRight c f‖ / ‖f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [div_mul_eq_mul_div, le_div_iff this]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖↑c x‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
calc
  ‖c x‖ * ‖f‖ = ‖c x • f‖ := (norm_smul _ _).symm
  _ = ‖smulRight c f x‖ := rfl
  _ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖ := le_op_norm _ _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜
⊢ smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h.h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜
x : Fₗ
x✝ : E
⊢ ↑(↑(smulRightₗ (c₁ + c₂)) x) x✝ = ↑(↑(smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) x) x✝
[PROOFSTEP]
simp only [add_smul, coe_smulRightₗ, add_apply, smulRight_apply, LinearMap.add_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
m : 𝕜
c : E →L[𝕜] 𝕜
⊢ AddHom.toFun
      { toFun := smulRightₗ,
        map_add' := (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) }
      (m • c) =
    ↑(RingHom.id 𝕜) m •
      AddHom.toFun
        { toFun := smulRightₗ,
          map_add' := (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) }
        c
[PROOFSTEP]
ext x
[GOAL]
case h.h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
m : 𝕜
c : E →L[𝕜] 𝕜
x : Fₗ
x✝ : E
⊢ ↑(↑(AddHom.toFun
              { toFun := smulRightₗ,
                map_add' := (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) }
              (m • c))
          x)
      x✝ =
    ↑(↑(↑(RingHom.id 𝕜) m •
              AddHom.toFun
                { toFun := smulRightₗ,
                  map_add' := (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) }
                c)
          x)
      x✝
[PROOFSTEP]
simp only [smul_smul, coe_smulRightₗ, Algebra.id.smul_eq_mul, coe_smul', smulRight_apply, LinearMap.smul_apply,
  RingHom.id_apply, Pi.smul_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
x : Fₗ
⊢ ‖↑(↑{
                toAddHom :=
                  { toFun := smulRightₗ,
                    map_add' := (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) },
                map_smul' :=
                  (_ :
                    ∀ (m : 𝕜) (c : E →L[𝕜] 𝕜),
                      AddHom.toFun
                          { toFun := smulRightₗ,
                            map_add' :=
                              (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) }
                          (m • c) =
                        ↑(RingHom.id 𝕜) m •
                          AddHom.toFun
                            { toFun := smulRightₗ,
                              map_add' :=
                                (_ : ∀ (c₁ c₂ : E →L[𝕜] 𝕜), smulRightₗ (c₁ + c₂) = smulRightₗ c₁ + smulRightₗ c₂) }
                            c) }
            c)
        x‖ ≤
    1 * ‖c‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp only [coe_smulRightₗ, one_mul, norm_smulRight_apply, LinearMap.coe_mk, AddHom.coe_mk, le_refl]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ‖lsmul 𝕜 𝕜'‖ = 1
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.op_norm_eq_of_bounds zero_le_one (fun x => _) fun N _ h => _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
x : 𝕜'
⊢ ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ 1 * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [one_mul]
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
x : 𝕜'
⊢ ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ ‖x‖
[PROOFSTEP]
apply op_norm_lsmul_apply_le
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
⊢ 1 ≤ N
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, hy⟩ := exists_ne (0 : E)
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
⊢ 1 ≤ N
[PROOFSTEP]
have := le_of_op_norm_le _ (h 1) y
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖↑(↑(lsmul 𝕜 𝕜') 1) y‖ ≤ N * ‖1‖ * ‖y‖
⊢ 1 ≤ N
[PROOFSTEP]
simp_rw [lsmul_apply, one_smul, norm_one, mul_one] at this
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
⊢ 1 ≤ N
[PROOFSTEP]
refine' le_of_mul_le_mul_right _ (norm_pos_iff.mpr hy)
[GOAL]
case refine'_2.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝²³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type u_11
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type u_12
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝¹² : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝⁸ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₂'
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃'
𝕜' : Type u_13
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝ : Nontrivial E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x : 𝕜'), ‖↑(lsmul 𝕜 𝕜') x‖ ≤ N * ‖x‖
y : E
hy : y ≠ 0
this : ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
⊢ 1 * ‖y‖ ≤ N * ‖y‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [one_mul, this]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑e‖ * ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖ * ‖↑e‖
[PROOFSTEP]
convert (e.symm : F →SL[σ₂₁] E).op_norm_comp_le (e : E →SL[σ₁₂] F)
[GOAL]
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 = ‖comp ↑(ContinuousLinearEquiv.symm e) ↑e‖
[PROOFSTEP]
rw [e.coe_symm_comp_coe, ContinuousLinearMap.norm_id]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
rcases subsingleton_or_nontrivial E with (_i | _i)
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Subsingleton E
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
skip
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Nontrivial E
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
skip
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Subsingleton E
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
left
[GOAL]
case inl.h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Subsingleton E
⊢ Subsingleton E
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Nontrivial E
⊢ Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
right
[GOAL]
case inr.h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Nontrivial E
⊢ 0 < ‖↑(ContinuousLinearEquiv.symm e)‖
[PROOFSTEP]
exact e.norm_symm_pos
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
⊢ ‖coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
[PROOFSTEP]
have hx : 0 < ‖x‖ := norm_pos_iff.mpr h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
hx : 0 < ‖x‖
⊢ ‖coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
[PROOFSTEP]
haveI : Nontrivial (𝕜 ∙ x) := Submodule.nontrivial_span_singleton h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
hx : 0 < ‖x‖
this : Nontrivial { x_1 // x_1 ∈ Submodule.span 𝕜 {x} }
⊢ ‖coord 𝕜 x h‖ = ‖x‖⁻¹
[PROOFSTEP]
exact ContinuousLinearMap.homothety_norm _ fun y => homothety_inverse _ hx _ (toSpanNonzeroSingleton_homothety 𝕜 x h) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 1 → 3
[GOAL]
case tfae_1_to_3
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
⊢ EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
[PROOFSTEP]
exact uniformEquicontinuous_of_equicontinuousAt_zero f
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 3 → 2
[GOAL]
case tfae_3_to_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
⊢ UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
[PROOFSTEP]
exact UniformEquicontinuous.equicontinuous
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 2 → 1
[GOAL]
case tfae_2_to_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
⊢ Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
[PROOFSTEP]
exact fun H ↦
  H
    0
      -- `4 ↔ 5 ↔ 6 ↔ 7 ↔ 8 ↔ 9` is morally trivial, we just have to use a lot of rewriting
        -- and `congr` lemmas
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 4 ↔ 5
[GOAL]
case tfae_4_iff_5
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
⊢ (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [exists_ge_and_iff_exists]
[GOAL]
case tfae_4_iff_5
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
⊢ Monotone fun C => ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact fun C₁ C₂ hC ↦ forall₂_imp fun i x ↦ le_trans' <| by gcongr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
C₁ C₂ : ℝ
hC : C₁ ≤ C₂
i : ι
x : E
⊢ C₁ * ‖x‖ ≤ C₂ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 5 ↔ 7
[GOAL]
case tfae_5_iff_7
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
refine exists_congr (fun C ↦ and_congr_right fun hC ↦ forall_congr' fun i ↦ ?_)
[GOAL]
case tfae_5_iff_7
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
C : ℝ
hC : C ≥ 0
i : ι
⊢ (∀ (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ‖f i‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rw [ContinuousLinearMap.op_norm_le_iff hC]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 7 ↔ 8
[GOAL]
case tfae_7_iff_8
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
⊢ (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
[PROOFSTEP]
simp_rw [bddAbove_iff_exists_ge (0 : ℝ), Set.forall_range_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 6 ↔ 8
[GOAL]
case tfae_6_iff_8
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
⊢ (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
[PROOFSTEP]
simp_rw [bddAbove_def, Set.forall_range_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 8 ↔ 9
[GOAL]
case tfae_8_iff_9
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
⊢ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [ENNReal.iSup_coe_lt_top (fun i ↦ ‖f i‖₊), ← NNReal.bddAbove_coe, ← Set.range_comp]
[GOAL]
case tfae_8_iff_9
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
⊢ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ BddAbove (Set.range (toReal ∘ fun i => ‖f i‖₊))
[PROOFSTEP]
rfl
  -- `3 ↔ 4` is the interesting part of the result. It is essentially a combination of
    -- `WithSeminorms.uniformEquicontinuous_iff_exists_continuous_seminorm` which turns
    -- equicontinuity into existence of some continuous seminorm and
    -- `Seminorm.bound_of_continuous_normedSpace` which characterize such seminorms.
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_have 3 ↔ 4
[GOAL]
case tfae_3_iff_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) ↔ ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine ((norm_withSeminorms 𝕜₂ F).uniformEquicontinuous_iff_exists_continuous_seminorm _).trans ?_
[GOAL]
case tfae_3_iff_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ (Fin 1 → ∃ p, Continuous ↑p ∧ ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p) ↔
    ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [forall_const]
[GOAL]
case tfae_3_iff_4
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ (∃ p, Continuous ↑p ∧ ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p) ↔
    ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case tfae_3_iff_4.mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ (∃ p, Continuous ↑p ∧ ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p) →
    ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
intro ⟨p, hp, hpf⟩
[GOAL]
case tfae_3_iff_4.mp
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
p : Seminorm 𝕜 E
hp : Continuous ↑p
hpf : ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rcases p.bound_of_continuous_normedSpace hp with ⟨C, -, hC⟩
[GOAL]
case tfae_3_iff_4.mp.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
p : Seminorm 𝕜 E
hp : Continuous ↑p
hpf : ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p
C : ℝ
hC : ∀ (x : E), ↑p x ≤ C * ‖x‖
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact ⟨C, fun i x ↦ (hpf i x).trans (hC x)⟩
[GOAL]
case tfae_3_iff_4.mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) →
    ∃ p, Continuous ↑p ∧ ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p
[PROOFSTEP]
intro ⟨C, hC⟩
[GOAL]
case tfae_3_iff_4.mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ ∃ p, Continuous ↑p ∧ ∀ (k : ι), Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f k) ≤ p
[PROOFSTEP]
refine
  ⟨C.toNNReal • normSeminorm 𝕜 E, ((norm_withSeminorms 𝕜 E).continuous_seminorm 0).const_smul C.toNNReal, fun i x ↦ ?_⟩
[GOAL]
case tfae_3_iff_4.mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
i : ι
x : E
⊢ (fun f => ↑f) (Seminorm.comp (normSeminorm 𝕜₂ F) ↑(f i)) x ≤ (fun f => ↑f) (Real.toNNReal C • normSeminorm 𝕜 E) x
[PROOFSTEP]
refine (hC i x).trans (mul_le_mul_of_nonneg_right (C.le_coe_toNNReal) (norm_nonneg x))
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖) ↔ ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤
tfae_3_iff_4 : UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f) ↔ ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ List.TFAE
    [EquicontinuousAt (FunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (FunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (FunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι) (x : E), ‖↑(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C, C ≥ 0 ∧ ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x => ‖f x‖),
      ⨆ (i : ι), ↑‖f i‖₊ < ⊤]
[PROOFSTEP]
tfae_finish