[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : a * ↑u = 0
⊢ a = 0
[PROOFSTEP]
simpa using mul_eq_zero_of_left h ↑u⁻¹
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : ↑u * a = 0
⊢ a = 0
[PROOFSTEP]
simpa using mul_eq_zero_of_right (↑u⁻¹) h
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x✝ : IsUnit 0
a : M₀
a0 : 0 * a = 1
inv_val✝ : a * 0 = 1
⊢ 0 = 1
[PROOFSTEP]
rwa [zero_mul] at a0
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ inverse ↑u = ↑u⁻¹
[PROOFSTEP]
rw [inverse, dif_pos u.isUnit, IsUnit.unit_of_val_units]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x : M₀
h : IsUnit x
⊢ x * inverse x = 1
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨u, rfl⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ ↑u * inverse ↑u = 1
[PROOFSTEP]
rw [inverse_unit, Units.mul_inv]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x : M₀
h : IsUnit x
⊢ inverse x * x = 1
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨u, rfl⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ inverse ↑u * ↑u = 1
[PROOFSTEP]
rw [inverse_unit, Units.inv_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ y * x * inverse x = y
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc, mul_inverse_cancel x h, mul_one]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ y * inverse x * x = y
[PROOFSTEP]
rw [mul_assoc, inverse_mul_cancel x h, mul_one]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ x * (inverse x * y) = y
[PROOFSTEP]
rw [← mul_assoc, mul_inverse_cancel x h, one_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
⊢ inverse x * (x * y) = y
[PROOFSTEP]
rw [← mul_assoc, inverse_mul_cancel x h, one_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : inverse x * y = z
⊢ y = x * z
[PROOFSTEP]
rw [← h1, mul_inverse_cancel_left _ _ h]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : y = x * z
⊢ inverse x * y = z
[PROOFSTEP]
rw [h1, inverse_mul_cancel_left _ _ h]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x = y * inverse z
⊢ x * z = y
[PROOFSTEP]
rw [h1, inverse_mul_cancel_right _ _ h]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x * z = y
⊢ x = y * inverse z
[PROOFSTEP]
rw [← h1, mul_inverse_cancel_right _ _ h]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
⊢ inverse 0 = 0
[PROOFSTEP]
nontriviality
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
✝ : Nontrivial M₀
⊢ inverse 0 = 0
[PROOFSTEP]
exact inverse_non_unit _ not_isUnit_zero
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
⊢ IsUnit a
[PROOFSTEP]
cases subsingleton_or_nontrivial M₀
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
h✝ : Subsingleton M₀
⊢ IsUnit a
[PROOFSTEP]
convert h
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
h✝ : Nontrivial M₀
⊢ IsUnit a
[PROOFSTEP]
contrapose h
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h✝ : Nontrivial M₀
h : ¬IsUnit a
⊢ ¬IsUnit (Ring.inverse a)
[PROOFSTEP]
rw [Ring.inverse_non_unit _ h]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h✝ : Nontrivial M₀
h : ¬IsUnit a
⊢ ¬IsUnit 0
[PROOFSTEP]
exact not_isUnit_zero
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : optParam (1 ≠ 0) (_ : 1 ≠ 0)
⊢ mk0 1 h = 1
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case a
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
h : optParam (1 ≠ 0) (_ : 1 ≠ 0)
⊢ ↑(mk0 1 h) = ↑1
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b✝ a b : G₀
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : mk0 a ha = mk0 b hb
⊢ a = b
[PROOFSTEP]
injection h
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
p : (g : G₀) → g ≠ 0 → Prop
⊢ (∃ g hg, p g hg) ↔ ∃ g hg, p ↑(mk0 g hg) (_ : ↑(mk0 g hg) ≠ 0)
[PROOFSTEP]
simp_rw [val_mk0]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b x : G₀
⊢ (∃ u, ↑u = x) ↔ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp [exists0]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b a : G₀
⊢ a = 0 ∨ ∃ u, a = ↑u
[PROOFSTEP]
by_cases h : a = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b a : G₀
h : a = 0
⊢ a = 0 ∨ ∃ u, a = ↑u
[PROOFSTEP]
left
[GOAL]
case pos.h
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b a : G₀
h : a = 0
⊢ a = 0
[PROOFSTEP]
exact h
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b a : G₀
h : ¬a = 0
⊢ a = 0 ∨ ∃ u, a = ↑u
[PROOFSTEP]
right
[GOAL]
case neg.h
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b a : G₀
h : ¬a = 0
⊢ ∃ u, a = ↑u
[PROOFSTEP]
simpa only [eq_comm] using Units.exists_iff_ne_zero.mpr h
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b✝ c : G₀
src✝ : GroupWithZero G₀ := inst✝
a b : G₀
h : a * b = 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0
[PROOFSTEP]
contrapose! h
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b✝ c : G₀
src✝ : GroupWithZero G₀ := inst✝
a b : G₀
h : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
⊢ a * b ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact (Units.mk0 a h.1 * Units.mk0 b h.2).ne_zero
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c x y : G₀
hxy : x * y ≠ 0
⊢ mk0 (x * y) hxy = mk0 x (_ : x ≠ 0) * mk0 y (_ : y ≠ 0)
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case a
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c x y : G₀
hxy : x * y ≠ 0
⊢ ↑(mk0 (x * y) hxy) = ↑(mk0 x (_ : x ≠ 0) * mk0 y (_ : y ≠ 0))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a / b ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_mul_inv]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ a * b⁻¹ ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact mul_ne_zero ha (inv_ne_zero hb)
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
⊢ a / b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
[PROOFSTEP]
simp [div_eq_mul_inv]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
⊢ inverse a = a⁻¹
[PROOFSTEP]
obtain rfl | ha := eq_or_ne a 0
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
⊢ inverse 0 = 0⁻¹
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
ha : a ≠ 0
⊢ inverse a = a⁻¹
[PROOFSTEP]
exact Ring.inverse_unit (Units.mk0 a ha)
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_8
inst✝ : Nontrivial M
hM : MonoidWithZero M
h : ∀ (a : M), IsUnit a ∨ a = 0
a : M
h0 : a ≠ 0
⊢ a * a⁻¹ = 1
[PROOFSTEP]
change (a * if h0 : a = 0 then 0 else ↑((h a).resolve_right h0).unit⁻¹) = 1
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_8
inst✝ : Nontrivial M
hM : MonoidWithZero M
h : ∀ (a : M), IsUnit a ∨ a = 0
a : M
h0 : a ≠ 0
⊢ (a * if h0 : a = 0 then 0 else ↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit a))⁻¹) = 1
[PROOFSTEP]
rw [dif_neg h0, Units.mul_inv_eq_iff_eq_mul, one_mul, IsUnit.unit_spec]