[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : ℝ
⊢ FTCFilter a (𝓝[{a}] a) ⊥
[PROOFSTEP]
rw [nhdsWithin, principal_singleton, inf_eq_right.2 (pure_le_nhds a)]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : ℝ
⊢ FTCFilter a (Pure.pure a) ⊥
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : ℝ
⊢ FTCFilter a (𝓝[univ] a) (𝓝 a)
[PROOFSTEP]
rw [nhdsWithin_univ]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : ℝ
⊢ FTCFilter a (𝓝 a) (𝓝 a)
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
[PROOFSTEP]
have A := hf.integral_sub_linear_isLittleO_ae hfm hl (hu.Ioc hv)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
[PROOFSTEP]
have B := hf.integral_sub_linear_isLittleO_ae hfm hl (hv.Ioc hu)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [integral_const', sub_smul]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ -
        (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)) =o[lt]
    fun t => ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1
[PROOFSTEP]
refine ((A.trans_le fun t ↦ ?_).sub (B.trans_le fun t ↦ ?_)).congr_left fun t ↦ ?_
[GOAL]
case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖
[PROOFSTEP]
cases le_total (u t) (v t)
[GOAL]
case refine_1.inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
h✝ : u t ≤ v t
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine_1.inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
h✝ : v t ≤ u t
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖
[PROOFSTEP]
cases le_total (u t) (v t)
[GOAL]
case refine_2.inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
h✝ : u t ≤ v t
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine_2.inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
h✝ : v t ≤ u t
⊢ ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t)))‖ ≤
    ‖ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • 1 - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • 1‖
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c -
      (∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c) =
    ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ -
      (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)
[PROOFSTEP]
simp_rw [intervalIntegral]
[GOAL]
case refine_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c -
      (∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c) =
    ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ -
      (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
A :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u i) (v i)))
B :
  (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i))) • c) =o[lt] fun i =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v i) (u i)))
t : ι
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c -
      (∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c) =
    ∫ (x : ℝ) in Ioc (u t) (v t), f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Ioc (v t) (u t), f x ∂μ -
      (ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) x =
    (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t))) • c) x
[PROOFSTEP]
simp [integral_const', hx]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ) x = (fun t => ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (u t) (v t)))) x
[PROOFSTEP]
simp [integral_const', hx]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : IsMeasurablyGenerated l'
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hl : Measure.FiniteAtFilter μ l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : v ≤ᶠ[lt] u
t : ι
⊢ -(∫ (x : ℝ) in v t..u t, f x ∂μ - ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c) =
    ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ + ENNReal.toReal (↑↑μ (Ioc (v t) (u t))) • c
[PROOFSTEP]
simp [integral_symm (u t), add_comm]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
[PROOFSTEP]
haveI := FTCFilter.meas_gen la
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this : IsMeasurablyGenerated la'
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
[PROOFSTEP]
haveI := FTCFilter.meas_gen lb
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖
[PROOFSTEP]
refine'
  ((measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hmeas_a ha_lim hua hva).neg_left.add_add
        (measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hmeas_b hb_lim hub hvb)).congr'
    _ EventuallyEq.rfl
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
have A : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t) :=
  ha_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_a (FTCFilter.finite_at_inner la) hua hva
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
have A' : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t) :=
  ha_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_a (FTCFilter.finite_at_inner la)
    (tendsto_const_pure.mono_right FTCFilter.pure_le) hua
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
have B : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t) :=
  hb_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_b (FTCFilter.finite_at_inner lb) hub hvb
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
have B' : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t) :=
  hb_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_b (FTCFilter.finite_at_inner lb)
    (tendsto_const_pure.mono_right FTCFilter.pure_le) hub
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [A, A', B, B'] with _ ua_va a_ua ub_vb b_ub
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ∫ (x : ℝ) in va a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..ub a✝, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
rw [← integral_interval_sub_interval_comm']
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h.hab
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x) μ (ub a✝) (vb a✝)
case h.hcd
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x) μ (ua a✝) (va a✝)
case h.hac
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : IsMeasurablyGenerated la'
this : IsMeasurablyGenerated lb'
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x) μ (ub a✝) (ua a✝)
[PROOFSTEP]
exacts [ub_vb, ua_va, b_ub.symm.trans <| hab.symm.trans a_ua]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
hf : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt lb
hv : Tendsto v lt lb
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in a..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa using
  measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hab stronglyMeasurableAt_bot hmeas
    ((tendsto_bot : Tendsto _ ⊥ (𝓝 (0 : E))).mono_left inf_le_left) hf (tendsto_const_pure : Tendsto _ _ (pure a))
    tendsto_const_pure hu hv
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hf : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la
⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in v t..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
[PROOFSTEP]
simpa using
  measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hab hmeas stronglyMeasurableAt_bot hf
    ((tendsto_bot : Tendsto _ ⊥ (𝓝 (0 : E))).mono_left inf_le_left) hu hv (tendsto_const_pure : Tendsto _ _ (pure b))
    tendsto_const_pure
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u✝ v✝ ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : FTCFilter a l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l'
hf : Tendsto f (l' ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 c)
u v : ι → ℝ
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
⊢ (fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
[PROOFSTEP]
simpa [integral_const] using measure_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hfm hf hu hv
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x) -
        ((vb t - ub t) • cb - (va t - ua t) • ca)) =o[lt]
    fun t => ‖va t - ua t‖ + ‖vb t - ub t‖
[PROOFSTEP]
simpa [integral_const] using
  measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hab hmeas_a hmeas_b ha_lim hb_lim hua hva hub hvb
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb'
hf : Tendsto f (lb' ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt lb
hv : Tendsto v lt lb
⊢ (fun t => ((∫ (x : ℝ) in a..v t, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
[PROOFSTEP]
simpa only [integral_const, smul_eq_mul, mul_one] using
  measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae_right hab hmeas hf hu hv
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la'
hf : Tendsto f (la' ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la
⊢ (fun t => ((∫ (x : ℝ) in v t..b, f x) - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x) + (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
[PROOFSTEP]
simpa only [integral_const, smul_eq_mul, mul_one] using
  measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae_left hab hmeas hf hu hv
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca)
    (a, b)
[PROOFSTEP]
have :=
  integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hf hmeas_a hmeas_b ha hb
    (continuous_snd.fst.tendsto ((a, b), (a, b))) (continuous_fst.fst.tendsto ((a, b), (a, b)))
    (continuous_snd.snd.tendsto ((a, b), (a, b))) (continuous_fst.snd.tendsto ((a, b), (a, b)))
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst.fst..t.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.snd.fst..t.snd.snd, f x) -
        ((t.fst.snd - t.snd.snd) • cb - (t.fst.fst - t.snd.fst) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖
⊢ HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca)
    (a, b)
[PROOFSTEP]
refine' (this.congr_left _).trans_isBigO _
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst.fst..t.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.snd.fst..t.snd.snd, f x) -
        ((t.fst.snd - t.snd.snd) • cb - (t.fst.fst - t.snd.fst) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖
⊢ ∀ (x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ),
    ((∫ (x : ℝ) in x.fst.fst..x.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.snd.fst..x.snd.snd, f x) -
        ((x.fst.snd - x.snd.snd) • cb - (x.fst.fst - x.snd.fst) • ca) =
      (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) x.fst - (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) x.snd -
        ↑(smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca) (x.fst - x.snd)
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst.fst..t.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.snd.fst..t.snd.snd, f x) -
        ((t.fst.snd - t.snd.snd) • cb - (t.fst.fst - t.snd.fst) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖
x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ
⊢ ((∫ (x : ℝ) in x.fst.fst..x.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.snd.fst..x.snd.snd, f x) -
      ((x.fst.snd - x.snd.snd) • cb - (x.fst.fst - x.snd.fst) • ca) =
    (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) x.fst - (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) x.snd -
      ↑(smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca) (x.fst - x.snd)
[PROOFSTEP]
simp [sub_smul]
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst.fst..t.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.snd.fst..t.snd.snd, f x) -
        ((t.fst.snd - t.snd.snd) • cb - (t.fst.fst - t.snd.fst) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖
x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ
⊢ x.fst.snd • cb - x.snd.snd • cb - (x.fst.fst • ca - x.snd.fst • ca) =
    x.fst.snd • cb - x.fst.fst • ca - (x.snd.snd • cb - x.snd.fst • ca)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst.fst..t.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.snd.fst..t.snd.snd, f x) -
        ((t.fst.snd - t.snd.snd) • cb - (t.fst.fst - t.snd.fst) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖
x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ
⊢ x.fst.snd • cb - x.snd.snd • cb - (x.fst.fst • ca - x.snd.fst • ca) =
    x.fst.snd • cb - x.fst.fst • ca - (x.snd.snd • cb - x.snd.fst • ca)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst.fst..t.fst.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.snd.fst..t.snd.snd, f x) -
        ((t.fst.snd - t.snd.snd) • cb - (t.fst.fst - t.snd.fst) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖
⊢ (fun t => ‖t.fst.fst - t.snd.fst‖ + ‖t.fst.snd - t.snd.snd‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p => p.fst - p.snd
[PROOFSTEP]
exact isBigO_fst_prod.norm_left.add isBigO_snd_prod.norm_left
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 c)
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) a
[PROOFSTEP]
simpa only [← integral_symm] using (integral_hasStrictDerivAt_of_tendsto_ae_right hf.symm hmeas ha).neg
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a)
ha : ContinuousAt f a
⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-f a) a
[PROOFSTEP]
simpa only [← integral_symm] using (integral_hasStrictDerivAt_right hf.symm hmeas ha).neg
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca)
    (s ×ˢ t) (a, b)
[PROOFSTEP]
rw [HasFDerivWithinAt, nhdsWithin_prod_eq]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
⊢ HasFDerivAtFilter (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca)
    (a, b) (𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b)
[PROOFSTEP]
have :=
  integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae hf hmeas_a hmeas_b ha hb
    (tendsto_const_pure.mono_right FTCFilter.pure_le : Tendsto _ _ (𝓝[s] a)) tendsto_fst
    (tendsto_const_pure.mono_right FTCFilter.pure_le : Tendsto _ _ (𝓝[t] b)) tendsto_snd
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst..t.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) -
        ((t.snd - b) • cb - (t.fst - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b]
    fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖
⊢ HasFDerivAtFilter (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca)
    (a, b) (𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b)
[PROOFSTEP]
refine' (this.congr_left _).trans_isBigO _
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst..t.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) -
        ((t.snd - b) • cb - (t.fst - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b]
    fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ),
    ((∫ (x : ℝ) in x.fst..x.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.snd - b) • cb - (x.fst - a) • ca) =
      (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) x - (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (a, b) -
        ↑(smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca) (x - (a, b))
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst..t.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) -
        ((t.snd - b) • cb - (t.fst - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b]
    fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖
x : ℝ × ℝ
⊢ ((∫ (x : ℝ) in x.fst..x.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.snd - b) • cb - (x.fst - a) • ca) =
    (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) x - (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.fst..p.snd, f x) (a, b) -
      ↑(smulRight (snd ℝ ℝ ℝ) cb - smulRight (fst ℝ ℝ ℝ) ca) (x - (a, b))
[PROOFSTEP]
simp [sub_smul]
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst..t.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) -
        ((t.snd - b) • cb - (t.fst - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b]
    fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖
x : ℝ × ℝ
⊢ x.snd • cb - b • cb - (x.fst • ca - a • ca) = x.snd • cb - x.fst • ca - (b • cb - a • ca)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst..t.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) -
        ((t.snd - b) • cb - (t.fst - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b]
    fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖
x : ℝ × ℝ
⊢ x.snd • cb - b • cb - (x.fst • ca - a • ca) = x.snd • cb - x.fst • ca - (b • cb - a • ca)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb
ha : Tendsto f (la ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t =>
      ((∫ (x : ℝ) in t.fst..t.snd, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) -
        ((t.snd - b) • cb - (t.fst - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b]
    fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖
⊢ (fun t => ‖t.fst - a‖ + ‖t.snd - b‖) =O[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun x' => x' - (a, b)
[PROOFSTEP]
exact isBigO_fst_prod.norm_left.add isBigO_snd_prod.norm_left
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝ : FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a)
ha : Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) s a
[PROOFSTEP]
simp only [integral_symm b]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝ : FTCFilter a (𝓝[s] a) (𝓝[t] a)
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝[t] a)
ha : Tendsto f (𝓝[t] a ⊓ Measure.ae volume) (𝓝 c)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => -∫ (x : ℝ) in b..u, f x) (-c) s a
[PROOFSTEP]
exact (integral_hasDerivWithinAt_of_tendsto_ae_right hf.symm hmeas ha).neg
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
refine'
  le_of_forall_pos_le_add fun ε εpos =>
    _
      -- Bound from above `g'` by a lower-semicontinuous function `G'`.
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
[PROOFSTEP]
rcases exists_lt_lowerSemicontinuous_integral_lt φ φint εpos with
  ⟨G', f_lt_G', G'cont, G'int, G'lt_top, hG'⟩
    -- we will show by "induction" that `g t - g a ≤ ∫ u in a..t, G' u` for all `t ∈ [a, b]`.
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
[PROOFSTEP]
set s := {t | g t - g a ≤ ∫ u in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
[PROOFSTEP]
have s_closed : IsClosed s :=
  by
  have : ContinuousOn (fun t => (g t - g a, ∫ u in a..t, (G' u).toReal)) (Icc a b) :=
    by
    rw [← uIcc_of_le hab] at G'int hcont ⊢
    exact (hcont.sub continuousOn_const).prod (continuousOn_primitive_interval G'int)
  simp only [inter_comm]
  exact this.preimage_closed_of_closed isClosed_Icc OrderClosedTopology.isClosed_le'
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
⊢ IsClosed s
[PROOFSTEP]
have : ContinuousOn (fun t => (g t - g a, ∫ u in a..t, (G' u).toReal)) (Icc a b) :=
  by
  rw [← uIcc_of_le hab] at G'int hcont ⊢
  exact (hcont.sub continuousOn_const).prod (continuousOn_primitive_interval G'int)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
⊢ ContinuousOn (fun t => (g t - g a, ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u))) (Icc a b)
[PROOFSTEP]
rw [← uIcc_of_le hab] at G'int hcont ⊢
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
⊢ ContinuousOn (fun t => (g t - g a, ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u))) [[a, b]]
[PROOFSTEP]
exact (hcont.sub continuousOn_const).prod (continuousOn_primitive_interval G'int)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
this : ContinuousOn (fun t => (g t - g a, ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u))) (Icc a b)
⊢ IsClosed s
[PROOFSTEP]
simp only [inter_comm]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
this : ContinuousOn (fun t => (g t - g a, ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u))) (Icc a b)
⊢ IsClosed (Icc a b ∩ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)})
[PROOFSTEP]
exact this.preimage_closed_of_closed isClosed_Icc OrderClosedTopology.isClosed_le'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
[PROOFSTEP]
have main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ u in a..t, (G' u).toReal} := by
  -- to show that the set `s` is all `[a, b]`, it suffices to show that any point `t` in `s`
      -- with `t < b` admits another point in `s` slightly to its right
      -- (this is a sort of real induction).
  refine
    s_closed.Icc_subset_of_forall_exists_gt (by simp only [integral_same, mem_setOf_eq, sub_self, le_rfl])
      fun t ht v t_lt_v => ?_
  obtain ⟨y, g'_lt_y', y_lt_G'⟩ : ∃ y : ℝ, (g' t : EReal) < y ∧ (y : EReal) < G' t :=
    EReal.lt_iff_exists_real_btwn.1
      ((EReal.coe_le_coe_iff.2 (hφg t ht.2)).trans_lt (f_lt_G' t))
        -- bound from below the increase of `∫ x in a..u, G' x` on the right of `t`, using the lower
            -- semicontinuity of `G'`.
  have I1 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal :=
    by
    have B : ∀ᶠ u in 𝓝 t, (y : EReal) < G' u := G'cont.lowerSemicontinuousAt _ _ y_lt_G'
    rcases mem_nhds_iff_exists_Ioo_subset.1 B with ⟨m, M, ⟨hm, hM⟩, H⟩
    have : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[>] t := Ioo_mem_nhdsWithin_Ioi' (lt_min hM ht.right.right)
    filter_upwards [this] with u hu
    have I : Icc t u ⊆ Icc a b := Icc_subset_Icc ht.2.1 (hu.2.le.trans (min_le_right _ _))
    calc
      (u - t) * y = ∫ _ in Icc t u, y := by
        simp only [hu.left.le, MeasureTheory.integral_const, Algebra.id.smul_eq_mul, sub_nonneg, MeasurableSet.univ,
          Real.volume_Icc, Measure.restrict_apply, univ_inter, ENNReal.toReal_ofReal]
      _ ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal :=
        by
        rw [intervalIntegral.integral_of_le hu.1.le, ← integral_Icc_eq_integral_Ioc]
        apply set_integral_mono_ae_restrict
        · simp only [integrableOn_const, Real.volume_Icc, ENNReal.ofReal_lt_top, or_true_iff]
        · exact IntegrableOn.mono_set G'int I
        · have C1 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), G' x < ∞ := ae_mono (Measure.restrict_mono I le_rfl) G'lt_top
          have C2 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), x ∈ Icc t u := ae_restrict_mem measurableSet_Icc
          filter_upwards [C1, C2] with x G'x hx
          apply EReal.coe_le_coe_iff.1
          have : x ∈ Ioo m M := by
            simp only [hm.trans_le hx.left, (hx.right.trans_lt hu.right).trans_le (min_le_left M b), mem_Ioo,
              and_self_iff]
          refine (H this).out.le.trans_eq ?_
          exact (EReal.coe_toReal G'x.ne (f_lt_G' x).ne_bot).symm
  have I2 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y :=
    by
    have g'_lt_y : g' t < y := EReal.coe_lt_coe_iff.1 g'_lt_y'
    filter_upwards [(hderiv t ⟨ht.2.1, ht.2.2⟩).limsup_slope_le' (not_mem_Ioi.2 le_rfl) g'_lt_y,
      self_mem_nhdsWithin] with u hu t_lt_u
    have := mul_le_mul_of_nonneg_left hu.le (sub_pos.2 t_lt_u.out).le
    rwa [← smul_eq_mul, sub_smul_slope] at this
  have I3 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal := by
    filter_upwards [I1, I2] with u hu1 hu2 using hu2.trans hu1
  have I4 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (min v b) :=
    by
    refine' mem_nhdsWithin_Ioi_iff_exists_Ioc_subset.2 ⟨min v b, _, Subset.rfl⟩
    simp only [lt_min_iff, mem_Ioi]
    exact
      ⟨t_lt_v, ht.2.2⟩
        -- choose a point `x` slightly to the right of `t` which satisfies the above bound
  rcases(I3.and I4).exists with
    ⟨x, hx, h'x⟩
      -- we check that it belongs to `s`, essentially by construction
  refine' ⟨x, _, Ioc_subset_Ioc le_rfl (min_le_left _ _) h'x⟩
  calc
    g x - g a = g t - g a + (g x - g t) := by abel
    _ ≤ (∫ w in a..t, (G' w).toReal) + ∫ w in t..x, (G' w).toReal := (add_le_add ht.1 hx)
    _ = ∫ w in a..x, (G' w).toReal := by
      apply integral_add_adjacent_intervals
      · rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le ht.2.1]
        exact IntegrableOn.mono_set G'int (Ioc_subset_Icc_self.trans (Icc_subset_Icc le_rfl ht.2.2.le))
      · rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le h'x.1.le]
        apply IntegrableOn.mono_set G'int
        exact
          Ioc_subset_Icc_self.trans
            (Icc_subset_Icc ht.2.1 (h'x.2.trans (min_le_right _ _)))
              -- now that we know that `s` contains `[a, b]`, we get the desired result by applying this to `b`.
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
[PROOFSTEP]
refine
  s_closed.Icc_subset_of_forall_exists_gt (by simp only [integral_same, mem_setOf_eq, sub_self, le_rfl])
    fun t ht v t_lt_v => ?_
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ a ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
[PROOFSTEP]
simp only [integral_same, mem_setOf_eq, sub_self, le_rfl]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, g'_lt_y', y_lt_G'⟩ : ∃ y : ℝ, (g' t : EReal) < y ∧ (y : EReal) < G' t :=
  EReal.lt_iff_exists_real_btwn.1
    ((EReal.coe_le_coe_iff.2 (hφg t ht.2)).trans_lt (f_lt_G' t))
      -- bound from below the increase of `∫ x in a..u, G' x` on the right of `t`, using the lower
          -- semicontinuity of `G'`.
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
have I1 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal :=
  by
  have B : ∀ᶠ u in 𝓝 t, (y : EReal) < G' u := G'cont.lowerSemicontinuousAt _ _ y_lt_G'
  rcases mem_nhds_iff_exists_Ioo_subset.1 B with ⟨m, M, ⟨hm, hM⟩, H⟩
  have : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[>] t := Ioo_mem_nhdsWithin_Ioi' (lt_min hM ht.right.right)
  filter_upwards [this] with u hu
  have I : Icc t u ⊆ Icc a b := Icc_subset_Icc ht.2.1 (hu.2.le.trans (min_le_right _ _))
  calc
    (u - t) * y = ∫ _ in Icc t u, y := by
      simp only [hu.left.le, MeasureTheory.integral_const, Algebra.id.smul_eq_mul, sub_nonneg, MeasurableSet.univ,
        Real.volume_Icc, Measure.restrict_apply, univ_inter, ENNReal.toReal_ofReal]
    _ ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal :=
      by
      rw [intervalIntegral.integral_of_le hu.1.le, ← integral_Icc_eq_integral_Ioc]
      apply set_integral_mono_ae_restrict
      · simp only [integrableOn_const, Real.volume_Icc, ENNReal.ofReal_lt_top, or_true_iff]
      · exact IntegrableOn.mono_set G'int I
      · have C1 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), G' x < ∞ := ae_mono (Measure.restrict_mono I le_rfl) G'lt_top
        have C2 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), x ∈ Icc t u := ae_restrict_mem measurableSet_Icc
        filter_upwards [C1, C2] with x G'x hx
        apply EReal.coe_le_coe_iff.1
        have : x ∈ Ioo m M := by
          simp only [hm.trans_le hx.left, (hx.right.trans_lt hu.right).trans_le (min_le_left M b), mem_Ioo,
            and_self_iff]
        refine (H this).out.le.trans_eq ?_
        exact (EReal.coe_toReal G'x.ne (f_lt_G' x).ne_bot).symm
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
have B : ∀ᶠ u in 𝓝 t, (y : EReal) < G' u := G'cont.lowerSemicontinuousAt _ _ y_lt_G'
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
rcases mem_nhds_iff_exists_Ioo_subset.1 B with ⟨m, M, ⟨hm, hM⟩, H⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
have : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[>] t := Ioo_mem_nhdsWithin_Ioi' (lt_min hM ht.right.right)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [this] with u hu
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
⊢ (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
have I : Icc t u ⊆ Icc a b := Icc_subset_Icc ht.2.1 (hu.2.le.trans (min_le_right _ _))
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
calc
  (u - t) * y = ∫ _ in Icc t u, y := by
    simp only [hu.left.le, MeasureTheory.integral_const, Algebra.id.smul_eq_mul, sub_nonneg, MeasurableSet.univ,
      Real.volume_Icc, Measure.restrict_apply, univ_inter, ENNReal.toReal_ofReal]
  _ ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal :=
    by
    rw [intervalIntegral.integral_of_le hu.1.le, ← integral_Icc_eq_integral_Ioc]
    apply set_integral_mono_ae_restrict
    · simp only [integrableOn_const, Real.volume_Icc, ENNReal.ofReal_lt_top, or_true_iff]
    · exact IntegrableOn.mono_set G'int I
    · have C1 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), G' x < ∞ := ae_mono (Measure.restrict_mono I le_rfl) G'lt_top
      have C2 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), x ∈ Icc t u := ae_restrict_mem measurableSet_Icc
      filter_upwards [C1, C2] with x G'x hx
      apply EReal.coe_le_coe_iff.1
      have : x ∈ Ioo m M := by
        simp only [hm.trans_le hx.left, (hx.right.trans_lt hu.right).trans_le (min_le_left M b), mem_Ioo, and_self_iff]
      refine (H this).out.le.trans_eq ?_
      exact (EReal.coe_toReal G'x.ne (f_lt_G' x).ne_bot).symm
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ (u - t) * y = ∫ (x : ℝ) in Icc t u, y
[PROOFSTEP]
simp only [hu.left.le, MeasureTheory.integral_const, Algebra.id.smul_eq_mul, sub_nonneg, MeasurableSet.univ,
  Real.volume_Icc, Measure.restrict_apply, univ_inter, ENNReal.toReal_ofReal]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc t u, y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
rw [intervalIntegral.integral_of_le hu.1.le, ← integral_Icc_eq_integral_Ioc]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc t u, y ≤ ∫ (t : ℝ) in Icc t u, EReal.toReal (G' t)
[PROOFSTEP]
apply set_integral_mono_ae_restrict
[GOAL]
case hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ IntegrableOn (fun a => y) (Icc t u)
[PROOFSTEP]
simp only [integrableOn_const, Real.volume_Icc, ENNReal.ofReal_lt_top, or_true_iff]
[GOAL]
case hg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
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ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ IntegrableOn (fun a => EReal.toReal (G' a)) (Icc t u)
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set G'int I
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
⊢ (fun a => y) ≤ᵐ[Measure.restrict volume (Icc t u)] fun a => EReal.toReal (G' a)
[PROOFSTEP]
have C1 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), G' x < ∞ := ae_mono (Measure.restrict_mono I le_rfl) G'lt_top
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
⊢ (fun a => y) ≤ᵐ[Measure.restrict volume (Icc t u)] fun a => EReal.toReal (G' a)
[PROOFSTEP]
have C2 : ∀ᵐ x : ℝ ∂volume.restrict (Icc t u), x ∈ Icc t u := ae_restrict_mem measurableSet_Icc
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), x ∈ Icc t u
⊢ (fun a => y) ≤ᵐ[Measure.restrict volume (Icc t u)] fun a => EReal.toReal (G' a)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [C1, C2] with x G'x hx
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), x ∈ Icc t u
x : ℝ
G'x : G' x < ↑⊤
hx : x ∈ Icc t u
⊢ y ≤ EReal.toReal (G' x)
[PROOFSTEP]
apply EReal.coe_le_coe_iff.1
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), x ∈ Icc t u
x : ℝ
G'x : G' x < ↑⊤
hx : x ∈ Icc t u
⊢ ↑y ≤ ↑(EReal.toReal (G' x))
[PROOFSTEP]
have : x ∈ Ioo m M := by
  simp only [hm.trans_le hx.left, (hx.right.trans_lt hu.right).trans_le (min_le_left M b), mem_Ioo, and_self_iff]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), x ∈ Icc t u
x : ℝ
G'x : G' x < ↑⊤
hx : x ∈ Icc t u
⊢ x ∈ Ioo m M
[PROOFSTEP]
simp only [hm.trans_le hx.left, (hx.right.trans_lt hu.right).trans_le (min_le_left M b), mem_Ioo, and_self_iff]
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this✝ : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), x ∈ Icc t u
x : ℝ
G'x : G' x < ↑⊤
hx : x ∈ Icc t u
this : x ∈ Ioo m M
⊢ ↑y ≤ ↑(EReal.toReal (G' x))
[PROOFSTEP]
refine (H this).out.le.trans_eq ?_
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this✝ : Ioo t (min M b) ∈ 𝓝[Ioi t] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (min M b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc t u), x ∈ Icc t u
x : ℝ
G'x : G' x < ↑⊤
hx : x ∈ Icc t u
this : x ∈ Ioo m M
⊢ G' x = ↑(EReal.toReal (G' x))
[PROOFSTEP]
exact (EReal.coe_toReal G'x.ne (f_lt_G' x).ne_bot).symm
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
have I2 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y :=
  by
  have g'_lt_y : g' t < y := EReal.coe_lt_coe_iff.1 g'_lt_y'
  filter_upwards [(hderiv t ⟨ht.2.1, ht.2.2⟩).limsup_slope_le' (not_mem_Ioi.2 le_rfl) g'_lt_y, self_mem_nhdsWithin] with
    u hu t_lt_u
  have := mul_le_mul_of_nonneg_left hu.le (sub_pos.2 t_lt_u.out).le
  rwa [← smul_eq_mul, sub_smul_slope] at this
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
[PROOFSTEP]
have g'_lt_y : g' t < y := EReal.coe_lt_coe_iff.1 g'_lt_y'
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
g'_lt_y : g' t < y
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
[PROOFSTEP]
filter_upwards [(hderiv t ⟨ht.2.1, ht.2.2⟩).limsup_slope_le' (not_mem_Ioi.2 le_rfl) g'_lt_y, self_mem_nhdsWithin] with u
  hu t_lt_u
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
g'_lt_y : g' t < y
u : ℝ
hu : slope g t u < y
t_lt_u : u ∈ Ioi t
⊢ g u - g t ≤ (u - t) * y
[PROOFSTEP]
have := mul_le_mul_of_nonneg_left hu.le (sub_pos.2 t_lt_u.out).le
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
g'_lt_y : g' t < y
u : ℝ
hu : slope g t u < y
t_lt_u : u ∈ Ioi t
this : (u - t) * slope g t u ≤ (u - t) * y
⊢ g u - g t ≤ (u - t) * y
[PROOFSTEP]
rwa [← smul_eq_mul, sub_smul_slope] at this
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
have I3 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ w in t..u, (G' w).toReal := by
  filter_upwards [I1, I2] with u hu1 hu2 using hu2.trans hu1
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [I1, I2] with u hu1 hu2 using hu2.trans hu1
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
have I4 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (min v b) :=
  by
  refine' mem_nhdsWithin_Ioi_iff_exists_Ioc_subset.2 ⟨min v b, _, Subset.rfl⟩
  simp only [lt_min_iff, mem_Ioi]
  exact
    ⟨t_lt_v, ht.2.2⟩
      -- choose a point `x` slightly to the right of `t` which satisfies the above bound
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
⊢ ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
[PROOFSTEP]
refine' mem_nhdsWithin_Ioi_iff_exists_Ioc_subset.2 ⟨min v b, _, Subset.rfl⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
⊢ min v b ∈ Ioi t
[PROOFSTEP]
simp only [lt_min_iff, mem_Ioi]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
⊢ t < v ∧ t < b
[PROOFSTEP]
exact
  ⟨t_lt_v, ht.2.2⟩
    -- choose a point `x` slightly to the right of `t` which satisfies the above bound
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
rcases(I3.and I4).exists with
  ⟨x, hx, h'x⟩
    -- we check that it belongs to `s`, essentially by construction
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ Set.Nonempty ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ioc t v)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨x, _, Ioc_subset_Ioc le_rfl (min_le_left _ _) h'x⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ x ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
[PROOFSTEP]
calc
  g x - g a = g t - g a + (g x - g t) := by abel
  _ ≤ (∫ w in a..t, (G' w).toReal) + ∫ w in t..x, (G' w).toReal := (add_le_add ht.1 hx)
  _ = ∫ w in a..x, (G' w).toReal := by
    apply integral_add_adjacent_intervals
    · rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le ht.2.1]
      exact IntegrableOn.mono_set G'int (Ioc_subset_Icc_self.trans (Icc_subset_Icc le_rfl ht.2.2.le))
    · rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le h'x.1.le]
      apply IntegrableOn.mono_set G'int
      exact
        Ioc_subset_Icc_self.trans
          (Icc_subset_Icc ht.2.1 (h'x.2.trans (min_le_right _ _)))
            -- now that we know that `s` contains `[a, b]`, we get the desired result by applying this to `b`.
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ g x - g a = g t - g a + (g x - g t)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ g x - g a = g t - g a + (g x - g t)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ (∫ (w : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' w)) + ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w) =
    ∫ (w : ℝ) in a..x, EReal.toReal (G' w)
[PROOFSTEP]
apply integral_add_adjacent_intervals
[GOAL]
case hab
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => EReal.toReal (G' x)) volume a t
[PROOFSTEP]
rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le ht.2.1]
[GOAL]
case hab
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ IntegrableOn (fun x => EReal.toReal (G' x)) (Ioc a t)
[PROOFSTEP]
exact IntegrableOn.mono_set G'int (Ioc_subset_Icc_self.trans (Icc_subset_Icc le_rfl ht.2.2.le))
[GOAL]
case hbc
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => EReal.toReal (G' x)) volume t x
[PROOFSTEP]
rw [intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le h'x.1.le]
[GOAL]
case hbc
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ IntegrableOn (fun x => EReal.toReal (G' x)) (Ioc t x)
[PROOFSTEP]
apply IntegrableOn.mono_set G'int
[GOAL]
case hbc
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, EReal.toReal (G' w)
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[Ioi t] t, u ∈ Ioc t (min v b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, EReal.toReal (G' w)
h'x : x ∈ Ioc t (min v b)
⊢ Ioc t x ⊆ Icc a b
[PROOFSTEP]
exact
  Ioc_subset_Icc_self.trans
    (Icc_subset_Icc ht.2.1 (h'x.2.trans (min_le_right _ _)))
      -- now that we know that `s` contains `[a, b]`, we get the desired result by applying this to `b`.
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
⊢ g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
[PROOFSTEP]
calc
  g b - g a ≤ ∫ y in a..b, (G' y).toReal := main (right_mem_Icc.2 hab)
  _ ≤ (∫ y in a..b, φ y) + ε := by
    convert hG'.le <;>
      · rw [intervalIntegral.integral_of_le hab]
        simp only [integral_Icc_eq_integral_Ioc', Real.volume_singleton]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, EReal.toReal (G' y) ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε
[PROOFSTEP]
convert hG'.le
[GOAL]
case h.e'_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, EReal.toReal (G' y) = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x)
[PROOFSTEP]
rw [intervalIntegral.integral_of_le hab]
[GOAL]
case h.e'_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, EReal.toReal (G' x) = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x)
[PROOFSTEP]
simp only [integral_Icc_eq_integral_Ioc', Real.volume_singleton]
[GOAL]
case h.e'_4.h.e'_5
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x
[PROOFSTEP]
rw [intervalIntegral.integral_of_le hab]
[GOAL]
case h.e'_4.h.e'_5
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ico a b → g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable fun x => EReal.toReal (G' x)
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, EReal.toReal (G' x) < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, EReal.toReal (G' u)}
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, φ x = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x
[PROOFSTEP]
simp only [integral_Icc_eq_integral_Ioc', Real.volume_singleton]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
obtain rfl | a_lt_b := hab.eq_or_lt
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a : ℝ
hab : a ≤ a
hcont : ContinuousOn g (Icc a a)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a a → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a a)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a a → g' x ≤ φ x
⊢ g a - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..a, φ y
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
set s := {t | g b - g t ≤ ∫ u in t..b, φ u} ∩ Icc a b
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
have s_closed : IsClosed s :=
  by
  have : ContinuousOn (fun t => (g b - g t, ∫ u in t..b, φ u)) (Icc a b) :=
    by
    rw [← uIcc_of_le hab] at hcont φint ⊢
    exact (continuousOn_const.sub hcont).prod (continuousOn_primitive_interval_left φint)
  simp only [inter_comm]
  exact this.preimage_closed_of_closed isClosed_Icc isClosed_le_prod
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
⊢ IsClosed s
[PROOFSTEP]
have : ContinuousOn (fun t => (g b - g t, ∫ u in t..b, φ u)) (Icc a b) :=
  by
  rw [← uIcc_of_le hab] at hcont φint ⊢
  exact (continuousOn_const.sub hcont).prod (continuousOn_primitive_interval_left φint)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
⊢ ContinuousOn (fun t => (g b - g t, ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u)) (Icc a b)
[PROOFSTEP]
rw [← uIcc_of_le hab] at hcont φint ⊢
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ [[a, b]]
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
⊢ ContinuousOn (fun t => (g b - g t, ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u)) [[a, b]]
[PROOFSTEP]
exact (continuousOn_const.sub hcont).prod (continuousOn_primitive_interval_left φint)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
this : ContinuousOn (fun t => (g b - g t, ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u)) (Icc a b)
⊢ IsClosed s
[PROOFSTEP]
simp only [inter_comm]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
this : ContinuousOn (fun t => (g b - g t, ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u)) (Icc a b)
⊢ IsClosed (Icc a b ∩ {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u})
[PROOFSTEP]
exact this.preimage_closed_of_closed isClosed_Icc isClosed_le_prod
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
have A : closure (Ioc a b) ⊆ s := by
  apply s_closed.closure_subset_iff.2
  intro t ht
  refine' ⟨_, ⟨ht.1.le, ht.2⟩⟩
  exact
    sub_le_integral_of_hasDeriv_right_of_le_Ico ht.2 (hcont.mono (Icc_subset_Icc ht.1.le le_rfl))
      (fun x hx => hderiv x ⟨ht.1.trans_le hx.1, hx.2⟩) (φint.mono_set (Icc_subset_Icc ht.1.le le_rfl)) fun x hx =>
      hφg x ⟨ht.1.trans_le hx.1, hx.2⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ closure (Ioc a b) ⊆ s
[PROOFSTEP]
apply s_closed.closure_subset_iff.2
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
⊢ Ioc a b ⊆ s
[PROOFSTEP]
intro t ht
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc a b
⊢ t ∈ s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, ⟨ht.1.le, ht.2⟩⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc a b
⊢ t ∈ {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u}
[PROOFSTEP]
exact
  sub_le_integral_of_hasDeriv_right_of_le_Ico ht.2 (hcont.mono (Icc_subset_Icc ht.1.le le_rfl))
    (fun x hx => hderiv x ⟨ht.1.trans_le hx.1, hx.2⟩) (φint.mono_set (Icc_subset_Icc ht.1.le le_rfl)) fun x hx =>
    hφg x ⟨ht.1.trans_le hx.1, hx.2⟩
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
A : closure (Ioc a b) ⊆ s
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
rw [closure_Ioc a_lt_b.ne] at A
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
A : Icc a b ⊆ s
⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
exact (A (left_mem_Icc.2 hab)).1
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → φ x ≤ g' x
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y ≤ g b - g a
[PROOFSTEP]
rw [← neg_le_neg_iff]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) ≤ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
[PROOFSTEP]
convert
  sub_le_integral_of_hasDeriv_right_of_le hab hcont.neg (fun x hx => (hderiv x hx).neg) φint.neg fun x hx =>
    neg_le_neg (hφg x hx) using
  1
[GOAL]
case h.e'_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) = -g b - -g a
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h.e'_3
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → φ x ≤ g' x
⊢ -(g b - g a) = -g b - -g a
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → φ x ≤ g' x
⊢ -∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y
[PROOFSTEP]
simp only [← integral_neg]
[GOAL]
case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b)
hφg : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → φ x ≤ g' x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, -φ x = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
f'int : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
refine' (NormedSpace.eq_iff_forall_dual_eq ℝ).2 fun g => _
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
f'int : IntervalIntegrable f' volume a b
g : NormedSpace.Dual ℝ E
⊢ ↑g (∫ (y : ℝ) in a..b, f' y) = ↑g (f b - f a)
[PROOFSTEP]
rw [← g.intervalIntegral_comp_comm f'int, g.map_sub]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
f'int : IntervalIntegrable f' volume a b
g : NormedSpace.Dual ℝ E
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑g (f' x) = ↑g (f b) - ↑g (f a)
[PROOFSTEP]
exact
  integral_eq_sub_of_hasDeriv_right_of_le_real hab (g.continuous.comp_continuousOn hcont)
    (fun x hx => g.hasFDerivAt.comp_hasDerivWithinAt x (hderiv x hx))
    (g.integrable_comp ((intervalIntegrable_iff_integrable_Icc_of_le hab).1 f'int))
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
cases' le_total a b with hab hab
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
simp only [uIcc_of_le, min_eq_left, max_eq_right, hab] at hcont hderiv hint
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
apply integral_eq_sub_of_hasDeriv_right_of_le hab hcont hderiv hint
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
simp only [uIcc_of_ge, min_eq_right, max_eq_left, hab] at hcont hderiv
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
hcont : ContinuousOn f (Icc b a)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo b a → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
rw [integral_symm, integral_eq_sub_of_hasDeriv_right_of_le hab hcont hderiv hint.symm, neg_sub]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
[PROOFSTEP]
set F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
[PROOFSTEP]
have Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x :=
  by
  refine' fun x hx => (hderiv x hx).congr_of_eventuallyEq _
  filter_upwards [Ioo_mem_nhds hx.1 hx.2] with _ hy
  rw [update_noteq hy.2.ne, update_noteq hy.1.ne']
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
[PROOFSTEP]
refine' fun x hx => (hderiv x hx).congr_of_eventuallyEq _
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ F =ᶠ[𝓝 x] f
[PROOFSTEP]
filter_upwards [Ioo_mem_nhds hx.1 hx.2] with _ hy
[GOAL]
case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
hy : a✝ ∈ Ioo a b
⊢ update (update f a fa) b fb a✝ = f a✝
[PROOFSTEP]
rw [update_noteq hy.2.ne, update_noteq hy.1.ne']
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
[PROOFSTEP]
have hcont : ContinuousOn F (Icc a b) :=
  by
  rw [continuousOn_update_iff, continuousOn_update_iff, Icc_diff_right, Ico_diff_left]
  refine' ⟨⟨fun z hz => (hderiv z hz).continuousAt.continuousWithinAt, _⟩, _⟩
  · exact fun _ => ha.mono_left (nhdsWithin_mono _ Ioo_subset_Ioi_self)
  · rintro -
    refine' (hb.congr' _).mono_left (nhdsWithin_mono _ Ico_subset_Iio_self)
    filter_upwards [Ioo_mem_nhdsWithin_Iio (right_mem_Ioc.2 hab)] with _ hz using (update_noteq hz.1.ne' _ _).symm
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ ContinuousOn F (Icc a b)
[PROOFSTEP]
rw [continuousOn_update_iff, continuousOn_update_iff, Icc_diff_right, Ico_diff_left]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ (ContinuousOn f (Ioo a b) ∧ (a ∈ Ico a b → Tendsto f (𝓝[Ioo a b] a) (𝓝 fa))) ∧
    (b ∈ Icc a b → Tendsto (update f a fa) (𝓝[Ico a b] b) (𝓝 fb))
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨fun z hz => (hderiv z hz).continuousAt.continuousWithinAt, _⟩, _⟩
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ a ∈ Ico a b → Tendsto f (𝓝[Ioo a b] a) (𝓝 fa)
[PROOFSTEP]
exact fun _ => ha.mono_left (nhdsWithin_mono _ Ioo_subset_Ioi_self)
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ b ∈ Icc a b → Tendsto (update f a fa) (𝓝[Ico a b] b) (𝓝 fb)
[PROOFSTEP]
rintro -
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ Tendsto (update f a fa) (𝓝[Ico a b] b) (𝓝 fb)
[PROOFSTEP]
refine' (hb.congr' _).mono_left (nhdsWithin_mono _ Ico_subset_Iio_self)
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
⊢ f =ᶠ[𝓝[Iio b] b] update f a fa
[PROOFSTEP]
filter_upwards [Ioo_mem_nhdsWithin_Iio (right_mem_Ioc.2 hab)] with _ hz using (update_noteq hz.1.ne' _ _).symm
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[Iio b] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt F (f' x) x
hcont : ContinuousOn F (Icc a b)
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
[PROOFSTEP]
simpa [hab.ne, hab.ne'] using integral_eq_sub_of_hasDerivAt_of_le hab.le hcont Fderiv hint
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
[PROOFSTEP]
rw [← hderiv, integral_deriv_eq_sub hdiff]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable (deriv f) volume a b
[PROOFSTEP]
rw [hderiv]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hderiv : deriv f = f'
hdiff : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → DifferentiableAt ℝ f x
hcont : ContinuousOn f' [[a, b]]
⊢ IntervalIntegrable f' volume a b
[PROOFSTEP]
exact hcont.intervalIntegrable
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b)
[PROOFSTEP]
by_cases hab : a < b
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b)
case neg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : ¬a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b)
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : ¬a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b)
[PROOFSTEP]
simp [Ioc_eq_empty hab]
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b)
[PROOFSTEP]
rw [integrableOn_Ioc_iff_integrableOn_Ioo]
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ IntegrableOn g' (Ioo a b)
[PROOFSTEP]
have meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b)) :=
  by
  apply (aemeasurable_derivWithin_Ioi g _).congr
  refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioo).mono fun x hx => _
  exact (hderiv x hx).derivWithin (uniqueDiffWithinAt_Ioi _)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ AEMeasurable g'
[PROOFSTEP]
apply (aemeasurable_derivWithin_Ioi g _).congr
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
⊢ (fun x => derivWithin g (Ioi x) x) =ᵐ[Measure.restrict volume (Ioo a b)] g'
[PROOFSTEP]
refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioo).mono fun x hx => _
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ (fun x => derivWithin g (Ioi x) x) x = g' x
[PROOFSTEP]
exact (hderiv x hx).derivWithin (uniqueDiffWithinAt_Ioi _)
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
⊢ IntegrableOn g' (Ioo a b)
[PROOFSTEP]
suffices H : (∫⁻ x in Ioo a b, ‖g' x‖₊) ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)
[GOAL]
case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊ ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)
⊢ IntegrableOn g' (Ioo a b)
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊ ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)
[PROOFSTEP]
exact ⟨meas_g'.aestronglyMeasurable, H.trans_lt ENNReal.ofReal_lt_top⟩
[GOAL]
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊ ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)
[PROOFSTEP]
by_contra' H
[GOAL]
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
⊢ False
[PROOFSTEP]
obtain ⟨f, fle, fint, hf⟩ :
  ∃ f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0,
    (∀ x, f x ≤ ‖g' x‖₊) ∧ (∫⁻ x : ℝ in Ioo a b, f x) < ∞ ∧ ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ x : ℝ in Ioo a b, f x :=
  exists_lt_lintegral_simpleFunc_of_lt_lintegral H
[GOAL]
case H.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
⊢ False
[PROOFSTEP]
let F : ℝ → ℝ := (↑) ∘ f
[GOAL]
case H.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
⊢ False
[PROOFSTEP]
have intF : IntegrableOn F (Ioo a b) :=
  by
  refine' ⟨f.measurable.coe_nnreal_real.aestronglyMeasurable, _⟩
  simpa only [HasFiniteIntegral, comp_apply, NNReal.nnnorm_eq] using fint
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
⊢ IntegrableOn F (Ioo a b)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨f.measurable.coe_nnreal_real.aestronglyMeasurable, _⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
⊢ HasFiniteIntegral F
[PROOFSTEP]
simpa only [HasFiniteIntegral, comp_apply, NNReal.nnnorm_eq] using fint
[GOAL]
case H.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
⊢ False
[PROOFSTEP]
have A : ∫⁻ x : ℝ in Ioo a b, f x = ENNReal.ofReal (∫ x in Ioo a b, F x) := lintegral_coe_eq_integral _ intF
[GOAL]
case H.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [A] at hf
[GOAL]
case H.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
⊢ False
[PROOFSTEP]
have B : (∫ x : ℝ in Ioo a b, F x) ≤ g b - g a :=
  by
  rw [← integral_Ioc_eq_integral_Ioo, ← intervalIntegral.integral_of_le hab.le]
  refine integral_le_sub_of_hasDeriv_right_of_le hab.le hcont hderiv ?_ fun x hx => ?_
  · rwa [integrableOn_Icc_iff_integrableOn_Ioo]
  · convert NNReal.coe_le_coe.2 (fle x)
    simp only [Real.norm_of_nonneg (g'pos x hx), coe_nnnorm]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x ≤ g b - g a
[PROOFSTEP]
rw [← integral_Ioc_eq_integral_Ioo, ← intervalIntegral.integral_of_le hab.le]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, F x ≤ g b - g a
[PROOFSTEP]
refine integral_le_sub_of_hasDeriv_right_of_le hab.le hcont hderiv ?_ fun x hx => ?_
[GOAL]
case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
⊢ IntegrableOn (fun x => F x) (Icc a b)
[PROOFSTEP]
rwa [integrableOn_Icc_iff_integrableOn_Ioo]
[GOAL]
case refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ F x ≤ g' x
[PROOFSTEP]
convert NNReal.coe_le_coe.2 (fle x)
[GOAL]
case h.e'_4
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ g' x = ↑‖g' x‖₊
[PROOFSTEP]
simp only [Real.norm_of_nonneg (g'pos x hx), coe_nnnorm]
[GOAL]
case H.intro.intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f✝ f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g'
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
intF : IntegrableOn F (Ioo a b)
A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)
B : ∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x ≤ g b - g a
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact lt_irrefl _ (hf.trans_le (ENNReal.ofReal_le_ofReal B))
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → 0 ≤ g' x
⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
[PROOFSTEP]
cases' le_total a b with hab hab
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → 0 ≤ g' x
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
[PROOFSTEP]
simp only [uIcc_of_le, min_eq_left, max_eq_right, hab, IntervalIntegrable, hab, Ioc_eq_empty_of_le, integrableOn_empty,
  and_true_iff] at hcont hderiv hpos ⊢
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo a b → 0 ≤ g' x
⊢ IntegrableOn g' (Ioc a b)
[PROOFSTEP]
exact integrableOn_deriv_of_nonneg hcont hderiv hpos
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → 0 ≤ g' x
hab : b ≤ a
⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
[PROOFSTEP]
simp only [uIcc_of_ge, min_eq_right, max_eq_left, hab, IntervalIntegrable, Ioc_eq_empty_of_le, integrableOn_empty,
  true_and_iff] at hcont hderiv hpos ⊢
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hab : b ≤ a
hcont : ContinuousOn g (Icc b a)
hderiv : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo b a → HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo b a → 0 ≤ g' x
⊢ IntegrableOn g' (Ioc b a)
[PROOFSTEP]
exact integrableOn_deriv_of_nonneg hcont hderiv hpos
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a b : ℝ
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x
[PROOFSTEP]
rw [← integral_deriv_mul_eq_sub hu hv hu' hv', ← integral_sub]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a b : ℝ
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x - u' x * v x
[PROOFSTEP]
exact integral_congr fun x _ => by simp only [add_sub_cancel']
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a b : ℝ
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
x : ℝ
x✝ : x ∈ [[a, b]]
⊢ u x * v' x = u' x * v x + u x * v' x - u' x * v x
[PROOFSTEP]
simp only [add_sub_cancel']
[GOAL]
case hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a b : ℝ
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => u' x * v x + u x * v' x) volume a b
[PROOFSTEP]
exact (hu'.mul_continuousOn (HasDerivAt.continuousOn hv)).add (hv'.continuousOn_mul (HasDerivAt.continuousOn hu))
[GOAL]
case hg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a b : ℝ
u v u' v' : ℝ → A
hu : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt v (v' x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => u' x * v x) volume a b
[PROOFSTEP]
exact hu'.mul_continuousOn (HasDerivAt.continuousOn hv)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]])
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
rw [hf.image_uIcc, ← intervalIntegrable_iff'] at hg1
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
have h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ t in f a..f u, g t) [[a, b]] :=
  by
  refine' (continuousOn_primitive_interval' hg1 _).comp hf _
  · rw [← hf.image_uIcc]; exact mem_image_of_mem f left_mem_uIcc
  · rw [← hf.image_uIcc]; exact mapsTo_image _ _
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
[PROOFSTEP]
refine' (continuousOn_primitive_interval' hg1 _).comp hf _
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ f a ∈ [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
[PROOFSTEP]
rw [← hf.image_uIcc]
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ f a ∈ f '' [[a, b]]
[PROOFSTEP]
exact mem_image_of_mem f left_mem_uIcc
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ MapsTo (fun u => f u) [[a, b]] [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
[PROOFSTEP]
rw [← hf.image_uIcc]
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ MapsTo (fun u => f u) [[a, b]] (f '' [[a, b]])
[PROOFSTEP]
exact mapsTo_image _ _
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
have h_der :
  ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt (fun u => ∫ t in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x :=
  by
  intro x hx
  obtain ⟨c, hc⟩ := nonempty_Ioo.mpr hx.1
  obtain ⟨d, hd⟩ := nonempty_Ioo.mpr hx.2
  have cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b) :=
    by
    rw [uIcc_of_le (hc.2.trans hd.1).le]
    exact Icc_subset_Ioo hc.1 hd.2
  replace hg_cont := hg_cont.mono (image_subset f cdsub)
  let J := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
  have hJ : f '' [[c, d]] = J := (hf.mono (cdsub.trans Ioo_subset_Icc_self)).image_uIcc
  rw [hJ] at hg_cont
  have h2x : f x ∈ J := by rw [← hJ]; exact mem_image_of_mem _ (mem_uIcc_of_le hc.2.le hd.1.le)
  have h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x) :=
    by
    refine' hg1.mono_set _
    rw [← hf.image_uIcc]
    exact hf.surjOn_uIcc left_mem_uIcc (Ioo_subset_Icc_self hx)
  have h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x) :=
    hg_cont.stronglyMeasurableAtFilter_nhdsWithin measurableSet_Icc (f x)
  haveI : Fact (f x ∈ J) := ⟨h2x⟩
  have : HasDerivWithinAt (fun u => ∫ x in f a..u, g x) (g (f x)) J (f x) :=
    intervalIntegral.integral_hasDerivWithinAt_right h2g h3g (hg_cont (f x) h2x)
  refine' (this.scomp x ((hff' x hx).Ioo_of_Ioi hd.1) _).Ioi_of_Ioo hd.1
  rw [← hJ]
  refine' (mapsTo_image _ _).mono _ Subset.rfl
  exact Ioo_subset_Icc_self.trans ((Icc_subset_Icc_left hc.2.le).trans Icc_subset_uIcc)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
⊢ ∀ (x : ℝ),
    x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, hc⟩ := nonempty_Ioo.mpr hx.1
[GOAL]
case intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨d, hd⟩ := nonempty_Ioo.mpr hx.2
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
have cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b) :=
  by
  rw [uIcc_of_le (hc.2.trans hd.1).le]
  exact Icc_subset_Ioo hc.1 hd.2
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
⊢ [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
[PROOFSTEP]
rw [uIcc_of_le (hc.2.trans hd.1).le]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
⊢ Icc c d ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
[PROOFSTEP]
exact Icc_subset_Ioo hc.1 hd.2
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
replace hg_cont := hg_cont.mono (image_subset f cdsub)
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
hg_cont : ContinuousOn g (f '' [[c, d]])
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
let J := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
hg_cont : ContinuousOn g (f '' [[c, d]])
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
have hJ : f '' [[c, d]] = J := (hf.mono (cdsub.trans Ioo_subset_Icc_self)).image_uIcc
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
hg_cont : ContinuousOn g (f '' [[c, d]])
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hJ : f '' [[c, d]] = J
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
rw [hJ] at hg_cont
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
have h2x : f x ∈ J := by rw [← hJ]; exact mem_image_of_mem _ (mem_uIcc_of_le hc.2.le hd.1.le)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
⊢ f x ∈ J
[PROOFSTEP]
rw [← hJ]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
⊢ f x ∈ f '' [[c, d]]
[PROOFSTEP]
exact mem_image_of_mem _ (mem_uIcc_of_le hc.2.le hd.1.le)
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
have h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x) :=
  by
  refine' hg1.mono_set _
  rw [← hf.image_uIcc]
  exact hf.surjOn_uIcc left_mem_uIcc (Ioo_subset_Icc_self hx)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
⊢ IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
[PROOFSTEP]
refine' hg1.mono_set _
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
⊢ [[f a, f x]] ⊆ [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
[PROOFSTEP]
rw [← hf.image_uIcc]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
⊢ [[f a, f x]] ⊆ f '' [[a, b]]
[PROOFSTEP]
exact hf.surjOn_uIcc left_mem_uIcc (Ioo_subset_Icc_self hx)
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
have h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x) :=
  hg_cont.stronglyMeasurableAtFilter_nhdsWithin measurableSet_Icc (f x)
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
haveI : Fact (f x ∈ J) := ⟨h2x⟩
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x)
this : Fact (f x ∈ J)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
have : HasDerivWithinAt (fun u => ∫ x in f a..u, g x) (g (f x)) J (f x) :=
  intervalIntegral.integral_hasDerivWithinAt_right h2g h3g (hg_cont (f x) h2x)
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x)
this✝ : Fact (f x ∈ J)
this : HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in f a..u, g x) (g (f x)) J (f x)
⊢ HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
[PROOFSTEP]
refine' (this.scomp x ((hff' x hx).Ioo_of_Ioi hd.1) _).Ioi_of_Ioo hd.1
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x)
this✝ : Fact (f x ∈ J)
this : HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in f a..u, g x) (g (f x)) J (f x)
⊢ MapsTo f (Ioo x d) J
[PROOFSTEP]
rw [← hJ]
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x)
this✝ : Fact (f x ∈ J)
this : HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in f a..u, g x) (g (f x)) J (f x)
⊢ MapsTo f (Ioo x d) (f '' [[c, d]])
[PROOFSTEP]
refine' (mapsTo_image _ _).mono _ Subset.rfl
[GOAL]
case intro.intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (min a b) (max a b)
c : ℝ
hc : c ∈ Ioo (min a b) x
d : ℝ
hd : d ∈ Ioo x (max a b)
cdsub : [[c, d]] ⊆ Ioo (min a b) (max a b)
J : Set ℝ := [[sInf (f '' [[c, d]]), sSup (f '' [[c, d]])]]
hg_cont : ContinuousOn g J
hJ : f '' [[c, d]] = J
h2x : f x ∈ J
h2g : IntervalIntegrable g volume (f a) (f x)
h3g : StronglyMeasurableAtFilter g (𝓝[J] f x)
this✝ : Fact (f x ∈ J)
this : HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in f a..u, g x) (g (f x)) J (f x)
⊢ Ioo x d ⊆ [[c, d]]
[PROOFSTEP]
exact Ioo_subset_Icc_self.trans ((Icc_subset_Icc_left hc.2.le).trans Icc_subset_uIcc)
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
h_der :
  ∀ (x : ℝ),
    x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
rw [← intervalIntegrable_iff'] at hg2
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntervalIntegrable (fun x => f' x • (g ∘ f) x) volume a b
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
h_der :
  ∀ (x : ℝ),
    x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
simp_rw [integral_eq_sub_of_hasDeriv_right h_cont h_der hg2, integral_same, sub_zero]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
refine'
  integral_comp_smul_deriv''' hf hff' (hg.mono <| image_subset _ Ioo_subset_Icc_self) _
    (hf'.smul (hg.comp hf <| subset_preimage_image f _)).integrableOn_Icc
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ IntegrableOn g (f '' [[a, b]])
[PROOFSTEP]
rw [hf.image_uIcc] at hg ⊢
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
⊢ IntegrableOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]
[PROOFSTEP]
exact hg.integrableOn_Icc
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)) → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g' ∘ f) x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
[PROOFSTEP]
rw [integral_comp_smul_deriv'' hf hff' hf' hg',
  integral_eq_sub_of_hasDeriv_right hg hgg' (hg'.mono _).intervalIntegrable]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)) → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ g (f b) - g (f a) = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)) → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ [[f a, f b]] ⊆ f '' [[a, b]]
[PROOFSTEP]
exacts [rfl, intermediate_value_uIcc hf]
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]])
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
have hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] := by simpa [mul_comm] using hg2
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]])
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]]
⊢ IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
[PROOFSTEP]
simpa [mul_comm] using hg2
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]])
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]]
hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]]
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
simpa [mul_comm] using integral_comp_smul_deriv''' hf hff' hg_cont hg1 hg2'
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
[PROOFSTEP]
simpa [mul_comm] using integral_comp_smul_deriv'' hf hff' hf' hg
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
h : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt f (f' x) x
h' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (x : ℝ) in f a..f b, g x
[PROOFSTEP]
simpa [mul_comm] using integral_comp_smul_deriv' h h' hg
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min a b) (max a b) → HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ (x : ℝ), x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)) → HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
[PROOFSTEP]
simpa [mul_comm] using integral_deriv_comp_smul_deriv' hf hff' hf' hg hgg' hg'
[GOAL]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt f (f' x) x
hg : ∀ (x : ℝ), x ∈ [[a, b]] → HasDerivAt g (g' (f x)) (f x)
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg' : Continuous g'
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
[PROOFSTEP]
simpa [mul_comm] using integral_deriv_comp_smul_deriv hf hg hf' hg'