[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → [x-[𝕜]y] ⊆ s
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → [x-[𝕜]y] ⊆ s
[PROOFSTEP]
rintro h y hy z ⟨a, b, ha, hb, hab, rfl⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h hy ha hb hab
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
⊢ (∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → [x-[𝕜]y] ⊆ s) → StarConvex 𝕜 x s
[PROOFSTEP]
rintro h y hy a b ha hb hab
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → [x-[𝕜]y] ⊆ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h hy ⟨a, b, ha, hb, hab, rfl⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, fun h y hy a b ha hb hab => h ha hb hab (add_mem_add (smul_mem_smul_set <| mem_singleton _) ⟨_, hy, rfl⟩)⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 x s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s
[PROOFSTEP]
rintro hA a b ha hb hab w ⟨au, bv, ⟨u, rfl : u = x, rfl⟩, ⟨v, hv, rfl⟩, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s t : Set E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
u : E
hA : StarConvex 𝕜 u s
v : E
hv : v ∈ s
⊢ (fun x x_1 => x + x_1) ((fun x => a • x) u) ((fun x => b • x) v) ∈ s
[PROOFSTEP]
exact hA hv ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 x t
⊢ StarConvex 𝕜 x (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
rintro y (hy | hy) a b ha hb hab
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 x t
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s ∪ t
[PROOFSTEP]
exact Or.inl (hs hy ha hb hab)
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 x t
y : E
hy : y ∈ t
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s ∪ t
[PROOFSTEP]
exact Or.inr (ht hy ha hb hab)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃ (i : ι), s i)
[PROOFSTEP]
rintro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : y ∈ ⋃ (i : ι), s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⋃ (i : ι), s i
[PROOFSTEP]
rw [mem_iUnion] at hy ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∃ i, a • x + b • y ∈ s i
[PROOFSTEP]
obtain ⟨i, hy⟩ := hy
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
i : ι
hy : y ∈ s i
⊢ ∃ i, a • x + b • y ∈ s i
[PROOFSTEP]
exact ⟨i, hs i hy ha hb hab⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
S : Set (Set E)
hS : ∀ (s : Set E), s ∈ S → StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃₀ S)
[PROOFSTEP]
rw [sUnion_eq_iUnion]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
S : Set (Set E)
hS : ∀ (s : Set E), s ∈ S → StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 x (⋃ (i : ↑S), ↑i)
[PROOFSTEP]
exact starConvex_iUnion fun s => hS _ s.2
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
h : Set.Nonempty s
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, hy⟩ := h
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
convert hs hy zero_le_one le_rfl (add_zero 1)
[GOAL]
case h.e'_4
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ x = 1 • x + 0 • y
[PROOFSTEP]
rw [one_smul, zero_smul, add_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h y hy a b ha hb hab => h hy ha.le hb.le hab, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ (∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s) → StarConvex 𝕜 x s
[PROOFSTEP]
intro h y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain rfl | ha := ha.eq_or_lt
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ 0 • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [zero_add] at hab
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
⊢ 0 • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [hab, one_smul, zero_smul, zero_add]
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha✝ : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha : 0 < a
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hb := hb.eq_or_lt
[GOAL]
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha✝ : 0 ≤ a
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
hab : a + 0 = 1
⊢ a • x + 0 • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [add_zero] at hab
[GOAL]
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha✝ : 0 ≤ a
ha : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
hab : a = 1
⊢ a • x + 0 • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [hab, one_smul, zero_smul, add_zero]
[GOAL]
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha✝ : 0 ≤ a
hb✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h hy ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h y hy _ a b ha hb hab => h hy ha.le hb.le hab, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ (∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s) → StarConvex 𝕜 x s
[PROOFSTEP]
intro h y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain rfl | ha' := ha.eq_or_lt
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ 0 • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [zero_add] at hab
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
hab : b = 1
⊢ 0 • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [hab, zero_smul, one_smul, zero_add]
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hb' := hb.eq_or_lt
[GOAL]
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
hab : a + 0 = 1
⊢ a • x + 0 • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [add_zero] at hab
[GOAL]
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
hab : a = 1
⊢ a • x + 0 • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [hab, zero_smul, one_smul, add_zero]
[GOAL]
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hxy := eq_or_ne x y
[GOAL]
case inr.inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
hy : x ∈ s
⊢ a • x + b • x ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [Convex.combo_self hab]
[GOAL]
case inr.inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
hxy : x ≠ y
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h hy hxy ha' hb' hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x✝ y z : E
s : Set E
x : E
⊢ StarConvex 𝕜 x {x}
[PROOFSTEP]
rintro y (rfl : y = x) a b _ _ hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
y : E
a b : 𝕜
a✝¹ : 0 ≤ a
a✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • y + b • y ∈ {y}
[PROOFSTEP]
exact Convex.combo_self hab _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ StarConvex 𝕜 (↑f x) (↑f '' s)
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
y : F
hy : y ∈ ↑f '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • ↑f x + b • y ∈ ↑f '' s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y', hy', rfl⟩ := hy
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ a • ↑f x + b • ↑f y' ∈ ↑f '' s
[PROOFSTEP]
exact ⟨a • x + b • y', hs hy' ha hb hab, by rw [f.map_add, f.map_smul, f.map_smul]⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ ↑f (a • x + b • y') = a • ↑f x + b • ↑f y'
[PROOFSTEP]
rw [f.map_add, f.map_smul, f.map_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s✝ : Set E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (↑f x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x (↑f ⁻¹' s)
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s✝ : Set E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (↑f x) s
y : E
hy : y ∈ ↑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ↑f ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
rw [mem_preimage, f.map_add, f.map_smul, f.map_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s✝ : Set E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (↑f x) s
y : E
hy : y ∈ ↑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • ↑f x + b • ↑f y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact hs hy ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + y) (s + t)
[PROOFSTEP]
rw [← add_image_prod]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + y) ((fun x => x.fst + x.snd) '' s ×ˢ t)
[PROOFSTEP]
exact (hs.prod ht).is_linear_image IsLinearMap.isLinearMap_add
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
⊢ StarConvex 𝕜 (z + x) ((fun x => z + x) '' s)
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (z + x) + b • y ∈ (fun x => z + x) '' s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y', hy', rfl⟩ := hy
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y' ∈ (fun x => z + x) '' s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨a • x + b • y', hs hy' ha hb hab, _⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ (fun x => z + x) (a • x + b • y') = a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y'
[PROOFSTEP]
rw [smul_add, smul_add, add_add_add_comm, ← add_smul, hab, one_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
⊢ StarConvex 𝕜 (x + z) ((fun x => x + z) '' s)
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z y : E
hy : y ∈ (fun x => x + z) '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (x + z) + b • y ∈ (fun x => x + z) '' s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y', hy', rfl⟩ := hy
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ a • (x + z) + b • (fun x => x + z) y' ∈ (fun x => x + z) '' s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨a • x + b • y', hs hy' ha hb hab, _⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s
⊢ (fun x => x + z) (a • x + b • y') = a • (x + z) + b • (fun x => x + z) y'
[PROOFSTEP]
rw [smul_add, smul_add, add_add_add_comm, ← add_smul, hab, one_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => z + x) ⁻¹' s)
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
have h := hs hy ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
rwa [smul_add, smul_add, add_add_add_comm, ← add_smul, hab, one_smul] at h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (x + z) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
[PROOFSTEP]
rw [add_comm] at hs
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
[PROOFSTEP]
simpa only [add_comm] using hs.preimage_add_right
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜
⊢ StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)
[PROOFSTEP]
have h := (hs.smul c).add_left z
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜
h : StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + x) '' (c • s))
⊢ StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)
[PROOFSTEP]
rwa [← image_smul, image_image] at h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
⊢ StarConvex 𝕜 0 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' forall_congr' fun x => forall_congr' fun _ => ⟨fun h a ha₀ ha₁ => _, fun h a b ha hb hab => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • 0 + b • x ∈ s
a : 𝕜
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
⊢ a • x ∈ s
[PROOFSTEP]
simpa only [sub_add_cancel, eq_self_iff_true, forall_true_left, zero_add, smul_zero] using h (sub_nonneg_of_le ha₁) ha₀
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • 0 + b • x ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero, zero_add]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ b • x ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h hb (by rw [← hab]; exact le_add_of_nonneg_left ha)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ b ≤ 1
[PROOFSTEP]
rw [← hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ b ≤ a + b
[PROOFSTEP]
exact le_add_of_nonneg_left ha
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • y ∈ s
[PROOFSTEP]
have h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y) := by rw [smul_add, ← add_assoc, ← add_smul, sub_add_cancel, one_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
[PROOFSTEP]
rw [smul_add, ← add_assoc, ← add_smul, sub_add_cancel, one_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ x + t • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ (1 - t) • x + t • (x + y) ∈ s
[PROOFSTEP]
exact hs hy (sub_nonneg_of_le ht₁) ht₀ (sub_add_cancel _ _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ t • x ∈ s
[PROOFSTEP]
simpa using hs.add_smul_mem (by simpa using hx) ht₀ ht₁
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ 0 + x ∈ s
[PROOFSTEP]
simpa using hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ s
[PROOFSTEP]
apply hs.segment_subset hy
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ [x-[𝕜]y]
[PROOFSTEP]
rw [segment_eq_image']
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Icc 0 1
[PROOFSTEP]
exact mem_image_of_mem _ ⟨ht₀, ht₁⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (↑f x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x (↑f ⁻¹' s)
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (↑f x) s
y : E
hy : y ∈ ↑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ↑f ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
rw [mem_preimage, Convex.combo_affine_apply hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (↑f x) s
y : E
hy : y ∈ ↑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • ↑f x + b • ↑f y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact hs hy ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 (↑f x) (↑f '' s)
[PROOFSTEP]
rintro y ⟨y', ⟨hy', hy'f⟩⟩ a b ha hb hab
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : F
y' : E
hy' : y' ∈ s
hy'f : ↑f y' = y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • ↑f x + b • y ∈ ↑f '' s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨a • x + b • y', ⟨hs hy' ha hb hab, _⟩⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : F
y' : E
hy' : y' ∈ s
hy'f : ↑f y' = y
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ↑f (a • x + b • y') = a • ↑f x + b • y
[PROOFSTEP]
rw [Convex.combo_affine_apply hab, hy'f]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 (-x) (-s)
[PROOFSTEP]
rw [← image_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
⊢ StarConvex 𝕜 (-x) (Neg.neg '' s)
[PROOFSTEP]
exact hs.is_linear_image IsLinearMap.isLinearMap_neg
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x - y) (s - t)
[PROOFSTEP]
simp_rw [sub_eq_add_neg]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t
⊢ StarConvex 𝕜 (x + -y) (s + -t)
[PROOFSTEP]
exact hs.add ht.neg
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
[PROOFSTEP]
apply h hy
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ 0 ≤ a / (a + b)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ 0 ≤ b / (a + b)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← add_div]
[GOAL]
case a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ (a + b) / (a + b) = 1
[PROOFSTEP]
exact div_self hab.ne'
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
have h' := h hy ha hb
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h' : 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [hab, div_one, div_one] at h'
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h' : 0 < 1 → a • x + b • y ∈ s
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h' zero_lt_one
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ x ∈ t • s
[PROOFSTEP]
rw [mem_smul_set_iff_inv_smul_mem₀ (zero_lt_one.trans_le ht).ne']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ t⁻¹ • x ∈ s
[PROOFSTEP]
exact hs.smul_mem hx (by positivity) (inv_le_one ht)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
⊢ 0 ≤ t⁻¹
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
⊢ StarConvex 𝕜 x s
[PROOFSTEP]
intro y hy a b ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain hxy | hyx := h _ hy
[GOAL]
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x ≤ y
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' hs.out hx hy (mem_Icc.2 ⟨_, _⟩)
[GOAL]
case inl.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x ≤ y
⊢ x ≤ a • x + b • y
case inl.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x ≤ y
⊢ a • x + b • y ≤ y
[PROOFSTEP]
calc
  x = a • x + b • x := (Convex.combo_self hab _).symm
  _ ≤ a • x + b • y := by gcongr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x ≤ y
⊢ a • x + b • x ≤ a • x + b • y
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case inl.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x ≤ y
⊢ a • x + b • y ≤ y
[PROOFSTEP]
calc
  a • x + b • y ≤ a • y + b • y := by gcongr
  _ = y := Convex.combo_self hab _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x ≤ y
⊢ a • x + b • y ≤ a • y + b • y
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hyx : y ≤ x
⊢ a • x + b • y ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' hs.out hy hx (mem_Icc.2 ⟨_, _⟩)
[GOAL]
case inr.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hyx : y ≤ x
⊢ y ≤ a • x + b • y
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hyx : y ≤ x
⊢ a • x + b • y ≤ x
[PROOFSTEP]
calc
  y = a • y + b • y := (Convex.combo_self hab _).symm
  _ ≤ a • x + b • y := by gcongr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hyx : y ≤ x
⊢ a • y + b • y ≤ a • x + b • y
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hyx : y ≤ x
⊢ a • x + b • y ≤ x
[PROOFSTEP]
calc
  a • x + b • y ≤ a • x + b • x := by gcongr
  _ = x := Convex.combo_self hab _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : OrdConnected s
hx : x ∈ s
h : ∀ (y : E), y ∈ s → x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hyx : y ≤ x
⊢ a • x + b • y ≤ a • x + b • x
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ OrdConnected s
[PROOFSTEP]
simp_rw [ordConnected_iff_uIcc_subset_left hx, starConvex_iff_segment_subset, segment_eq_uIcc]


[GOAL]
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K L : ConvexBody V
h : K.carrier = L.carrier
⊢ K = L
[PROOFSTEP]
cases K
[GOAL]
case mk
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
L : ConvexBody V
carrier✝ : Set V
convex'✝ : Convex ℝ carrier✝
isCompact'✝ : IsCompact carrier✝
nonempty'✝ : Set.Nonempty carrier✝
h : { carrier := carrier✝, convex' := convex'✝, isCompact' := isCompact'✝, nonempty' := nonempty'✝ }.carrier = L.carrier
⊢ { carrier := carrier✝, convex' := convex'✝, isCompact' := isCompact'✝, nonempty' := nonempty'✝ } = L
[PROOFSTEP]
cases L
[GOAL]
case mk.mk
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
carrier✝¹ : Set V
convex'✝¹ : Convex ℝ carrier✝¹
isCompact'✝¹ : IsCompact carrier✝¹
nonempty'✝¹ : Set.Nonempty carrier✝¹
carrier✝ : Set V
convex'✝ : Convex ℝ carrier✝
isCompact'✝ : IsCompact carrier✝
nonempty'✝ : Set.Nonempty carrier✝
h :
  { carrier := carrier✝¹, convex' := convex'✝¹, isCompact' := isCompact'✝¹, nonempty' := nonempty'✝¹ }.carrier =
    { carrier := carrier✝, convex' := convex'✝, isCompact' := isCompact'✝, nonempty' := nonempty'✝ }.carrier
⊢ { carrier := carrier✝¹, convex' := convex'✝¹, isCompact' := isCompact'✝¹, nonempty' := nonempty'✝¹ } =
    { carrier := carrier✝, convex' := convex'✝, isCompact' := isCompact'✝, nonempty' := nonempty'✝ }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K✝ L✝ K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
apply_rules [Metric.hausdorffEdist_ne_top_of_nonempty_of_bounded, ConvexBody.nonempty, ConvexBody.bounded]
[GOAL]
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L x✝¹ x✝ : ConvexBody V
⊢ (fun x y => ↑{ val := Metric.hausdorffDist ↑x ↑y, property := (_ : 0 ≤ Metric.hausdorffDist ↑x ↑y) }) x✝¹ x✝ =
    ENNReal.ofReal (dist x✝¹ x✝)
[PROOFSTEP]
exact ENNReal.coe_nnreal_eq _
[GOAL]
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = edist K L
[PROOFSTEP]
rw [edist_dist]
[GOAL]
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = ENNReal.ofReal (dist K L)
[PROOFSTEP]
exact (ENNReal.ofReal_toReal hausdorffEdist_ne_top).symm


[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 p
[PROOFSTEP]
intro s x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
have : (convexHull 𝕜 (p '' s)).Nonempty := ⟨p x, hx⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
this : Set.Nonempty (↑(convexHull 𝕜) (p '' s))
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [convexHull_nonempty_iff, Set.nonempty_image_iff] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
this : Set.Nonempty s
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [Subsingleton.mem_iff_nonempty]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ Injective p
[PROOFSTEP]
refine' fun i j hij => hc { j } i _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
⊢ p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' {j})
[PROOFSTEP]
rw [hij, Set.image_singleton, convexHull_singleton]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
⊢ p j ∈ {p j}
[PROOFSTEP]
exact Set.mem_singleton _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ ConvexIndependent 𝕜 (p ∘ ↑f)
[PROOFSTEP]
intro s x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ↑f) x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p ∘ ↑f '' s)
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [← f.injective.mem_set_image]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ↑f) x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p ∘ ↑f '' s)
⊢ ↑f x ∈ ↑f '' s
[PROOFSTEP]
exact hc _ _ (by rwa [Set.image_image])
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ↑f) x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p ∘ ↑f '' s)
⊢ p (↑f x) ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (↑f '' s))
[PROOFSTEP]
rwa [Set.image_image]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
[PROOFSTEP]
let f : Set.range p → ι := fun x => x.property.choose
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose (_ : ↑x ∈ Set.range p)
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
[PROOFSTEP]
have hf : ∀ x, p (f x) = x := fun x => x.property.choose_spec
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose (_ : ↑x ∈ Set.range p)
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
[PROOFSTEP]
let fe : Set.range p ↪ ι := ⟨f, fun x₁ x₂ he => Subtype.ext (hf x₁ ▸ hf x₂ ▸ he ▸ rfl)⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose (_ : ↑x ∈ Set.range p)
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := (_ : ∀ (x₁ x₂ : ↑(Set.range p)), f x₁ = f x₂ → x₁ = x₂) }
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
[PROOFSTEP]
convert hc.comp_embedding fe
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose (_ : ↑x ∈ Set.range p)
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := (_ : ∀ (x₁ x₂ : ↑(Set.range p)), f x₁ = f x₂ → x₁ = x₂) }
⊢ Subtype.val = p ∘ ↑fe
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h.e'_7.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose (_ : ↑x ∈ Set.range p)
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := (_ : ∀ (x₁ x₂ : ↑(Set.range p)), f x₁ = f x₂ → x₁ = x₂) }
x✝ : { x // x ∈ Set.range p }
⊢ ↑x✝ = (p ∘ ↑fe) x✝
[PROOFSTEP]
rw [Embedding.coeFn_mk, comp_apply, hf]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 p ↔ ∀ (i : ι) (s : Set ι), ¬p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun hc i s h => _, fun h s i hi => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i : ι
s : Set ι
h : p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [hc.mem_convexHull_iff] at h
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i : ι
s : Set ι
h : i ∈ s \ {i}
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact h.2 (Set.mem_singleton _)
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
p : ι → E
h : ∀ (i : ι) (s : Set ι), ¬p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
s : Set ι
i : ι
hi : p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
⊢ i ∈ s
[PROOFSTEP]
by_contra H
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
p : ι → E
h : ∀ (i : ι) (s : Set ι), ¬p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
s : Set ι
i : ι
hi : p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
H : ¬i ∈ s
⊢ False
[PROOFSTEP]
refine' h i s _
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
p : ι → E
h : ∀ (i : ι) (s : Set ι), ¬p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
s : Set ι
i : ι
hi : p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
H : ¬i ∈ s
⊢ p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
[PROOFSTEP]
rw [Set.diff_singleton_eq_self H]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
p : ι → E
h : ∀ (i : ι) (s : Set ι), ¬p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
s : Set ι
i : ι
hi : p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
H : ¬i ∈ s
⊢ p i ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
[PROOFSTEP]
exact hi
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val → ∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t
[PROOFSTEP]
rintro hc t h x ⟨hxs, hxt⟩
[GOAL]
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hc : ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
t : Set E
h : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ ↑(convexHull 𝕜) t
⊢ x ∈ t
[PROOFSTEP]
refine' hc {x | ↑x ∈ t} ⟨x, hxs⟩ _
[GOAL]
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hc : ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
t : Set E
h : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ ↑(convexHull 𝕜) t
⊢ ↑{ val := x, property := hxs } ∈ ↑(convexHull 𝕜) (Subtype.val '' {x | ↑x ∈ t})
[PROOFSTEP]
rw [Subtype.coe_image_of_subset h]
[GOAL]
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hc : ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
t : Set E
h : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ ↑(convexHull 𝕜) t
⊢ ↑{ val := x, property := hxs } ∈ ↑(convexHull 𝕜) t
[PROOFSTEP]
exact hxt
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ (∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t) → ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
[PROOFSTEP]
intro hc t x h
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hc : ∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t
t : Set { x // x ∈ s }
x : { x // x ∈ s }
h : ↑x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (Subtype.val '' t)
⊢ x ∈ t
[PROOFSTEP]
rw [← Subtype.coe_injective.mem_set_image]
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hc : ∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t
t : Set { x // x ∈ s }
x : { x // x ∈ s }
h : ↑x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (Subtype.val '' t)
⊢ ↑x ∈ (fun a => ↑a) '' t
[PROOFSTEP]
exact hc (t.image ((↑) : s → E)) (Subtype.coe_image_subset s t) ⟨x.prop, h⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ (x : E), x ∈ s → ¬x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})
[PROOFSTEP]
rw [convexIndependent_set_iff_inter_convexHull_subset]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ (∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t) ↔ ∀ (x : E), x ∈ s → ¬x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ (∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t) → ∀ (x : E), x ∈ s → ¬x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})
[PROOFSTEP]
rintro hs x hxs hx
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
hs : ∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t
x : E
hxs : x ∈ s
hx : x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact (hs _ (Set.diff_subset _ _) ⟨hxs, hx⟩).2 (Set.mem_singleton _)
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
⊢ (∀ (x : E), x ∈ s → ¬x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})) → ∀ (t : Set E), t ⊆ s → s ∩ ↑(convexHull 𝕜) t ⊆ t
[PROOFSTEP]
rintro hs t ht x ⟨hxs, hxt⟩
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hs : ∀ (x : E), x ∈ s → ¬x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})
t : Set E
ht : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ ↑(convexHull 𝕜) t
⊢ x ∈ t
[PROOFSTEP]
by_contra h
[GOAL]
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s : Set E
hs : ∀ (x : E), x ∈ s → ¬x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (s \ {x})
t : Set E
ht : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ ↑(convexHull 𝕜) t
h : ¬x ∈ t
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact hs _ hxs (convexHull_mono (Set.subset_diff_singleton ht h) hxt)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
p : ι → E
⊢ ConvexIndependent 𝕜 p ↔ ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun hc s x hx => hc s x _, fun h s x hx => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Finset ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s)
⊢ p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' ↑s)
[PROOFSTEP]
rwa [Finset.coe_image] at hx
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
have hp : Injective p := by
  rintro a b hab
  rw [← mem_singleton]
  refine' h { b } a _
  rw [hab, image_singleton, coe_singleton, convexHull_singleton]
  exact Set.mem_singleton _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
⊢ Injective p
[PROOFSTEP]
rintro a b hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ a = b
[PROOFSTEP]
rw [← mem_singleton]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ a ∈ {b}
[PROOFSTEP]
refine' h { b } a _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ p a ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p {b})
[PROOFSTEP]
rw [hab, image_singleton, coe_singleton, convexHull_singleton]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ p b ∈ {p b}
[PROOFSTEP]
exact Set.mem_singleton _
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) (p '' s)
hp : Injective p
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [convexHull_eq_union_convexHull_finite_subsets] at hx
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ⋃ (t : Finset E) (_ : ↑t ⊆ p '' s), ↑(convexHull 𝕜) ↑t
hp : Injective p
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_iUnion] at hx
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
hx : ∃ i i_1, p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑i
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t, ht, hx⟩ := hx
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
⊢ x ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [← hp.mem_set_image]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ p '' s
[PROOFSTEP]
refine' ht _
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ ↑t
[PROOFSTEP]
suffices x ∈ t.preimage p (hp.injOn _) by rwa [mem_preimage, ← mem_coe] at this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
this : x ∈ preimage t p (_ : Set.InjOn p (p ⁻¹' ↑t))
⊢ p x ∈ ↑t
[PROOFSTEP]
rwa [mem_preimage, ← mem_coe] at this
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
⊢ x ∈ preimage t p (_ : Set.InjOn p (p ⁻¹' ↑t))
[PROOFSTEP]
refine' h _ x _
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p (preimage t p (_ : Set.InjOn p (p ⁻¹' ↑t))))
[PROOFSTEP]
rwa [t.image_preimage p (hp.injOn _), filter_true_of_mem]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ : Set E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ ↑(convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∀ (x : E), x ∈ t → x ∈ Set.range p
[PROOFSTEP]
exact fun y hy => s.image_subset_range p (ht <| mem_coe.2 hy)


[GOAL]
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : Set.Nonempty s
⊢ ContractibleSpace ↑s
[PROOFSTEP]
refine'
  (contractible_iff_id_nullhomotopic s).2
    ⟨⟨x, h.mem hne⟩, ⟨⟨⟨fun p => ⟨p.1.1 • x + (1 - p.1.1) • (p.2 : E), _⟩, _⟩, fun x => _, fun x => _⟩⟩⟩
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : Set.Nonempty s
p : ↑unitInterval × ↑s
⊢ ↑p.fst • x + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd ∈ s
[PROOFSTEP]
exact h p.2.2 p.1.2.1 (sub_nonneg.2 p.1.2.2) (add_sub_cancel'_right _ _)
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : Set.Nonempty s
⊢ Continuous fun p =>
    { val := ↑p.fst • x + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd, property := (_ : ↑p.fst • x + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd ∈ s) }
[PROOFSTEP]
exact
  ((continuous_subtype_val.fst'.smul continuous_const).add
        ((continuous_const.sub continuous_subtype_val.fst').smul continuous_subtype_val.snd')).subtype_mk
    _
[GOAL]
case refine'_3
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : Set.Nonempty s
x : ↑s
⊢ ContinuousMap.toFun
      (ContinuousMap.mk fun p =>
        { val := ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd, property := (_ : ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd ∈ s) })
      (0, x) =
    ↑(ContinuousMap.id ↑s) x
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case refine'_3.a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : Set.Nonempty s
x : ↑s
⊢ ↑(ContinuousMap.toFun
        (ContinuousMap.mk fun p =>
          { val := ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd, property := (_ : ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd ∈ s) })
        (0, x)) =
    ↑(↑(ContinuousMap.id ↑s) x)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case refine'_4
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : Set.Nonempty s
x : ↑s
⊢ ContinuousMap.toFun
      (ContinuousMap.mk fun p =>
        { val := ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd, property := (_ : ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd ∈ s) })
      (1, x) =
    ↑(ContinuousMap.const ↑s { val := x✝, property := (_ : x✝ ∈ s) }) x
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case refine'_4.a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : Set.Nonempty s
x : ↑s
⊢ ↑(ContinuousMap.toFun
        (ContinuousMap.mk fun p =>
          { val := ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd, property := (_ : ↑p.fst • x✝ + (1 - ↑p.fst) • ↑p.snd ∈ s) })
        (1, x)) =
    ↑(↑(ContinuousMap.const ↑s { val := x✝, property := (_ : x✝ ∈ s) }) x)
[PROOFSTEP]
simp