[STATEMENT]
lemma (in Corps) value_mI_gen:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (nsum K (\<lambda>k. ((Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>))) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (case_tac "j = n", simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac nsum_suc[of K "\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
        mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>" "n - Suc 0"],
        simp,
        thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
               mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
               mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
                n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus>
     Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "n" "n - Suc 0" "P"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> n \<le> Suc (n - Suc 0)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
prefer 2
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> n \<le> Suc (n - Suc 0)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
prefer 2
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"
 "(Zl_mI K P I n)\<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)"
 "nsum K (\<lambda>k.(Zl_mI K P I k)\<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) (n - Suc 0)"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr3)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule Ring.ring_is_ag[of K])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); aGroup K\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule aGroup.nsum_mem[of _ "n - Suc 0"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); aGroup K\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); aGroup K; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ja \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr3)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I n \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + 0 < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:aadd_0_r)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I \<and> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (erule conjE)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac f = "\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r
       (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" in
       value_ge_add[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>" "n - Suc 0" _
      "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> \<circ> (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) j
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ja \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> \<circ> (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) j
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (6 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ja \<in> carrier K
 2. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> \<circ> (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) j
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 6. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> \<circ> (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) j
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> \<circ> (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) j
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> \<circ> (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) ja
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:cmp_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_t2p [where v="\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (6 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ja \<in> carrier K
 2. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 6. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac e = "K_gamma ja" in mprod_mem[of n  _  "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (6 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n. \<gamma>\<^bsub>ja j\<^esub> \<in> Zset
 2. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}
 3. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K - {\<zero>}\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 6. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zset_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}
 2. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K - {\<zero>}\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K - {\<zero>}\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>", THEN sym], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (6 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K - {\<zero>}\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K
 2. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K - {\<zero>}\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>
 3. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K - {\<zero>}\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + m_zmax_pdsI K n P I *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 6. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp+
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K \<and> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + m_zmax_pdsI K n P I *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst mgenerator2Tr1[of "n" "n" _ "P"], assumption+, simp, simp,
        assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K \<and> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + m_zmax_pdsI K n P I *\<^sub>a ((\<gamma>\<^bsub>ja n\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>n n\<^esub>))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K \<and> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> (ja = n \<longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I + m_zmax_pdsI K n P I *\<^sub>a ant 0) \<and> (ja \<noteq> n \<longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + ant (m_zmax_pdsI K n P I))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac l = ja in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "n"],
        assumption+, simp, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K \<and> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>; 0 \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (ja = n \<longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I + m_zmax_pdsI K n P I *\<^sub>a ant 0) \<and> (ja \<noteq> n \<longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + ant (m_zmax_pdsI K n P I))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Nset_preTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K \<and> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>; 0 \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja)\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac y = "(\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) (Zl_mI K P I ja)" in
  aadd_le_mono[of "0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<in> carrier K \<and> mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n \<noteq> \<zero>; 0 \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja); 0 + ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I ja) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:aadd_0_l)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) < (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule aless_le_trans[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I"
                           "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:m_zmax_pdsI_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac aless_zless[of "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I)"
                   "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (ant (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I)) < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) < m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (ant (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I)) < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I"], simp add:ant_tna)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst LI_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>u.(tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>; \<forall>j\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>u. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P u\<^esub> ` I)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 5. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>; ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P ja\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>); Zl_mI K P I n \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zset_def, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I n \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P" "m_zmax_pdsI K n P I"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) + 0 = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:aadd_0_r)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); Ring K; aGroup K; j = n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) (Zl_mI K P I n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
(*** case j = n done ***)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule aGroup.addition3[of "K" "n - Suc 0" "\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r
((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>)" "j"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>Suc (n - Suc 0). Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<le> Suc (n - Suc 0)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<noteq> Suc (n - Suc 0)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) Suc (n - Suc 0) = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j Suc (n - Suc 0)\<^esub>) Suc (n - Suc 0)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>j\<le>n. Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<le> Suc (n - Suc 0)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<noteq> Suc (n - Suc 0)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) Suc (n - Suc 0) = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j Suc (n - Suc 0)\<^esub>) Suc (n - Suc 0)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ja \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ja) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<le> Suc (n - Suc 0)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<noteq> Suc (n - Suc 0)
 4. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) Suc (n - Suc 0) = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j Suc (n - Suc 0)\<^esub>) Suc (n - Suc 0)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr3)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<le> Suc (n - Suc 0)
 2. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<noteq> Suc (n - Suc 0)
 3. \<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) Suc (n - Suc 0) = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j Suc (n - Suc 0)\<^esub>) Suc (n - Suc 0)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp+
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
            mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac nsum_suc[of K "cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)" "n - Suc 0"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) Suc (n - Suc 0) = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (Suc (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp del:nsum_suc)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n = \<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (
        thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
        mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>))
         (n - Suc 0) \<plusminus>  (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "j" "n - Suc 0" "P"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<le> Suc (n - Suc 0)
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
[PROOF STEP]
prefer 2
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> j \<le> Suc (n - Suc 0)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
[PROOF STEP]
prefer 2
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> distinct_pds K (Suc (n - Suc 0)) P
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) (n - Suc 0) \<plusminus> cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:cmp_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac n_in_Nsetn[of "n"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); n \<in> {i. i \<le> n}\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) n)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:transpos_ij_2)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus> Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"
 "(Zl_mI K P I j) \<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
  n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x.(Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) \<cdot>\<^sub>r
 (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) (n - Suc 0)"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr3)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule aGroup.nsum_mem[of "K" "n - Suc 0"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>ja\<le>n - Suc 0. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr3)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I j \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "j" "j" "P"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + 0 < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I \<and> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + 0 < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (erule conjE)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + 0 < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:aadd_0_r)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac f = "\<lambda>x. (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) \<cdot>\<^sub>r
       (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" in
        value_ge_add[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"
        "n - Suc 0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>ja\<le>n - Suc 0. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>ja\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> \<circ> (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) ja
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>ja\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> \<circ> (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) ja
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>ja\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> \<circ> (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) ja
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr3)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>ja\<le>n - Suc 0. ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> \<circ> (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) ja
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> \<circ> (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) ja
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:cmp_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_t2p [where v="\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja) \<in> carrier K
 2. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 5. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 4. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac k = ja in transpos_noteqTr[of "n" _ "j"], simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n; j \<noteq> (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst mgenerator2Tr3_2[of "n" "j" _ "P"], simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n; j \<noteq> (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac l = "(\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja" in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "j"],
        simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n; j \<noteq> (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja; 0 \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja))\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule_tac y = "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja))" in
 aadd_le_mono[of "0"  _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ja. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ja \<le> n - Suc 0; (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja \<le> n; j \<noteq> (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja; 0 \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)); 0 + ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)\<rbrakk> \<Longrightarrow> ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja)) + ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:aadd_0_l)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule aless_le_trans[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"
                           "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax_pdsI K n P I) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:m_zmax_pdsI_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0))\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (cut_tac aless_zless[of "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I)"
                   "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (ant (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I)) < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) < m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<rbrakk> \<Longrightarrow> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule val_LI_noninf[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_pos[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"], simp add:ant_tna)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst LI_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subgoal_tac "\<forall>h \<le> n. (\<lambda>u. (tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))) h \<in> Zset")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>; \<forall>h\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P h\<^esub> ` I)) \<in> Zset\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>h\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P h\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (frule m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>u.(tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>; \<forall>h\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P h\<^esub> ` I)) \<in> Zset; \<forall>j\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>u. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P u\<^esub> ` I)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)) \<le> m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub> ` I)))
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>h\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P h\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<forall>h\<le>n. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P h\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule allI, rule impI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>h. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>); Zl_mI K P I j \<in> I; (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1) \<le> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x. Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x) \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)\<^esup>) (n - Suc 0)); (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I < ant (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1)) = (tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I) \<le> m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)); LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> \<infinity>; 0 \<le> LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I; LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I \<noteq> - \<infinity>; h \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow> tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K P h\<^esub> ` I)) \<in> Zset
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:Zset_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j \<cdot>\<^sub>r mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Zl_mI K P I j \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 3. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup> \<in> carrier K
 2. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_mI_genTr1)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of  "n" "j" "j" "P"
                                         "m_zmax_pdsI K n P I"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) + 0 = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:aadd_0_r)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; Ring K; aGroup K; j \<noteq> n; valuation K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) I
[PROOF STEP]
apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal:
No subgoals!
[PROOF STEP]
done