[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
borelize E
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
rcases hfi.aestronglyMeasurable with ⟨g, hgm, hfg⟩
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
haveI : SeparableSpace (range g ∩ s : Set E) := (hgm.isSeparable_range.mono (inter_subset_left _ _)).separableSpace
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y₀, h₀⟩ : (range g ∩ s).Nonempty :=
  by
  rcases(hf.and hfg).exists with ⟨x₀, h₀⟩
  exact ⟨f x₀, by simp only [h₀.2, mem_range_self], h₀.1⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
⊢ Set.Nonempty (range g ∩ s)
[PROOFSTEP]
rcases(hf.and hfg).exists with ⟨x₀, h₀⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
x₀ : α
h₀ : f x₀ ∈ s ∧ f x₀ = g x₀
⊢ Set.Nonempty (range g ∩ s)
[PROOFSTEP]
exact ⟨f x₀, by simp only [h₀.2, mem_range_self], h₀.1⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
x₀ : α
h₀ : f x₀ ∈ s ∧ f x₀ = g x₀
⊢ f x₀ ∈ range g
[PROOFSTEP]
simp only [h₀.2, mem_range_self]
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [integral_congr_ae hfg]
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
rw [integrable_congr hfg] at hfi
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
have hg : ∀ᵐ x ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s) :=
  by
  filter_upwards [hfg.rw (fun _ y => y ∈ s) hf] with x hx
  apply subset_closure
  exact ⟨mem_range_self _, hx⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hfg.rw (fun _ y => y ∈ s) hf] with x hx
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
x : α
hx : g x ∈ s
⊢ g x ∈ closure (range g ∩ s)
[PROOFSTEP]
apply subset_closure
[GOAL]
case h.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
x : α
hx : g x ∈ s
⊢ g x ∈ range g ∩ s
[PROOFSTEP]
exact ⟨mem_range_self _, hx⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
set G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn _ hgm.measurable (range g ∩ s) y₀ h₀
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
have : Tendsto (fun n => (G n).integral μ) atTop (𝓝 <| ∫ x, g x ∂μ) :=
  tendsto_integral_approxOn_of_measurable hfi _ hg _ (integrable_const _)
[GOAL]
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' hsc.mem_of_tendsto this (eventually_of_forall fun n => hs.sum_mem _ _ _)
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∀ (i : E), i ∈ SimpleFunc.range (G n) → 0 ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(G n) ⁻¹' {i}))
[PROOFSTEP]
exact fun _ _ => ENNReal.toReal_nonneg
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∑ i in SimpleFunc.range (G n), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(G n) ⁻¹' {i})) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← ENNReal.toReal_sum, (G n).sum_range_measure_preimage_singleton, measure_univ, ENNReal.one_toReal]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∀ (a : E), a ∈ SimpleFunc.range (G n) → ↑↑μ (↑(G n) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact fun _ _ => measure_ne_top _ _
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∀ (i : E), i ∈ SimpleFunc.range (G n) → ↑↑(ContinuousLinearMap.id ℝ E) i ∈ s
[PROOFSTEP]
simp only [SimpleFunc.mem_range, forall_range_iff]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
⊢ ∀ (i : α), ↑↑(ContinuousLinearMap.id ℝ E) (↑(SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀ n) i) ∈ s
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
x : α
⊢ ↑↑(ContinuousLinearMap.id ℝ E) (↑(SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀ n) x) ∈ s
[PROOFSTEP]
apply inter_subset_right (range g)
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_3.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)
G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀
this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))
n : ℕ
x : α
⊢ ↑↑(ContinuousLinearMap.id ℝ E) (↑(SimpleFunc.approxOn g (_ : Measurable g) (range g ∩ s) y₀ h₀ n) x) ∈ range g ∩ s
[PROOFSTEP]
exact SimpleFunc.approxOn_mem hgm.measurable h₀ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' hs.integral_mem hsc (ae_mono' _ hfs) hfi.to_average
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
⊢ (↑↑μ univ)⁻¹ • μ ≪ μ
[PROOFSTEP]
exact AbsolutelyContinuous.smul (refl _) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.fst ∈ s ∧ g p.fst ≤ p.snd}
[PROOFSTEP]
have ht_mem : ∀ᵐ x ∂μ, (f x, g (f x)) ∈ {p : E × ℝ | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2} := hfs.mono fun x hx => ⟨hx, le_rfl⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
ht_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (f x, g (f x)) ∈ {p | p.fst ∈ s ∧ g p.fst ≤ p.snd}
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.fst ∈ s ∧ g p.fst ≤ p.snd}
[PROOFSTEP]
exact average_pair hfi hgi ▸ hg.convex_epigraph.average_mem (hsc.epigraph hgc) ht_mem (hfi.prod_mk hgi)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.fst ∈ s ∧ p.snd ≤ g p.fst}
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_setOf_eq, Pi.neg_apply, average_neg, neg_le_neg_iff] using
  hg.neg.average_mem_epigraph hgc.neg hsc hfs hfi hgi.neg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : ↑↑μ t ≠ 0
ht : ↑↑μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, f x ∈ s
hfi : IntegrableOn f t
hgi : IntegrableOn (g ∘ f) t
⊢ (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ, ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.fst ∈ s ∧ p.snd ≤ g p.fst}
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_setOf_eq, Pi.neg_apply, average_neg, neg_le_neg_iff] using
  hg.neg.set_average_mem_epigraph hgc.neg hsc h0 ht hfs hfi hgi.neg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
⊢ g (∫ (x : α), f x ∂μ) ≤ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using hg.map_average_le hgc hsc hfs hfi hgi
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
⊢ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ ≤ g (∫ (x : α), f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simpa only [average_eq_integral] using hg.le_map_average hgc hsc hfs hfi hgi
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨
    ∃ t, MeasurableSet t ∧ ↑↑μ t ≠ 0 ∧ ↑↑μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' or_iff_not_imp_right.mpr fun H => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ¬∃ t, MeasurableSet t ∧ ↑↑μ t ≠ 0 ∧ ↑↑μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
push_neg at H
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
refine' hfi.ae_eq_of_forall_set_integral_eq _ _ (integrable_const _) fun t ht ht' => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
ht' : ↑↑μ t < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) x ∂μ
[PROOFSTEP]
clear ht'
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [const_apply, set_integral_const]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
by_cases h₀ : μ t = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t = 0
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [restrict_eq_zero.2 h₀, integral_zero_measure, h₀, ENNReal.zero_toReal, zero_smul]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬↑↑μ t = 0
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
by_cases h₀' : μ tᶜ = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬↑↑μ t = 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ = 0
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← ae_eq_univ] at h₀'
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬↑↑μ t = 0
h₀' : t =ᶠ[ae μ] univ
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [restrict_congr_set h₀', restrict_univ, measure_congr h₀', measure_smul_average]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬↑↑μ t = 0
h₀' : ¬↑↑μ tᶜ = 0
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have := average_mem_openSegment_compl_self ht.nullMeasurableSet h₀ h₀' hfi
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬↑↑μ t = 0
h₀' : ¬↑↑μ tᶜ = 0
this : ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ)
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← H t ht h₀ h₀', openSegment_same, mem_singleton_iff] at this
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f
H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → ↑↑μ t ≠ 0 → ↑↑μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h₀ : ¬↑↑μ t = 0
h₀' : ¬↑↑μ tᶜ = 0
this : ⨍ (x : α), f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ t) • ⨍ (x : α), f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [this, measure_smul_setAverage _ (measure_ne_top μ _)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : ↑↑μ t ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
ht : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
rw [← measure_toMeasurable] at h0
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : ↑↑μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
ht : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
rw [← restrict_toMeasurable (measure_ne_top μ t)] at ht
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : ↑↑μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
by_cases h0' : μ (toMeasurable μ t)ᶜ = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : ↑↑μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s
h0' : ↑↑μ (toMeasurable μ t)ᶜ = 0
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
rw [← ae_eq_univ] at h0'
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : ↑↑μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s
h0' : toMeasurable μ t =ᶠ[ae μ] univ
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
rwa [restrict_congr_set h0', restrict_univ] at ht
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : Convex ℝ s
h0 : ↑↑μ (toMeasurable μ t) ≠ 0
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
ht : ⨍ (x : α) in toMeasurable μ t, f x ∂μ ∈ interior s
h0' : ¬↑↑μ (toMeasurable μ t)ᶜ = 0
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
exact
  hs.openSegment_interior_closure_subset_interior ht
    (hs.set_average_mem_closure h0' (measure_ne_top _ _) (ae_restrict_of_ae hfs) hfi.integrableOn)
    (average_mem_openSegment_compl_self (measurableSet_toMeasurable μ t).nullMeasurableSet h0 h0' hfi)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
have : ∀ {t}, μ t ≠ 0 → (⨍ x in t, f x ∂μ) ∈ s := fun ht =>
  hs.convex.set_average_mem hsc ht (measure_ne_top _ _) (ae_restrict_of_ae hfs) hfi.integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
refine' (ae_eq_const_or_exists_average_ne_compl hfi).imp_right _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
⊢ (∃ t, MeasurableSet t ∧ ↑↑μ t ≠ 0 ∧ ↑↑μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) →
    ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
rintro ⟨t, hm, h₀, h₀', hne⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t ≠ 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
[PROOFSTEP]
exact
  hs.openSegment_subset (this h₀) (this h₀') hne (average_mem_openSegment_compl_self hm.nullMeasurableSet h₀ h₀' hfi)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
have : ∀ {t}, μ t ≠ 0 → (⨍ x in t, f x ∂μ) ∈ s ∧ g (⨍ x in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ x in t, g (f x) ∂μ := fun ht =>
  hg.convexOn.set_average_mem_epigraph hgc hsc ht (measure_ne_top _ _) (ae_restrict_of_ae hfs) hfi.integrableOn
    hgi.integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' (ae_eq_const_or_exists_average_ne_compl hfi).imp_right _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
⊢ (∃ t, MeasurableSet t ∧ ↑↑μ t ≠ 0 ∧ ↑↑μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) →
    g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
rintro ⟨t, hm, h₀, h₀', hne⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t ≠ 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
rcases average_mem_openSegment_compl_self hm.nullMeasurableSet h₀ h₀' (hfi.prod_mk hgi) with ⟨a, b, ha, hb, hab, h_avg⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t ≠ 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg :
  a • ⨍ (x : α) in t, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ = ⨍ (x : α), (f x, (g ∘ f) x) ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [average_pair hfi hgi, average_pair hfi.integrableOn hgi.integrableOn,
  average_pair hfi.integrableOn hgi.integrableOn, Prod.smul_mk, Prod.smul_mk, Prod.mk_add_mk, Prod.mk.inj_iff] at h_avg
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t ≠ 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg :
  a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧
    a • ⨍ (x : α) in t, (g ∘ f) x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (g ∘ f) x ∂μ = ⨍ (x : α), (g ∘ f) x ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
simp only [Function.comp] at h_avg
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t ≠ 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg :
  a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧
    a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
⊢ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← h_avg.1, ← h_avg.2]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
this : ∀ {t : Set α}, ↑↑μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : ↑↑μ t ≠ 0
h₀' : ↑↑μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg :
  a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧
    a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
⊢ g (a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) <
    a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ
[PROOFSTEP]
calc
  g ((a • ⨍ x in t, f x ∂μ) + b • ⨍ x in tᶜ, f x ∂μ) < a * g (⨍ x in t, f x ∂μ) + b * g (⨍ x in tᶜ, f x ∂μ) :=
    hg.2 (this h₀).1 (this h₀').1 hne ha hb hab
  _ ≤ (a * ⨍ x in t, g (f x) ∂μ) + b * ⨍ x in tᶜ, g (f x) ∂μ :=
    add_le_add (mul_le_mul_of_nonneg_left (this h₀).2 ha.le) (mul_le_mul_of_nonneg_left (this h₀').2 hb.le)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f
hgi : Integrable (g ∘ f)
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ < g (⨍ (x : α), f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simpa only [Pi.neg_apply, average_neg, neg_lt_neg_iff] using
  hg.neg.ae_eq_const_or_map_average_lt hgc.neg hsc hfs hfi hgi.neg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
cases' le_or_lt C 0 with hC0 hC0
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
have : f =ᵐ[μ] 0 := h_le.mono fun x hx => norm_le_zero_iff.1 (hx.trans hC0)
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
simp only [average_congr this, Pi.zero_apply, average_zero]
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : C ≤ 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α 0 ∨ ‖0‖ < C
[PROOFSTEP]
exact Or.inl this
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
by_cases hfi : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : ¬Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : ¬Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
simp [average_eq, integral_undef hfi, hC0, ENNReal.toReal_pos_iff]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
cases' (le_top : μ univ ≤ ∞).eq_or_lt with hμt hμt
[GOAL]
case pos.inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ = ⊤
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
simp [average_eq, hμt, hC0]
[GOAL]
case pos.inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
haveI : IsFiniteMeasure μ := ⟨hμt⟩
[GOAL]
case pos.inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
replace h_le : ∀ᵐ x ∂μ, f x ∈ closedBall (0 : E) C
[GOAL]
case h_le
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_closedBall_zero_iff]
[GOAL]
case pos.inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f
hμt : ↑↑μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
[PROOFSTEP]
simpa only [interior_closedBall _ hC0.ne', mem_ball_zero_iff] using
  (strictConvex_closedBall ℝ (0 : E) C).ae_eq_const_or_average_mem_interior isClosed_ball h_le hfi
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C
[PROOFSTEP]
cases' eq_or_ne μ 0 with h₀ h₀
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C
[PROOFSTEP]
left
[GOAL]
case inl.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ)
[PROOFSTEP]
simp [h₀, EventuallyEq]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C
[PROOFSTEP]
have hμ : 0 < (μ univ).toReal := by simp [ENNReal.toReal_pos_iff, pos_iff_ne_zero, h₀, measure_lt_top]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
⊢ 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ univ)
[PROOFSTEP]
simp [ENNReal.toReal_pos_iff, pos_iff_ne_zero, h₀, measure_lt_top]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ univ)
⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C
[PROOFSTEP]
refine' (ae_eq_const_or_norm_average_lt_of_norm_le_const h_le).imp_right fun H => _
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < ENNReal.toReal (↑↑μ univ)
H : ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
⊢ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ univ) * C
[PROOFSTEP]
rwa [average_eq, norm_smul, norm_inv, Real.norm_eq_abs, abs_of_pos hμ, ← div_eq_inv_mul, div_lt_iff' hμ] at H
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : ↑↑μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, ‖f x‖ ≤ C
⊢ f =ᶠ[ae (Measure.restrict μ t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨
    ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ t) * C
[PROOFSTEP]
haveI := Fact.mk ht.lt_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : ↑↑μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, ‖f x‖ ≤ C
this : Fact (↑↑μ t < ⊤)
⊢ f =ᶠ[ae (Measure.restrict μ t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨
    ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑μ t) * C
[PROOFSTEP]
rw [← restrict_apply_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
ht : ↑↑μ t ≠ ⊤
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, ‖f x‖ ≤ C
this : Fact (↑↑μ t < ⊤)
⊢ f =ᶠ[ae (Measure.restrict μ t)] const α (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ∨
    ‖∫ (x : α) in t, f x ∂μ‖ < ENNReal.toReal (↑↑(Measure.restrict μ t) univ) * C
[PROOFSTEP]
exact ae_eq_const_or_norm_integral_lt_of_norm_le_const h_le


[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
⊢ x ∈ convexJoin 𝕜 s t ↔ ∃ a, a ∈ s ∧ ∃ b, b ∈ t ∧ x ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
simp [convexJoin]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s t : Set E
⊢ ⋃ (i₂ : E) (_ : i₂ ∈ t) (i₁ : E) (_ : i₁ ∈ s), segment 𝕜 i₁ i₂ = convexJoin 𝕜 t s
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin, segment_symm]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 ∅ t = ∅
[PROOFSTEP]
simp [convexJoin]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s ∅ = ∅
[PROOFSTEP]
simp [convexJoin]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x✝ y : E
t : Set E
x : E
⊢ convexJoin 𝕜 {x} t = ⋃ (y : E) (_ : y ∈ t), segment 𝕜 x y
[PROOFSTEP]
simp [convexJoin]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y✝ : E
s : Set E
y : E
⊢ convexJoin 𝕜 s {y} = ⋃ (x : E) (_ : x ∈ s), segment 𝕜 x y
[PROOFSTEP]
simp [convexJoin]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x✝ y x : E
⊢ convexJoin 𝕜 {x} {y} = segment 𝕜 x y
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t✝ s₁✝ s₂✝ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s₁ s₂ t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (s₁ ∪ s₂) t = convexJoin 𝕜 s₁ t ∪ convexJoin 𝕜 s₂ t
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin, mem_union, iUnion_or, iUnion_union_distrib]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s₁ s₂ t₁✝ t₂✝ u : Set E
x y : E
s t₁ t₂ : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (t₁ ∪ t₂) = convexJoin 𝕜 s t₁ ∪ convexJoin 𝕜 s t₂
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin_comm s, convexJoin_union_left]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : ι → Set E
t : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (⋃ (i : ι), s i) t = ⋃ (i : ι), convexJoin 𝕜 (s i) t
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin, mem_iUnion, iUnion_exists]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : ι → Set E
t : Set E
⊢ ⋃ (x : E) (i : ι) (_ : x ∈ s i) (y : E) (_ : y ∈ t), segment 𝕜 x y =
    ⋃ (i : ι) (x : E) (_ : x ∈ s i) (y : E) (_ : y ∈ t), segment 𝕜 x y
[PROOFSTEP]
exact iUnion_comm _
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s : Set E
t : ι → Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (⋃ (i : ι), t i) = ⋃ (i : ι), convexJoin 𝕜 s (t i)
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin_comm s, convexJoin_iUnion_left]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u ⊆ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)
[PROOFSTEP]
simp_rw [subset_def, mem_convexJoin]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ ∀ (x : E),
    (∃ a, (∃ a_1, a_1 ∈ s ∧ ∃ b, b ∈ t ∧ a ∈ segment 𝕜 a_1 b) ∧ ∃ b, b ∈ u ∧ x ∈ segment 𝕜 a b) →
      ∃ a, a ∈ s ∧ ∃ b, (∃ a, a ∈ t ∧ ∃ b_1, b_1 ∈ u ∧ b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ x ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨z, ⟨x, hx, y, hy, a₁, b₁, ha₁, hb₁, hab₁, rfl⟩, z, hz, a₂, b₂, ha₂, hb₂, hab₂, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
⊢ ∃ a,
    a ∈ s ∧ ∃ b, (∃ a, a ∈ t ∧ ∃ b_1, b_1 ∈ u ∧ b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + b₂ • z ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hb₂ := hb₂.eq_or_lt
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ 0
hab₂ : a₂ + 0 = 1
⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ ∃ b, (∃ a, a ∈ t ∧ ∃ b_1, b_1 ∈ u ∧ b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + 0 • z ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
refine' ⟨x, hx, y, ⟨y, hy, z, hz, left_mem_segment 𝕜 _ _⟩, a₁, b₁, ha₁, hb₁, hab₁, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ 0
hab₂ : a₂ + 0 = 1
⊢ a₁ • x + b₁ • y = a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + 0 • z
[PROOFSTEP]
rw [add_zero] at hab₂
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ 0
hab₂ : a₂ = 1
⊢ a₁ • x + b₁ • y = a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + 0 • z
[PROOFSTEP]
rw [hab₂, one_smul, zero_smul, add_zero]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
⊢ ∃ a,
    a ∈ s ∧ ∃ b, (∃ a, a ∈ t ∧ ∃ b_1, b_1 ∈ u ∧ b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + b₂ • z ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
have ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁ := mul_nonneg ha₂ hb₁
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
⊢ ∃ a,
    a ∈ s ∧ ∃ b, (∃ a, a ∈ t ∧ ∃ b_1, b_1 ∈ u ∧ b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + b₂ • z ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
have hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂ := add_pos_of_nonneg_of_pos ha₂b₁ hb₂
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂
⊢ ∃ a,
    a ∈ s ∧ ∃ b, (∃ a, a ∈ t ∧ ∃ b_1, b_1 ∈ u ∧ b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + b₂ • z ∈ segment 𝕜 a b
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨x, hx, (a₂ * b₁ / (a₂ * b₁ + b₂)) • y + (b₂ / (a₂ * b₁ + b₂)) • z, ⟨y, hy, z, hz, _, _, _, _, _, rfl⟩, a₂ * a₁,
    a₂ * b₁ + b₂, mul_nonneg ha₂ ha₁, hab.le, _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.refine'_1
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂
⊢ 0 ≤ a₂ * b₁ / (a₂ * b₁ + b₂)
[PROOFSTEP]
exact div_nonneg ha₂b₁ hab.le
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.refine'_2
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂
⊢ 0 ≤ b₂ / (a₂ * b₁ + b₂)
[PROOFSTEP]
exact div_nonneg hb₂.le hab.le
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.refine'_3
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂
⊢ a₂ * b₁ / (a₂ * b₁ + b₂) + b₂ / (a₂ * b₁ + b₂) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← add_div, div_self hab.ne']
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.refine'_4
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂
⊢ a₂ * a₁ + (a₂ * b₁ + b₂) = 1
[PROOFSTEP]
rw [← add_assoc, ← mul_add, hab₁, mul_one, hab₂]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr.refine'_5
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x✝ y✝ : E
s t u : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
z : E
hz : z ∈ u
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂✝ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
hb₂ : 0 < b₂
ha₂b₁ : 0 ≤ a₂ * b₁
hab : 0 < a₂ * b₁ + b₂
⊢ (a₂ * a₁) • x + (a₂ * b₁ + b₂) • ((a₂ * b₁ / (a₂ * b₁ + b₂)) • y + (b₂ / (a₂ * b₁ + b₂)) • z) =
    a₂ • (a₁ • x + b₁ • y) + b₂ • z
[PROOFSTEP]
simp_rw [smul_add, ← mul_smul, mul_div_cancel' _ hab.ne', add_assoc]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)
[PROOFSTEP]
refine' (convexJoin_assoc_aux _ _ _).antisymm _
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) ⊆ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin_comm s, convexJoin_comm _ u]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 u t) s ⊆ convexJoin 𝕜 u (convexJoin 𝕜 t s)
[PROOFSTEP]
exact convexJoin_assoc_aux _ _ _
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) = convexJoin 𝕜 t (convexJoin 𝕜 s u)
[PROOFSTEP]
simp_rw [← convexJoin_assoc, convexJoin_comm]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) t
[PROOFSTEP]
simp_rw [convexJoin_assoc, convexJoin_comm]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u v : Set E
⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) (convexJoin 𝕜 u v) = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) (convexJoin 𝕜 t v)
[PROOFSTEP]
simp_rw [← convexJoin_assoc, convexJoin_right_comm]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ Convex 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t)
[PROOFSTEP]
simp only [Convex, StarConvex, convexJoin, mem_iUnion]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
⊢ ∀ ⦃x : E⦄,
    (∃ i h i_1 i_2, x ∈ [i-[𝕜]i_1]) →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        (∃ i h i_1 i_2, y ∈ [i-[𝕜]i_1]) →
          ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → ∃ i h i_1 i_2, a • x + b • y ∈ [i-[𝕜]i_1]
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨x₁, hx₁, y₁, hy₁, a₁, b₁, ha₁, hb₁, hab₁, rfl⟩ _ ⟨x₂, hx₂, y₂, hy₂, a₂, b₂, ha₂, hb₂, hab₂, rfl⟩ p q hp hq hpq
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
⊢ ∃ i h i_1 i_2, p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]
[PROOFSTEP]
rcases hs.exists_mem_add_smul_eq hx₁ hx₂ (mul_nonneg hp ha₁) (mul_nonneg hq ha₂) with ⟨x, hxs, hx⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
⊢ ∃ i h i_1 i_2, p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]
[PROOFSTEP]
rcases ht.exists_mem_add_smul_eq hy₁ hy₂ (mul_nonneg hp hb₁) (mul_nonneg hq hb₂) with ⟨y, hyt, hy⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ ∃ i h i_1 i_2, p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]
[PROOFSTEP]
refine ⟨_, hxs, _, hyt, p * a₁ + q * a₂, p * b₁ + q * b₂, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ 0 ≤ p * a₁ + q * a₂
[PROOFSTEP]
try positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ 0 ≤ p * a₁ + q * a₂
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ 0 ≤ p * b₁ + q * b₂
[PROOFSTEP]
try positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ 0 ≤ p * b₁ + q * b₂
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ p * a₁ + q * a₂ + (p * b₁ + q * b₂) = 1
[PROOFSTEP]
try positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ p * a₁ + q * a₂ + (p * b₁ + q * b₂) = 1
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_4
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ (p * a₁ + q * a₂) • x + (p * b₁ + q * b₂) • y = p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂)
[PROOFSTEP]
try positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_4
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ (p * a₁ + q * a₂) • x + (p * b₁ + q * b₂) • y = p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂)
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ p * a₁ + q * a₂ + (p * b₁ + q * b₂) = 1
[PROOFSTEP]
rwa [add_add_add_comm, ← mul_add, ← mul_add, hab₁, hab₂, mul_one, mul_one]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_4
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ (p * a₁ + q * a₂) • x + (p * b₁ + q * b₂) • y = p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂)
[PROOFSTEP]
rw [hx, hy, add_add_add_comm]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_4
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x✝ y✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ (p * a₁) • x₁ + (p * b₁) • y₁ + ((q * a₂) • x₂ + (q * b₂) • y₂) = p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂)
[PROOFSTEP]
simp only [smul_add, smul_smul]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Set.Nonempty s
ht : Set.Nonempty t
⊢ ↑(convexHull 𝕜) (s ∪ t) = convexJoin 𝕜 (↑(convexHull 𝕜) s) (↑(convexHull 𝕜) t)
[PROOFSTEP]
rw [← convexHull_convexHull_union_left, ← convexHull_convexHull_union_right]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Set.Nonempty s
ht : Set.Nonempty t
⊢ ↑(convexHull 𝕜) (↑(convexHull 𝕜) s ∪ ↑(convexHull 𝕜) t) = convexJoin 𝕜 (↑(convexHull 𝕜) s) (↑(convexHull 𝕜) t)
[PROOFSTEP]
exact (convex_convexHull 𝕜 s).convexHull_union (convex_convexHull 𝕜 t) hs.convexHull ht.convexHull
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Set.Nonempty s
⊢ ↑(convexHull 𝕜) (insert x s) = convexJoin 𝕜 {x} (↑(convexHull 𝕜) s)
[PROOFSTEP]
rw [insert_eq, convexHull_union (singleton_nonempty _) hs, convexHull_singleton]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c d : E
⊢ convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) (segment 𝕜 c d) = ↑(convexHull 𝕜) {a, b, c, d}
[PROOFSTEP]
simp_rw [← convexHull_pair, convexHull_insert (insert_nonempty _ _), convexHull_insert (singleton_nonempty _),
  convexJoin_assoc, convexHull_singleton]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E
⊢ convexJoin 𝕜 (segment 𝕜 a b) {c} = ↑(convexHull 𝕜) {a, b, c}
[PROOFSTEP]
rw [← pair_eq_singleton, ← convexJoin_segments, segment_same, pair_eq_singleton]
[GOAL]
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E
⊢ convexJoin 𝕜 {a} (segment 𝕜 b c) = ↑(convexHull 𝕜) {a, b, c}
[PROOFSTEP]
rw [← segment_same 𝕜, convexJoin_segments, insert_idem]